מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 2 בדרך לבגרות

$\underline w=\overrightarrow{SA}$ מכוון מ-$S$ אל $A$. במלבן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline v$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SC}=\underline u+\underline v-\underline w$, כאילו $\underline w$ מכוון מ-$A$ אל $S$.

$E$ אמצע $SC$, ולכן $\overrightarrow{ES}=-\frac12\overrightarrow{SC}=-\frac12(\underline u+\underline v+\underline w)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\overrightarrow{ES}$ ולהתחיל את המסלול מ-$S$, כלומר לחשב את $\overrightarrow{SB}=\underline w+\underline u$ במקום $\overrightarrow{EB}$.

$ABCD$ מלבן, ולכן $AB\perp AD$: $\underline u\cdot\underline v=0$.

$SA$ מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר במישור הבסיס, ובפרט ל-$AB$ ול-$AD$: $\underline u\cdot\underline w=0$ ו-$\underline v\cdot\underline w=0$.

(וקטורים מאונכים - המכפלה הסקלרית שלהם 0.)

טעות נפוצה: לחשב $\underline u\cdot\underline v=|\underline u|\cdot|\underline v|=60$ - זה נכון רק לווקטורים באותו כיוון; כאן הזווית ביניהם $90^\circ$ ו-$\cos90^\circ=0$.

מראים שהמכפלה הסקלרית היא 0. פותחים לפי חוק הפילוג:

לפי סעיף ב $\underline u\cdot\underline v=0$, ו-$\underline u^2=25$, $\underline v^2=144$, $\underline w^2=169$:

המכפלה הסקלרית 0, ולכן $\overrightarrow{EB}\perp\overrightarrow{ED}$.

טעות נפוצה: לכתוב $\underline u^2=5$ במקום $|\underline u|^2=25$ - הריבוע הסקלרי של וקטור הוא ריבוע האורך שלו.

$A$ על ציר ה-$x$ במרחק $AD=|\underline v|=12$: $A(12,0,0)$.

$C$ על ציר ה-$y$ במרחק $DC=AB=|\underline u|=5$: $C(0,5,0)$.

$B$ הקודקוד הרביעי של המלבן: $B(12,5,0)$.

$S$ מעל $A$ (המקצוע $SA$ מקביל לציר ה-$z$) בגובה 13: $S(12,0,13)$.

טעות נפוצה: לשים את $S$ מעל הראשית $D$ - המקצוע המאונך יוצא מ-$A$.

$E$ אמצע $SC$:

לפי סעיף ג הזווית ב-$E$ ישרה, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב $\frac12\cdot84.5\cdot84.5$ - לשכוח להוציא שורש מריבועי האורכים.

שני הווקטורים $\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$ יוצאים מ-$A$, ולכן הווקטור מ-$B$ ל-$C$ הוא הסוף פחות ההתחלה:

טעות נפוצה: לכתוב $\underline u-\underline v$, כלומר את $\overrightarrow{CB}$.

הולכים מ-$A$ ל-$B$, ואז שני שלישים מהדרך מ-$B$ ל-$C$:

כנדרש.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AF}=\frac23\underline u+\frac13\underline v$ - הנקודה קרובה יותר ל-$C$, ולכן המקדם של $\underline v$ הוא הגדול.

$AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא הגובה: $h=4$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos120^\circ=\frac12$ ולקבל $4.5$.

מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית שווה לאפס. נעזרים ב-$\underline u^2=|\underline u|^2=9$ ובסעיף ג(1):

לכן $\overrightarrow{AF}\perp\overrightarrow{AB}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=3$ (האורך) במקום ריבוע האורך, 9.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר האמצעי ולקבל $\sqrt5$.

לפי סעיף ג(2) הזווית $BAF$ ישרה, ולכן $AB$ ו-$AF$ הם הניצבים של המשולש $ABF$:

בדיקה: $BF=\frac23BC$ ו-$BC^2=9+9-2\cdot(-4.5)=27$, כלומר $BF^2=\frac49\cdot27=12$, ואכן $AB^2+AF^2=9+3=12$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$BF$ כאחד הניצבים - $BF$ הוא היתר, כי הזווית הישרה היא ב-$A$.

גדילה של 5% בכל יום פירושה מנת גדילה $q=1.05$. לאחר $t$ ימים: $A(t)=2000\cdot1.05^t$.

לאחר 6 ימים יהיו בבריכה A כ-2,680 אצות.

טעות נפוצה: לחשב $2000\cdot(1+6\cdot0.05)=2600$, כאילו בכל יום נוסף 5% מהכמות ההתחלתית - הגדילה היא מהכמות של היום הקודם.

מסעיף א $A(6)\approx2680$, ולכן בבריכה A יהיו יותר אצות:

לאחר 6 ימים יהיו בבריכה A בכ-554 אצות יותר מבבריכה B.

טעות נפוצה: להניח שבבריכה B יהיו יותר אצות כי היא גדלה מהר יותר - בתחילה יש בה הרבה פחות, ולכן היא עוד לא השיגה את A.

מספר האצות שווה כאשר:

מחלקים את שני האגפים ב-$1200\cdot1.05^t$ (שני המספרים חיוביים):

כנדרש.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{1.1^t}{1.05^t}=\left(\frac{1.1}{1.05}\right)^{2t}$ או לחסר בין החזקות. כשהמעריך זהה, מחלקים את הבסיסים: $\frac{a^t}{b^t}=\left(\frac ab\right)^t$.

מוציאים לוגריתם משני האגפים של המשוואה מסעיף ג(1):

מספר האצות בשתי הבריכות יהיה שווה לאחר כ-11 ימים.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{\ln5}{\ln3}$ במקום $\ln\frac53$ - הלוגריתם של מנה אינו מנת הלוגריתמים.

מחפשים את ה-$t$ השלם הקטן ביותר שעבורו:

$1.05>1$, ולכן אפשר להוציא לוגריתם בלי להפוך את כיוון אי-השוויון:

ה-$t$ השלם הקטן ביותר הוא 19.

בדיקה: $2000\cdot1.05^{18}\approx4813<5000$, ו-$2000\cdot1.05^{19}\approx5054>5000$.

טעות נפוצה: לעגל את 18.78 כלפי מטה ל-18 - לאחר 18 ימים עוד אין 5,000 אצות.

לפי כלל המכפלה:

מפרקים את הטרינום: שני מספרים שמכפלתם $-3$ וסכומם $2$ הם $3$ ו-$-1$:

טעות נפוצה: לכתוב $f'(x)=2x\cdot e^x$ - לגזור רק גורם אחד.

$e^x>0$, ולכן $f'=0$ רק ב-$x=-3$ וב-$x=1$, והסימן הוא סימן $(x+3)(x-1)$:

- $x<-3$: חיובי (עולה); $-3<x<1$: שלילי (יורדת); $x>1$: חיובי (עולה).

טעות נפוצה: לכתוב $f(-3)=6e^3$ - החזקה היא $e^{-3}$.

$f(0)=-3$. ו-$f(x)=0$ רק כאשר $x^2-3=0$ (כי $e^x>0$), כלומר $x=\pm\sqrt3$.

טעות נפוצה: לחפש פתרון גם ל-$e^x=0$.

- $x\to-\infty$: $e^x\to0$ ו"מנצח" את $x^2-3$, ולכן $f\to0$; שם $x^2-3>0$, ולכן מלמעלה.

- $x\to\infty$: $f\to\infty$.

משמאל לימין: עלייה מעל הציר למקסימום $(-3,0.299)$, ירידה דרך $(-\sqrt3,0)$ ו-$(0,-3)$ למינימום $(1,-5.44)$, ועלייה דרך $(\sqrt3,0)$.

טעות נפוצה: לצייר את הגבעה השמאלית מתחת לציר ה-x.

גרף $g$ מתקבל משיקוף החלק של $f$ שמתחת לציר ה-x (בין $-\sqrt3$ ל-$\sqrt3$).

•המינימום $(1,-2e)$ שלילי, ולכן משתקף ונהיה מקסימום של $g$: $(1,2e)$.

•המקסימום $\left(-3,\frac6{e^3}\right)$ חיובי ונשאר מקסימום.

•באפסים $\pm\sqrt3$: $g=0$ וסביבם $g>0$, ולכן מינימום: $(-\sqrt3,0)$, $(\sqrt3,0)$.

טעות נפוצה: לחפש את נקודות הקיצון של $g$ רק לפי $g'=0$ ולפספס את החודים באפסים.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$.

המכנה $\ln x$ מתאפס כש-$x=1$ (כי $\ln1=0$).

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq1$.

טעות נפוצה: לפסול את $x=0$ בגלל המכנה ולשכוח את $x=1$. $\ln x=0$ דווקא ב-$x=1$.

ב-$x=1$ המכנה מתאפס והמונה $2\neq0$, ולכן זו אסימפטוטה אנכית: $x=1$.

ליד $x=0$ המונה שואף ל-0 והמכנה ל-$-\infty$, ולכן $f(x)\to0$ - אין שם אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לכתוב גם $x=0$ כאסימפטוטה כי $\ln x$ "מתפוצץ" שם. כאן $\ln x$ נמצא במכנה, ולכן השבר שואף ל-0.

כלל המנה: $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, עם $u=2x^2$, $u'=4x$, $v=\ln x$, $v'=\frac1x$:

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה ($uv'-u'v$) ולקבל נגזרת עם סימן הפוך.

$f'(x)=0$: $x=0$ (לא בתחום) או $2\ln x-1=0$, כלומר $\ln x=\frac12$, $x=\sqrt e$.

$2x$ והמכנה $(\ln x)^2$ חיוביים בתחום, ולכן סימן $f'$ הוא סימן $2\ln x-1$:

נקודת הקיצון: $\min\left(\sqrt e,4e\right)$.

טעות נפוצה: לחשב $\ln\sqrt e=\sqrt e$ או $=e$. לפי חוקי הלוגריתמים $\ln e^{\frac12}=\frac12$.

מהטבלה בסעיף ב(2):

עלייה: $x>\sqrt e$. ירידה: $0<x<1$ וגם $1<x<\sqrt e$.

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-$0<x<\sqrt e$ כקטע אחד, כאילו הפונקציה מוגדרת ב-$x=1$.

בקטע $0<x<1$ מתקיים $\ln x<0$, והמונה חיובי, ולכן $f(x)<0$. מימין ל-$x=1$ $f(x)>0$.

גרפים I ו-II חיוביים משמאל לאסימפטוטה - נפסלים.

מימין לאסימפטוטה יש מינימום מעל ציר ה-$x$. בגרף III הענף הימני שלילי - נפסל.

גרף IV: שלילי ויורד משמאל, ומימין מינימום מעל הציר - זה גרף הפונקציה.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כי גם בו יש מינימום מימין. משמאל לאסימפטוטה הוא חיובי, וזה סותר את סימן $\ln x$ שם.

בענף הימני ($x>1$) $f(x)\geq4e>0$, ולכן אין שם נקודה עם $y=-2$.

בענף השמאלי ($0<x<1$) הפונקציה יורדת: ליד $x=0$ היא קרובה ל-0, וליד $x=1$ היא שואפת ל-$-\infty$.

פונקציה יורדת עוברת בכל ערך שלילי בדיוק פעם אחת, ובפרט ב-$-2$.

הישר חותך את הגרף בנקודה אחת.

טעות נפוצה: לענות "אף נקודה" כי $-2$ קטן מהמינימום $4e$. המינימום שייך לענף הימני בלבד.