מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 9 בדרך לבגרות

כותבים את שני האיברים הנתונים בעזרת $a_1$ ו-$d$:

מחסירים את המשוואה הראשונה מהשנייה: $6d=18$, כלומר $d=3$.

מציבים: $a_1=14-3\cdot3=5$.

טעות נפוצה: לחלק את $32-14=18$ ב-10 (מספר המקום של האיבר) במקום ב-6 - בין $a_4$ ל-$a_{10}$ יש 6 הפרשים.

בסדרה יש 40 איברים, ולכן האיבר האחרון הוא $a_{40}$:

טעות נפוצה: לחשב $a_1+40d=125$ - מהאיבר הראשון לאיבר ה-40 יש 39 הפרשים.

$a_6=a_1+5d=5+15=20$, ולכן $b_1=20$ ו-$b_3=a_1=5$.

בסדרה הנדסית $b_3=b_1q^2$:

טעות נפוצה: לכתוב רק $q=\frac12$. למשוואה $q^2=\frac14$ יש שני פתרונות, ושניהם נותנים סדרה הנדסית שמתאימה לנתונים.

המנה השלילית היא $q=-\frac12$. $|q|<1$, ולכן לסדרה סכום אין-סופי:

טעות נפוצה: לכתוב במכנה $1-\frac12$ ולקבל 40. כשהמנה שלילית, $1-q=1+\frac12$.

האיבר הראשון של תת-הסדרה הוא $b_2=b_1q=20\cdot\left(-\frac12\right)=-10$.

מאיבר במקום זוגי לאיבר הזוגי הבא ($b_2\to b_4$) עוברים שני צעדים בסדרה B, ולכן המנה היא $q^2=\frac14$.

$\frac14<1$, ולכן:

(בדיקה: סכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא $\frac{20}{3/4}=\frac{80}{3}$, ויחד $\frac{80}{3}-\frac{40}{3}=\frac{40}{3}$ - כמו בסעיף ד(1).)

טעות נפוצה: לקחת את $b_1=20$ כאיבר הראשון של תת-הסדרה. האיבר הראשון במקום זוגי הוא $b_2$.

$A$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$ במרחק 4 מהראשית: $A(4,0,0)$. באותו אופן $B(0,6,0)$.

אמצע קטע = ממוצע השיעורים:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר ולקבל $D=(2,-3,0)$ - זה חצי של $\overrightarrow{BA}$, לא אמצע הקטע.

כל המקצועות הצדדיים שווים, ולכן הפירמידה ישרה.

טעות נפוצה: לשכוח לרבע את השיעורים השליליים ולחשב $\sqrt{4-9+16}$. בריבוע כל איבר חיובי.

$\overrightarrow{OA}$ ו-$\overrightarrow{OB}$ אינם קולינאריים ושניהם במישור הבסיס, ולכן $DS$ מאונך למישור הבסיס. $D$ נמצאת בבסיס, ולכן $DS$ הוא גובה הפירמידה.

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{DS}$ כ-$D-S$ ולקבל $(0,0,-4)$, ואז "אורך" $-4$. וקטור מ-$D$ ל-$S$ הוא $S-D$, ואורך תמיד חיובי.

הבסיס $ABO$ ישר-זווית ב-$O$: $S_{ABO}=\frac{4\cdot6}{2}=12$. הגובה $DS=4$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-$4\cdot6=24$ (כמו מלבן) ולקבל 32.

$\overrightarrow{OS}=(2,3,4)$, $\overrightarrow{OD}=(2,3,0)$.

טעות נפוצה: לכפול רק את השיעורים בלי לחלק במכפלת האורכים, ולחשוב שהמכפלה הסקלרית (13) היא הקוסינוס.

ירידה של 4% ביום: בכל יום נשארים 96%, ולכן $q=0.96$.

טעות נפוצה: להפחית $10\cdot4\%=40\%$ ולקבל $250\cdot0.6=150$ גרם. הירידה בכל יום מחושבת מהכמות שנשארה, ולא מהכמות ההתחלתית.

אחרי 10 ימים נשארים $0.96^{10}\approx0.66483$ מהכמות, כלומר כ-$66.48\%$.

הירידה: $100\%-66.48\%\approx33.52\%$.

(בדיקה עם סעיף א: $\frac{250-166.21}{250}\approx0.3352$.)

טעות נפוצה: לענות $10\cdot4\%=40\%$. ירידה של 4% בכל יום מצטברת לפחות מ-40%, כי כל יום יורדים 4% מכמות קטנה יותר.

אחרי כ-16.98 ימים (במהלך היום ה-17).

טעות נפוצה: לחשב $\frac{50\%}{4\%}=12.5$ ימים, כאילו בכל יום יורדת אותה כמות. בפועל הירידה היומית קטנה עם הזמן, ולכן לוקח יותר זמן.

סימן הנגזרת: $f'(0)=1-e^4<0$ ו-$f'(3)=e^3-e>0$. לפני 2 הנגזרת שלילית ואחרי 2 חיובית - מינימום.

טעות נפוצה: לפתור $x=4-x$ כ-$x=4$ - שוכחים להעביר את $x$ לאגף שמאל.

$f$ יורדת עד $x=2$ ועולה אחריו, ויש לה מינימום יחיד. היא חיובית, ולכן המינימום מעל ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לצייר את המינימום על ציר ה-$x$ - הפונקציה חיובית לכל $x$, ולכן גם בנקודת המינימום.

פונקציה קדומה של $f'$ היא כל פונקציה שהנגזרת שלה היא $f'$. גוזרים:

זה בדיוק $f'(x)$, וכל הפונקציות הקדומות נבדלות בקבוע, ולכן $f(x)=e^x+e^{4-x}+c$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{4-x}$ כ-$e^{4-x}$ בלי הכפל בנגזרת הפנימית $-1$, לקבל $e^x+e^{4-x}\neq f'(x)$ ולהסיק בטעות שהטענה אינה נכונה.

$f$ חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל מ-0 עד 2:

טעות נפוצה: לכתוב את הפונקציה הקדומה של $e^{4-x}$ כ-$+e^{4-x}$, ולקבל $(2e^2-1-e^4)+2c$ ו-$c$ שגוי.

טעות נפוצה: לשכוח את $c=2$ ולענות $2e^2$.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, והמכנה $x\neq0$ - כלול. התחום: $x>0$.

$\ln x=0\Rightarrow x=1$: הנקודה $(1,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב שהחיתוך הוא $(0,0)$, כי "המונה והמכנה מתאפסים". $x=0$ אינו בתחום.

לפי כלל המנה, עם $(\ln x)'=\frac1x$ ו-$(x)'=1$:

טעות נפוצה: לגזור מונה ומכנה בנפרד ולקבל $\frac{1/x}{1}=\frac1x$.

$x^2>0$, ולכן $f'(x)=0$ כש-$1-\ln x=0$, כלומר $x=e$, ו-$f(e)=\frac1e$.

עבור $0<x<e$: $\ln x<1$, הנגזרת חיובית - עולה. עבור $x>e$: $\ln x>1$, הנגזרת שלילית - יורדת.

לכן $\left(e,\frac1e\right)$ נקודת מקסימום.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=1$ ולקבל $x=1$ (כאילו $\ln1=1$). $\ln x=1$ פירושו $x=e^1$.

כש-$x\to0^+$: $\ln x\to-\infty$ והמכנה $\to0^+$, ולכן $f\to-\infty$. האסימפטוטה: $x=0$.

סקיצה: מתחילה ב-$-\infty$ צמוד לציר ה-$y$, עולה, חותכת ב-$(1,0)$, מקסימום $\left(e,\frac1e\right)\approx(2.72,0.37)$, ואז יורדת ומתקרבת לציר ה-$x$ מלמעלה (עבור $x>1$ הפונקציה חיובית).

טעות נפוצה: לצייר את הגרף יורד מתחת לציר ה-$x$ אחרי המקסימום. עבור $x>1$ גם $\ln x$ וגם $x$ חיוביים.