מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 1 מעל רמת בגרות

המספרים היומיים יוצרים סדרה חשבונית עם $d=4$:

ביום הראשון ייצרו 55 נרות ריחניים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_8=a_1+8d$ - בין האיבר הראשון לשמיני יש שבע הוספות.

מספר הימים $n$ לא ידוע, וידוע סכום כל האיברים:

כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:

מחלקים ב-2: $2n^2+53n-1860=0$.

$n=20$ או $n=-46.5$. מספר ימים הוא מספר טבעי, לכן $n=20$.

טעות נפוצה: לחפש את $n$ מהאיבר הכללי ($55+4(n-1)=1860$), כלומר להשוות את הכמות של יום אחד לכמות הכוללת.

מספר הנרות הצבעוניים סך הכול: $1860-240=1620$, במשך אותם 20 ימים.

טעות נפוצה: להשתמש במספר ימים אחר מ-20 - הנתון "במשך אותם ימים" מחייב את ה-$n$ שנמצא בסעיף ב.

ביום ה-$k$ ייצרו $55+4(k-1)$ נרות ריחניים ו-$5+8(k-1)$ נרות צבעוניים.

הנרות הצבעוניים מתחילים מעט, אבל ההפרש שלהם גדול יותר, ולכן מתישהו הם עוקפים. מחפשים את ה-$k$ הקטן ביותר שעבורו:

ה-$k$ הטבעי הקטן ביותר הוא $k=14$, וזה בתוך 20 ימי הייצור.

בדיקה: ביום ה-13: 103 ריחניים ו-101 צבעוניים; ביום ה-14: 107 ריחניים ו-109 צבעוניים.

מאחר שבכל יום ההפרש בין הצבעוניים לריחניים גדל ב-4, מהיום ה-14 והלאה הצבעוניים נשארים יותר.

טעות נפוצה: להשוות את הסכומים המצטברים $S_k$ במקום את הכמויות היומיות $a_k$, או לענות $k=13$ בגלל עיגול של 13.5 כלפי מטה.

מספרי הנרות בכל שבוע יוצרים סדרה הנדסית $b_1,\ b_1q,\ b_1q^2,\ b_1q^3$.

השבוע השלישי והרביעי הם השבוע הראשון והשני כפול $q^2$:

לפי הנתון $b_3+b_4=9(b_1+b_2)$, ולכן $q^2=9$. מספרי נרות חיוביים, לכן $q>0$ ו-$q=3$.

מספר הנרות הכולל: $1860+1620=3480$.

בשבוע הראשון נמכרו 87 נרות.

בדיקה: $87+261+783+2349=3480$, ו-$783+2349=3132=9\cdot348$.

טעות נפוצה: לקבל $q^3=9$ - בין השבוע הראשון לשלישי יש שתי הכפלות ב-$q$; או להשאיר גם את $q=-3$.

מתרגמים את מיקום הנקודות לחלקים של וקטורי הבסיס.

$\overrightarrow{DQ}=\frac23\underline w$, ולכן מ-$Q$ עד $D'$ נשאר שליש מהמקצוע: $\vec{QD'}=\frac13\underline w$.

$N$ אמצע $B'C'$, ו-$\vec{B'C'}=\overrightarrow{AD}=\underline v$. לכן $\vec{B'N}=\frac12\underline v$ ו-$\vec{C'N}=-\frac12\underline v$.

מ-$B$ עולים ל-$B'$ וממשיכים ל-$N$:

מ-$Q$ עולים ל-$D'$, הולכים לאורך $D'C'$ (ששווה ל-$\overrightarrow{AB}$) וחוזרים חצי מקצוע מ-$C'$ ל-$N$:

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{QD'}=\frac23\underline w$. היחס $\frac23$ נמדד מ-$D$ עד $Q$, ומ-$Q$ עד $D'$ נשאר רק שליש.

הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline v$ היא הזווית $DAB$:

במנסרה ישרה המקצוע הצדדי מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך ל-$AB$ ול-$AD$: $\underline u\cdot\underline w=0$ ו-$\underline v\cdot\underline w=0$.

טעות נפוצה: לחשוב שכל שלוש המכפלות הן 0 כי "זו מנסרה ישרה". הבסיס מקבילית, והזווית בין $\underline u$ ל-$\underline v$ אינה ישרה.

במנסרה ישרה הגובה הוא המקצוע הצדדי $|\underline w|$, והנפח הוא שטח הבסיס כפול הגובה.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-$4\cdot6=24$ ולקבל $|\underline w|=1.5\sqrt3$.

מראים שהמכפלה הסקלרית היא 0. פותחים לפי חוק הפילוג:

מציבים $\underline u\cdot\underline v=12$, $\underline v^2=36$, $\underline w^2=9$, והמכפלות עם $\underline w$ הן 0:

ולכן $\overrightarrow{BN}\perp\overrightarrow{QN}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline v^2=6$ במקום $|\underline v|^2=36$.

מחשבים את הריבוע הסקלרי של $\overrightarrow{QN}$:

ולכן $|\overrightarrow{QN}|=\sqrt{14}$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של המכפלה המעורבת: $2\cdot\underline u\cdot\left(-\frac12\underline v\right)=-\underline u\cdot\underline v=-12$, ולא $+12$.

לפי סעיף ד הזווית $BNQ$ ישרה, ולכן הניצבים של המשולש הם $BN$ ו-$QN$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac12\cdot BQ\cdot QN$. הזווית הישרה היא ב-$N$, ולכן $BQ$ הוא היתר ולא ניצב.

$M$ ו-$G$ עולות (בסיס גדול מ-1), ולכן גרף III, שיורד, אינו מתאר אף אחת מהן.

$M(0)=12<G(0)=90$, ומנת הגדילה של א ($1.5$) גדולה מזו של ב ($1.25$). לכן הגרף של א מתחיל מתחת לגרף של ב ועוקף אותו בהמשך.

גרף II מתחיל נמוך ועולה בתלילות וחוצה את I - יישוב א; גרף I - יישוב ב.

טעות נפוצה: להכריע לפי מנת הגדילה בלבד ולשייך ליישוב א את הגרף שגבוה בהתחלה - בהתחלה קובע המקדם, ו-$12<90$.

מחפשים מתי $M(t)>3G(t)$:

מחלקים ב-$12\cdot1.25^t$ (חיובי, כיוון אי-השוויון לא משתנה):

$\ln$ פונקציה עולה, ולכן:

מספר הנדבקים ביישוב א גדול פי 3 ממספרם ביישוב ב לראשונה לאחר כ-17.08 ימים, כלומר במהלך היום ה-18.

בדיקה: $M(17)\approx11{,}823<3G(17)\approx11{,}990$, ו-$M(18)\approx17{,}735>3G(18)\approx14{,}988$.

טעות נפוצה: לכפול ב-3 את הצד של יישוב א ($3\cdot12\cdot1.5^t>90\cdot1.25^t$) - "א גדול פי 3 מ-ב" פירושו $M=3G$.

$C(t)=C_0\cdot q^t$, והכמות ההתחלתית לא ידועה. מחלקים את שתי המדידות זו בזו כדי לבטל את $C_0$:

(כי $\left(\frac1{\sqrt2}\right)^6=\frac18$.)

בכל יום נשאר כ-$70.71\%$, כלומר הירידה היא $1-0.7071=0.2929$ - בכ-$29.29\%$ ביום.

טעות נפוצה: לכתוב $q^{10}=\frac{250}{2000}$, כאילו 2,000 הוא הכמות ההתחלתית - בין שתי המדידות עברו רק 6 ימים.

מ-$t=0$ עד $t=4$ הכמות הוכפלה ב-$q^4$:

בבדיקה הראשונית היו ביישוב ג 8,000 נדבקים.

טעות נפוצה: לחשב $2000\cdot q^4=500$ - כשחוזרים אחורה בזמן בתהליך דועך מחלקים ב-$q^4$, והכמות גדלה.

מעבירים את החזקות לאגף אחד ואת המקדמים לאגף השני:

מספר הנדבקים ביישובים ג ו-א היה שווה לאחר כ-8.65 ימים, כלומר במהלך היום ה-9.

טעות נפוצה: לחלק את הבסיסים בכיוון ההפוך ולקבל $\left(\frac{0.7071}{1.5}\right)^t=666.7$ - בסיס קטן מ-1 בחזקה חיובית אינו יכול לתת מספר גדול, ומתקבל $t$ שלילי.

המכנה חייב להיות שונה מ-0:

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne2$ במקום $x\ne\ln2$.

ב-$x=\ln2$ המכנה מתאפס והמונה שונה מ-0: $2e^{2\ln2}=2\cdot4=8$. לכן $x=\ln2$ אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית במקום שבו המונה מתאפס. אסימפטוטה אנכית נובעת מאיפוס המכנה.

חיתוך עם ציר ה-y:

חיתוך עם ציר ה-x: המונה $2e^{2x}>0$ לכל $x$, ולכן אין.

נקודת החיתוך היחידה: $(0,-2)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=\frac{2}{-2}\cdot0$ או לשכוח את המקדם 2 ולקבל $-1$.

$f'(x)=0$ כאשר $e^x=4$, כלומר $x=\ln4$.

סימן $f'$ לפי $e^x-4$: שלילי משמאל ל-$\ln4$, חיובי מימין - מינימום.

נקודת מינימום: $(\ln4,16)$.

טעות נפוצה: לגזור את המונה $2e^{2x}$ ל-$2e^{2x}$ (בלי כלל השרשרת) - הנגזרת היא $4e^{2x}$.

הסימן של $f'(x)=\frac{2e^{2x}(e^x-4)}{(e^x-2)^2}$ נקבע לפי $e^x-4$:

- $x<\ln4$, $x\ne\ln2$: יורדת.

- $x>\ln4$: עולה.

ירידה: $x<\ln2$ וגם $\ln2<x<\ln4$. עלייה: $x>\ln4$.

טעות נפוצה: לאחד את שני תחומי הירידה, אף ש-$x=\ln2$ אינו בתחום ההגדרה.

•אסימפטוטה אנכית $x=\ln2$.

•כאשר $x\to-\infty$: המונה שואף ל-0 והמכנה ל-$-2$, ולכן $f\to0$ מלמטה (אסימפטוטה אופקית $y=0$ משמאל).

•משמאל לאסימפטוטה $f<0$, יורדת, ועוברת דרך $(0,-2)$.

•מימין לאסימפטוטה $f>0$; יורדת עד המינימום $(\ln4,16)$ ואז עולה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי כעולה - בכל התחום $x<\ln2$ הנגזרת שלילית.

$-f$ הוא שיקוף ביחס לציר ה-x (המינימום הופך למקסימום, ה-y מחליף סימן), ו-$-4$ מזיז 4 יחידות למטה:

נקודת מקסימום: $(\ln4,-20)$.

טעות נפוצה: לחשב $-(16-4)=-12$ - ההזזה מתבצעת אחרי השיקוף: $-16-4$.

$g(x)=0$ בדיוק כאשר $f(x)=-4$.

•בענף הימני $f(x)\ge16$, ולכן אין שם פתרון.

•בענף השמאלי $f$ יורדת מ-0 (כש-$x\to-\infty$) אל $-\infty$ (ליד האסימפטוטה), ועוברת בכל ערך שלילי פעם אחת בדיוק. לכן הערך $-4$ מתקבל פעם אחת.

סך הכול נקודת חיתוך אחת (בענף השמאלי).

טעות נפוצה: לבדוק רק את סביבת נקודת הקיצון: "המקסימום של $g$ שלילי, ולכן אין חיתוך". בענף השמאלי $g=-f-4$ עולה מ-$-4$ אל $+\infty$ וחוצה את הציר.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, ולכן תחום ההגדרה: $x>0$.

חיתוך עם ציר ה-x: בתחום $x^2\ne0$, ולכן $\ln x-k=0$, כלומר $x=e^k$.

נקודת החיתוך: $(e^k,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=\ln k$ - הפעולה ההפוכה ל-$\ln$ היא חזקה של $e$.

$f'(x)=0$: $x>0$, ולכן $2\ln x=2k-1$, כלומר $\ln x=k-0.5$ ו-$x=e^{k-0.5}$.

לפני הנקודה $2\ln x-2k+1<0$ (יורדת), ואחריה חיובי (עולה): נקודת מינימום.

נקודת מינימום: $\left(e^{k-0.5},\,-0.5e^{2k-1}\right)$.

טעות נפוצה: לחשב $(e^{k-0.5})^2=e^{k^2-0.25}$ - בהעלאה בחזקה כופלים את המעריך: $e^{2k-1}$.

נסמן את נקודת הקיצון $(x_0,y_0)$. מסעיף ב:

השוויון מתקיים לכל $k$, ולכן כל נקודות הקיצון נמצאות על הגרף של $y=-\frac12x^2$.

טעות נפוצה: לבדוק רק ערך אחד או שניים של $k$ - זו דוגמה, לא הוכחה; צריך להראות את הקשר בין $x_0$ ל-$y_0$ באופן כללי.

$g'(x)=a\cdot f'(x)$, ולכן לקיצון של $g$ אותו שיעור x כמו לקיצון של $f$:

לפי סעיף ג, ערך הקיצון של $f$ בנקודה $x=e$ הוא $-\frac12e^2$. לכן:

$a<0$, ולכן סימן $g'$ הפוך לסימן $f'$: $g$ עולה לפני $x=e$ ויורדת אחריה - נקודת מקסימום.

טעות נפוצה: להשוות $-0.5e^{2k-1}=2e^2$ ולנסות למצוא ממנה את $k$ - שיעור ה-y של $g$ כולל את $a$, ולכן את $k$ מוצאים משיעור ה-x.

$g(x)=-4x^2(\ln x-1.5)$.

•כאשר $x$ מתקרב ל-0 מימין, $f\to0$ ולכן גם $g\to0$ (אבל $x=0$ אינו בתחום, ולכן הערך 0 לא מתקבל שם).

- $g$ עולה בתחום $0<x<e$ עד המקסימום $2e^2$.

- $g$ יורדת עבור $x>e$; היא מתאפסת ב-$x=e^{1.5}$, ואחר כך שלילית ויורדת בלי חסם (כי $x^2$ ו-$\ln x-1.5$ גדלים שניהם בלי חסם).

מספר הפתרונות של $g(x)=m$:

- $0<m<2e^2$: פתרון אחד בענף העולה ואחד בענף היורד - שני פתרונות.

- $m=2e^2$: פתרון אחד ($x=e$).

- $m\le0$: פתרון אחד, בענף היורד בלבד.

- $m>2e^2$: אין פתרון.

שני פתרונות בדיוק: $0<m<2e^2$.

טעות נפוצה: לכלול את $m=0$ - בענף העולה הפונקציה רק מתקרבת ל-0 ליד הראשית ואינה מקבלת אותו, ולכן ל-$g(x)=0$ יש פתרון אחד בלבד ($x=e^{1.5}$).