מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 6 מעל רמת בגרות

הפיקדונות יוצרים סדרה חשבונית. נסמן ב-$a_1$ את הפיקדון הראשון וב-$d$ את ההפרש.

הפיקדון השישי גדול פי 2 מהשני:

סכום שלושת הפיקדונות הראשונים:

מציבים $a_1=3d$: $9d+3d=12d=2700$, ולכן $d=225$ ו-$a_1=675$.

בדיקה: $a_2=900$, $a_6=675+5\cdot225=1800=2\cdot900$, ו-$675+900+1125=2700$.

טעות נפוצה: לתרגם "גדול פי 2" ל-$a_6=a_2+2$ או ל-$a_6=2a_1$ - היחס הוא בין הפיקדון השישי לפיקדון השני.

מחפשים את ה-$n$ הטבעי הקטן ביותר שעבורו $S_n>40{,}000$:

מחלקים ב-25: $9n^2+45n-3200>0$.

שורשי הטרינום:

$\sqrt{117{,}225}\approx342.4$, ולכן השורשים הם $n\approx16.52$ ו-$n\approx-21.52$.

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן אי-השוויון מתקיים מימין לשורש החיובי: $n>16.52$. ה-$n$ הטבעי הקטן ביותר הוא 17.

בדיקה: $S_{16}=8\cdot(1350+15\cdot225)=37{,}800<40{,}000$, ו-$S_{17}=\frac{17}{2}\cdot(1350+16\cdot225)=42{,}075>40{,}000$.

הסכום עבר את 40,000 שקלים לראשונה בסוף החודש ה-17.

טעות נפוצה: לעגל את 16.52 ל-16, או לענות 16.52 חודשים - מספר החודשים טבעי, ובסוף החודש ה-16 הסכום עוד לא עבר את היעד.

מחיר המחשב שווה לפיקדון של החודש ה-12:

שלושת התשלומים הם $450$, $450q$, $450q^2$, וסכומם הוא מחיר המחשב:

ב-$q=-3$ התשלום השני היה $450\cdot(-3)=-1350$ - תשלום שלילי אינו אפשרי. לכן $q=2$.

בדיקה: $450+900+1800=3150$.

טעות נפוצה: להציב בנוסחת הסכום $\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ ולהיתקע במשוואה ממעלה שלישית; עם שלושה איברים בלבד עדיף לכתוב את הסכום במפורש. טעות נוספת: להשאיר את $q=-3$.

$\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$, ו-$E$ אמצע $SC$, ולכן $\overrightarrow{AE}=\frac12(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC})=\frac12\underline u+\frac12\underline v+\frac12\underline w$.

$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}=\frac12\underline u-\frac12\underline v-\frac12\underline w$.

$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=-\frac12\underline u+\frac12\underline v-\frac12\underline w$.

נסמן $\underline a=\underline u-\underline v$. אז $\overrightarrow{EB}=\frac12(\underline a-\underline w)$ ו-$\overrightarrow{ED}=\frac12(-\underline a-\underline w)$.

$AS$ מאונך לבסיס, ולכן $\underline a\cdot\underline w=0$, ו-$\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=\frac14(\underline w^2-\underline a^2)$.

במעוין $|\underline u|=|\underline v|=4$ ו-$\underline u\cdot\underline v=4\cdot4\cos60^\circ=8$, ולכן $\underline a^2=16+16-16=16$.

$\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=0 \iff \underline w^2=16$, ולכן $AS=4$.

לפי סעיף ב: $\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=\frac14(\underline w^2-\underline a^2)=\frac14(9-16)=-\frac74<0$, ולכן הזווית קהה.

$|\overrightarrow{EB}|^2=\frac14(\underline a^2+\underline w^2)=\frac14(16+9)=\frac{25}4$, וכך גם $|\overrightarrow{ED}|^2=\frac{25}4$.

$\cos\angle BED=\frac{\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{EB}|\cdot|\overrightarrow{ED}|}=\frac{-\frac74}{\frac{25}4}=-\frac7{25}$

$\angle BED\approx106.26^\circ$.

נסמן $AS=h$. לפי החישובים בסעיפים הקודמים:

$\cos\angle BED=\frac{\frac14(h^2-16)}{\frac14(16+h^2)}=\frac{h^2-16}{h^2+16}=-\frac12$

$2h^2-32=-h^2-16$

$3h^2=16$, ולכן $h=\frac4{\sqrt3}$.

שטח הבסיס: $S_{ABCD}=4\cdot4\cdot\sin60^\circ=8\sqrt3$.

$V=\frac13\cdot8\sqrt3\cdot\frac4{\sqrt3}=\frac{32}3$.

מספר הדגים בבריכה ב' גדל מהר יותר (9% לעומת 4%).

אילו $a\ge800$, בריכה ב' הייתה מתחילה עם לפחות אותו מספר דגים וגדלה מהר יותר, ולכן אחרי תחילת הגידול היו בה תמיד יותר דגים - המספרים לא היו משתווים.

לכן בריכה ב' חייבת להתחיל עם פחות דגים: $a<800$. טענה II נכונה.

טעות נפוצה: לבחור בטענה I כי "בריכה ב' גדלה מהר יותר ולכן גדולה יותר" - קצב גדול יותר מחייב התחלה קטנה יותר כדי שתהיה פגישה.

אחרי $t$ שבועות: בבריכה א' $800\cdot1.04^t$, בבריכה ב' $a\cdot1.09^t$.

(ואכן $a<800$, כמו בסעיף א.)

טעות נפוצה: לחשב $\frac{1.04}{1.09}$ ולהעלות בחזקה רק את המכנה (לכתוב $\frac{1.04}{1.09^{20}}$) - שני הבסיסים מועלים באותה חזקה.

נסמן ב-$B_0$ את מספר הדגים בבריכה ב' בתחילת הדיג וב-$q$ את מנת הדעיכה:

בכל שבוע נשאר כ-91.84%, כלומר המספר קטן בכ-8.16%.

טעות נפוצה: לחלק $\frac{40\%}{6}\approx6.67\%$ - ירידה באחוז קבוע היא כפל ב-$q$ בכל שבוע, ולכן מוציאים שורש שישי.

נסמן ב-$A_0$ את מספר הדגים בבריכה א' בתחילת הדיג. לפי נתון סעיף ב, בבריכה ב' היו אז $1.5A_0$ דגים.

המספרים משתווים כעבור כ-12 שבועות מתחילת הדיג.

טעות נפוצה: להציב את 1.5 בצד של בריכה א' ($1.5A_0\cdot0.95^t=A_0\cdot0.9184^t$) - מתקבל $t$ שלילי, סימן שהמשוואה נבנתה הפוך.

$f'(x)=0\iff x=-a-1$. הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x+a+1$: שלילי משמאל ל-$-a-1$, חיובי מימין - ולכן מינימום (לכל $a$).

טעות נפוצה: להציב $x=-a-1$ רק בגורם $e^x$ ולשכוח את הגורם $x+a$, שערכו בנקודה הוא $-1$.

ההזזה האנכית לא משנה את שיעור ה-$x$ של המינימום. גרף $g$ משיק לציר ה-$x$ רק בנקודת המינימום שלו (בכל נקודה אחרת $g$ גדולה מערך המינימום), ולכן נקודת ההשקה היא נקודת המינימום:

ערך המינימום של $g$ הוא 0:

טעות נפוצה: להשוות את $f(2)$ לאפס, כלומר לדרוש ש-$f$ (לא $g$) תחתוך את הציר ב-$x=2$, ולקבל $a=-2$. ההשקה היא של $g$, ומשמעותה ש-$x=2$ הוא נקודת הקיצון.

$f(x)=(x-3)e^x$: מינימום ב-$(2,-e^2)$; יורדת עבור $x<2$ ועולה עבור $x>2$.

סימן: $e^x>0$, ולכן $f<0$ עבור $x<3$ ו-$f>0$ עבור $x>3$. בפרט כל הענף השמאלי ($x<2$) שלילי.

בקצוות: כאשר $x\to-\infty$, $f(x)\to0$ מלמטה (בלי להגיע ל-0); כאשר $x\to\infty$, $f(x)\to\infty$.

לכן הענף היורד ($x<2$) מקבל בדיוק את הערכים $-e^2<y<0$, כל אחד פעם אחת, והענף העולה ($x>2$) מקבל את כל הערכים $y>-e^2$, כל אחד פעם אחת.

מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך של הישר $y=m$ עם הגרף:

$m<-e^2$: אין פתרון. $m=-e^2$: פתרון אחד ($x=2$). $-e^2<m<0$: שני פתרונות (אחד בכל ענף). $m\ge0$: פתרון אחד (רק בענף העולה).

טעות נפוצה: לכתוב "שני פתרונות לכל $m>-e^2$". הענף השמאלי מתקרב לציר ה-$x$ ולא חוצה אותו, ולכן עבור $m\ge0$ יש רק פתרון אחד.

שני תנאים:

1. $\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$.

2. המכנה שונה מאפס:

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\ne1$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את התנאי של $\ln x$ ולכתוב $x>0$ - שוכחים שהמכנה מתאפס ב-$x=1$.

ב-$x=1$ המכנה $(\ln x)^2$ מתאפס והמונה $4\cdot1=4\ne0$, ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף בסביבת הנקודה.

האסימפטוטה האנכית: $x=1$.

($x=0$ אינו אסימפטוטה: הפונקציה לא מוגדרת משמאל לו, וכאשר $x\to0^+$ המונה שואף ל-0 והמכנה ל-$+\infty$, ולכן $f\to0$.)

טעות נפוצה: לפתור $(\ln x)^2=0$ כ-$x=0$ ולכתוב אסימפטוטה $x=0$ - הפתרון של $\ln x=0$ הוא $x=1$.

שבר מתאפס כאשר המונה מתאפס: $4x=0$, כלומר $x=0$.

אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה ($x>0$), ולכן לגרף אין נקודת חיתוך עם ציר ה-x. (בכל התחום המונה חיובי והמכנה ריבוע חיובי, כך ש-$f(x)>0$.)

טעות נפוצה: לענות "כן, בנקודה $(1,0)$" כי $\ln1=0$ - ב-$x=1$ מתאפס המכנה, לא המונה, ושם יש אסימפטוטה.

לפי כלל המנה, עם $\left((\ln x)^2\right)'=2\ln x\cdot\frac1x$ (כלל השרשרת):

$f'=0$: $\ln x-2=0$, כלומר $\ln x=2$ ו-$x=e^2$.

סימן $f'$ לפי $\ln x-2$ ולפי $(\ln x)^3$ (שסימנו כסימן $\ln x$):

עבור $0<x<1$: $\ln x<0$ ושני הגורמים שליליים - $f'>0$.

עבור $1<x<e^2$: $0<\ln x<2$ - המונה שלילי והמכנה חיובי, $f'<0$.

עבור $x>e^2$: $f'>0$.

ב-$x=e^2$ מירידה לעלייה - מינימום:

טעות נפוצה: להציב $\ln e^2=2$ בלי להעלות בריבוע, ולקבל $f(e^2)=\frac{4e^2}2=2e^2\approx14.78$.

מטבלת הסימנים של ג(1), כשהאסימפטוטה $x=1$ מפצלת את התחום:

•עלייה: $0<x<1$ וגם $x>e^2$.

•ירידה: $1<x<e^2$.

טעות נפוצה: להתייחס ל-$(\ln x)^3$ במכנה כאל ביטוי חיובי (כמו ריבוע) ולקבוע ירידה גם ב-$0<x<1$; אבל שם $(\ln x)^3<0$, ולכן $f'>0$ והפונקציה עולה.

הגרף של $f$: $f(x)>0$ בכל התחום (סעיף ב), משני צידי האסימפטוטה $x=1$. משמאל לאסימפטוטה $f$ עולה מ-0 (ליד הראשית) ל-$+\infty$; מימין לה $f$ יורדת מ-$+\infty$ עד המינימום $\left(e^2,e^2\right)$ ואחר כך עולה. כך נראה גרף III. בגרף II הענף השמאלי שלילי, אבל $f$ אינה מקבלת ערכים שליליים.

הגרף של $f'$: $f'>0$ בתחום $0<x<1$, $f'<0$ בתחום $1<x<e^2$, $f'(e^2)=0$ ו-$f'>0$ עבור $x>e^2$. לכן הענף השמאלי של גרף $f'$ מעל ציר ה-x, והענף הימני מתחת לציר וחותך אותו פעם אחת, מימין לאסימפטוטה. כך נראה גרף I. גרף IV הוא תמונת הראי שלו: הענף השמאלי שלו מתחת לציר, אבל שם $f$ עולה.

טעות נפוצה: לבחור לנגזרת את גרף IV מתוך מחשבה ש"ליד הראשית $\ln x$ שלילי ולכן $f'$ שלילית" - בתחום $0<x<1$ גם המונה וגם המכנה של $f'$ שליליים, ו-$f'>0$.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-x ב-$x=e^2$, ובין $e^2$ ל-$e^4$ מתקיים $f'\ge0$. לכן השטח הוא:

(הפונקציה הקדומה של $f'$ היא $f$ - אין צורך לחשב אינטגרל של הביטוי של הנגזרת.)

טעות נפוצה: להציב בנגזרת במקום בפונקציה הקדומה שלה: $f'(e^4)-f'(e^2)=\frac{4\cdot2}{64}-0=\frac18$.