מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 9 מעל רמת בגרות

מספרי המנות יוצרים סדרה הנדסית $a_1,a_1q,\dots,a_1q^5$.

כל אחד מהימים 4, 5, 6 הוא היום המקביל מבין 1, 2, 3 כפול $q^3$, ולכן:

$q^3=8$, ולכן $q=2$.

מסכום שלושת הימים הראשונים: $a_1(1+2+4)=350$, כלומר $7a_1=350$ ו-$a_1=50$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_4=a_1q^4$ ולקבל $q^4=8$. בין היום הראשון לרביעי יש שלוש הכפלות.

מספר המנות בכל ששת הימים הוא סכום שלושת הימים הראשונים ועוד סכום שלושת האחרונים: $350+2800=3150$.

(או בנוסחה: $S_6=\frac{50(2^6-1)}{2-1}=3150$.)

סך ההכנסות הוא 126,000 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את הסכום מחדש בנוסחה עם $q^5$ במקום $q^6$ - כדאי לבדוק מול $350+2800$.

הסכום שנתרם: $\frac{126{,}000}{2}=63{,}000$ שקלים.

התשלומים יוצרים סדרה חשבונית יורדת: $a_1=6300$, $d=-300$.

מחלקים ב-300: $n^2-43n+420=0$, כלומר $(n-15)(n-28)=0$.

שני הפתרונות טבעיים, ולכן צריך לבדוק כל אחד מהם בתוך ההקשר:

ב-$n=28$ התשלומים בחודשים האחרונים שליליים, ותרומה חודשית שלילית אינה אפשרית. לכן $n=15$.

טעות נפוצה: לבחור את $n=28$ או להשאיר שתי תשובות, בלי לבדוק שכל התשלומים חיוביים.

מחצית התרומה היא $31{,}500$ שקלים. מחפשים את ה-$k$ הקטן ביותר שעבורו $S_k>31{,}500$:

שורשי הטרינום: $k=\frac{43\pm\sqrt{1009}}{2}$, כלומר $k\approx5.62$ ו-$k\approx37.38$. אי-השוויון מתקיים בין השורשים.

ה-$k$ הטבעי הקטן ביותר בתחום הוא $k=6$.

בדיקה: $S_5=\frac52(12{,}600-1200)=28{,}500<31{,}500$, ו-$S_6=3(12{,}600-1500)=33{,}300>31{,}500$.

הסכום המצטבר עבר את המחצית לראשונה בסוף החודש השישי - הרבה לפני אמצע התקופה (החודש ה-8), כי התשלומים הראשונים הם הגדולים.

טעות נפוצה: לענות "החודש השמיני" כי הוא באמצע 15 החודשים; בסדרה יורדת המחצית מצטברת מוקדם יותר.

כל המקצועות הצדדיים באורך 6: $|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=6$. הזווית בין שני וקטורים שיוצאים מ-$S$ היא זווית הראש שביניהם.

טעות נפוצה: להניח שכל שלוש המכפלות שוות כמו בפירמידה עם זוויות ראש שוות. כאן $\angle BSC=90^\circ$, ולכן $\underline v\cdot\underline w=0$.

עוברים דרך הקודקוד $S$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AS}=\underline u$. הווקטור $\underline u$ הוא $\overrightarrow{SA}$, והכיוון מ-$A$ אל $S$ הפוך לו.

טעות נפוצה: לכתוב $|\overrightarrow{AB}|=|\underline v|-|\underline u|=0$. אורך של הפרש וקטורים אינו הפרש האורכים - מחשבים דרך הריבוע הסקלרי.

מחשבים את המכפלה הסקלרית של שני הווקטורים שיוצאים מ-$A$:

ולכן $\angle BAC=90^\circ$ - הבסיס הוא משולש ישר-זווית ושווה שוקיים.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $\underline u^2=36$ ולקבל $\cos\angle BAC=-1$, תשובה שלא ייתכן שהיא זווית במשולש.

מספיק להראות ש-$\overrightarrow{SM}$ מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים במישור $ABC$, למשל $\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$ אינם קולינאריים, ולכן $\overrightarrow{SM}$ מאונך למישור $ABC$.

טעות נפוצה: להציב $\underline v\cdot\underline w=18$ כמו שתי המכפלות האחרות, ולקבל שהמכפלה אינה 0.

לפי סעיף ג, $SM$ מאונך לבסיס, ולכן הוא הגובה של הפירמידה.

לפי סעיף ב הבסיס הוא משולש ישר-זווית ב-$A$ עם ניצבים $AB=AC=6$:

טעות נפוצה: לקחת את הצלע $BC$ כאחד הניצבים. הזווית הישרה היא ב-$A$, ו-$BC$ הוא היתר.

מ-2005 עד 2015 עברו 10 שנים. באזור A:

"גדול ב-25%" פירושו פי $1.25$:

מספר הצבים באזור B קטן ב-3% בכל שנה.

טעות נפוצה: לתרגם "גדול ב-25%" ל-$M_A+25$ או ל-$0.25M_A$.

דורשים $84{,}000\cdot0.94^t<42{,}000$, כלומר $0.94^t<0.5$.

לוקחים לוגריתם. $\log0.94<0$, ולכן בחלוקה בו כיוון אי-השוויון מתהפך:

המספרים נמדדים בתחילת כל שנה, ולכן $t$ שלם: $t=12$, כלומר תחילת 2017.

בדיקה: $84{,}000\cdot0.94^{11}\approx42{,}529>42{,}000$, ו-$84{,}000\cdot0.94^{12}\approx39{,}977<42{,}000$.

טעות נפוצה: לא להפוך את כיוון אי-השוויון בחלוקה בלוגריתם שלילי, ולקבל $t<11.2$.

בתחילת 2017 היו באזור A $84{,}000\cdot0.94^{12}$ צבים. אחרי 10 שנות גידול במנה $Q$:

$84{,}000$ מצטמצם:

מספר הצבים גדל בכ-7.7% בכל שנה.

שימו לב: 12 שנות ירידה של 6% "תוקנו" ב-10 שנות גידול של כ-7.7%, ולא של 6% - כי הגידול מחושב מכמות קטנה יותר.

טעות נפוצה: להניח שהגידול צריך להיות 6% כדי "לבטל" ירידה של 6%, או להשתמש ב-12 שנים במקום 10 בשלב הגידול.

נסמן ב-$s$ את מספר השנים מתחילת 2017. בתחילת 2017:

דורשים $M_A(s)>M_B(s)$. מחלקים את שני האגפים ב-$39{,}977\cdot0.97^s$ (חיובי):

היחס בין שני התהליכים הוא בעצמו תהליך מעריכי, עם מנה $\frac{1.077}{0.97}\approx1.110$:

$s$ שלם, ולכן $s=3$: תחילת 2020.

בדיקה: ב-2019 ($s=2$): $46{,}371<50{,}073$; ב-2020 ($s=3$): $49{,}941>48{,}570$.

טעות נפוצה: לחבר את אחוזי השינוי ($7.7\%+3\%$) ולחשב כאילו היחס גדל ב-10.7% בשנה. המנות מתחלקות, ולא האחוזים מתחברים.

המכנה מתאפס כש-$e^{2x}-4e^x-5=0$. מציבים $t=e^x$ ($t>0$):

ולכן $t=5$ או $t=-1$.

$t=e^x=-1$ אינו אפשרי ($e^x>0$). נשאר $e^x=5$, $x=\ln5$.

תחום ההגדרה: $x\neq\ln5$.

טעות נפוצה: לפרק בטעות $t^2-4t-5=(t+5)(t-1)$, לקבל $t=1$ ולפסול את $x=0$ - אבל $f(0)$ מוגדרת ($1-4-5=-8\neq0$).

ב-$x=\ln5$ המכנה מתאפס והמונה $a\neq0$, ולכן זו אסימפטוטה אנכית: $x=\ln5\approx1.61$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=5$ - זה הערך של $t=e^x$, לא של $x$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $\frac a{-5}=-\frac14$, כלומר $a=\frac54$. $e^0=1$.

$f(x)=\frac2{e^{2x}-4e^x-5}$. נגזרת המכנה: $2e^{2x}-4e^x$.

$f'(x)=0$ כש-$e^x=2$, $x=\ln2$ (בתחום).

נקודת הקיצון: $\max\left(\ln2,-\frac29\right)$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{2x}$ כ-$e^{2x}$ (בלי כלל השרשרת). אז מתקבל $e^x=4$, $x=\ln4$ ו"נקודת קיצון" $\left(\ln4,-\frac25\right)$.

מהטבלה: עלייה ב-$x<\ln2$; ירידה ב-$\ln2<x<\ln5$ וב-$x>\ln5$ (שני תחומים נפרדים).

טעות נפוצה: לכתוב "ירידה: $x>\ln2$" כתחום אחד, שעובר דרך $x=\ln5$ שאינו בתחום ההגדרה.

המונה הוא $2\neq0$, ולכן $f(x)\neq0$ לכל $x$ בתחום - אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לענות "כן, ב-$x=\ln5$" כי שם המכנה מתאפס. שם יש אסימפטוטה, לא נקודה על הגרף.

•כש-$x\to-\infty$: $e^x\to0$ והמכנה שואף ל-$-5$, ולכן $f(x)\to\frac2{-5}=-\frac25$. אסימפטוטה אופקית משמאל: $y=-\frac25$.

•משמאל ל-$x=\ln5$ המכנה $(e^x-5)(e^x+1)$ שלילי ו-$f(x)<0$: הגרף עולה מ-$-\frac25$ למקסימום $\left(\ln2,-\frac29\right)$ ויורד ל-$-\infty$ ליד $x=\ln5$.

•מימין ל-$x=\ln5$ המכנה חיובי: הגרף יורד מ-$+\infty$ ומתקרב ל-$y=0$ כש-$x\to\infty$.

•חיתוך עם ציר ה-$y$: $\left(0,-\frac14\right)$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מתקרב לציר ה-$x$ כש-$x\to-\infty$. כאן $e^{2x}$ ו-$e^x$ נעלמים אבל נשאר הקבוע $-5$, ולכן הגרף מתקרב ל-$y=-\frac25$.

$f(x)<0$ כש-$x<\ln5$; $f'(x)<0$ כש-$\ln2<x<\ln5$ או $x>\ln5$.

החיתוך: $\ln2<x<\ln5$.

טעות נפוצה: לענות $x>\ln2$, $x\neq\ln5$ - מימין לאסימפטוטה $f(x)>0$.

$f$ אינה מוגדרת ב-$x=4$ (אסימפטוטה מימין) ו-$g$ ב-$x=-4$ (משמאל).

גרף I שואף לאינסוף ליד האסימפטוטה הימנית - הוא $f$; גרף II - $g$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$f$ יורדת בגלל המינוס במכנה. כש-$x$ גדל, $4-x$ קטן (וחיובי), ולכן $f$ עולה.

(מותר לצמצם ב-$k$ כי $k>0$.) $y=\frac k4$.

טעות נפוצה: לענות $y=k$ - לשכוח לחלק במכנה 4.

מפצלים ב-$x=0$. בין 0 ל-2 $f$ מעל $g$:

בין $-2$ ל-0 $g$ מעל $f$:

טעות נפוצה: לא לפצל ולחשב $\int_{-2}^{2}(f-g)\,dx=0$, ואז אין $k$ שמתאים לשטח הנתון.

קדומה של $f-g$:

$t=-2$ הוא הגבול התחתון עצמו (אינטגרל על קטע באורך 0) ואינו בתחום $-2<t<4$, ולכן $t=2$.

(משמעות: השטח שבו $g$ מעל $f$, בין $-2$ ל-0, מתקזז בדיוק עם השטח שבו $f$ מעל $g$, בין 0 ל-2.)

טעות נפוצה: לכתוב $\ln(4-x)+\ln(4+x)=\ln\big((4-x)+(4+x)\big)=\ln8$. אז הקדומה קבועה, ו"מתקבל" שהאינטגרל מתאפס לכל $t$. חוק הלוגריתמים הוא $\ln a+\ln b=\ln(ab)$.