מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 7 מעל רמת בגרות

טעות נפוצה: להשמיט את $q=-2$ - בחזקה זוגית יש שני פתרונות.

סדרה הנדסית עם $q=2$ היא מונוטונית (עולה או יורדת, לפי הסימן של $a_1$). סדרה עם מנה שלילית מחליפה סימן בכל צעד, ולכן אינה מונוטונית. מכאן $q=-2$.

בסדרה 8 איברים: האמצעיים הם $a_4$ ו-$a_5$.

טעות נפוצה: להניח שסדרה עם $q=2$ אינה מונוטונית כשהאיבר הראשון שלילי. גם $-5,-10,-20,\ldots$ היא מונוטונית (יורדת).

סכום 8 האיברים של A עם $a_1=-5$ ו-$q=-2$:

טעות נפוצה: לטעות בסימן של המכנה $q-1=-3$ ולקבל $S_8=-425$.

נסמן ב-$n$ את מספר האיברים וב-$d$ את ההפרש. מהנתון על האיבר השני: $b_1+d=5d$, ולכן $b_1=4d$.

האיבר האחרון: $b_n=b_1+(n-1)d=4d+(n-1)d=(n+3)d=13$, ולכן $d=\frac{13}{n+3}$.

הסכום (מסעיף ג), בנוסחה עם האיבר הראשון והאחרון:

מציבים $d=\frac{13}{n+3}$ וכופלים ב-$2(n+3)$:

$n=10$ או $n\approx-3.92$. מספר איברים הוא מספר טבעי, ולכן $n=10$ ו-$d=\frac{13}{13}=1$.

בדיקה: $b_1=4$, $b_{10}=13$, $S_{10}=5\cdot17=85$.

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר האחרון כ-$b_1+nd$ במקום $b_1+(n-1)d$. מתקבלת המשוואה $13n^2-66n-680=0$, שאין לה פתרון טבעי.

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$, ו-$\overrightarrow{AM}=\frac23\underline w$.

$\overrightarrow{DB}=\underline u-\underline w$, $\overrightarrow{DC}=\underline v-\underline w$, ולכן

טעות נפוצה: לשכוח את הדרך מ-$A$ ל-$D$ ולהשתמש ב-$\overrightarrow{DN}$ במקום $\overrightarrow{AN}$. אז $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{AM}=\frac19\underline u+\frac29\underline v-\underline w$.

לפי א(1), $\overrightarrow{MN}=\frac19\underline u+\frac29\underline v$ - צירוף לינארי של $\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$ בלבד.

$\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$ אינם קולינאריים ונמצאים במישור $ABC$, ולכן $\overrightarrow{MN}$ מקביל למישור $ABC$.

$M$ נמצאת על $AD$ ושונה מ-$A$, ולכן אינה במישור $ABC$. לכן $MN$ מקביל למישור $ABC$ ואינו מוכל בו.

טעות נפוצה: לראות שאין ב-$\overrightarrow{MN}$ רכיב של $\underline w$ ולהסיק ש-$MN$ מוכל במישור $ABC$. וקטור הכיוון מקביל למישור, אבל $M$ נמצאת על $AD$ ב-$\frac23$ מהדרך ל-$D$, מחוץ למישור - ולכן $MN$ מקביל למישור ואינו מוכל בו.

אילו $MN\parallel AC$, היה $\overrightarrow{MN}=k\underline v$ עבור מספר $k$:

כלומר $\underline u$ היה כפולה של $\underline v$, אבל $\underline u$ ו-$\underline v$ אינם קולינאריים. סתירה, ולכן $MN$ אינו מקביל ל-$AC$.

טעות נפוצה: לענות "כן, כי $MN$ מקביל למישור $ABC$ ו-$AC$ נמצא במישור". ישר שמקביל למישור אינו מקביל לכל ישר שבמישור - כאן $\overrightarrow{MN}$ אינו כפולה של $\underline v$, כי המקדם של $\underline u$ הוא $\frac19\neq0$.

$BE:EC=2:1$, ולכן $\overrightarrow{BE}=\frac23\overrightarrow{BC}=\frac23\left(\underline v-\underline u\right)$:

$\overrightarrow{AE}$ הוא כפולה בסקלר של $\overrightarrow{MN}$, ולכן $AE\parallel MN$.

טעות נפוצה: לקחת $\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{BC}$ (להפוך את היחס) ולקבל $\overrightarrow{AE}=\frac23\underline u+\frac13\underline v$, שאינו כפולה של $\overrightarrow{MN}$ - ואז להסיק בטעות שהם לא מקבילים.

לפי ב(1), $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{MN}$, ולכן $AE=3\cdot MN$:

טעות נפוצה: לענות $\frac13$ - היחס בין $MN$ ל-$AE$ ולא בין $AE$ ל-$MN$.

לפי סעיף א(1): $\overrightarrow{MN}=\frac19\underline u+\frac29\underline v=\frac19(\underline u+2\underline v)$. כמו כן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\underline v-\underline u$.

$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac19(\underline u+2\underline v)\cdot(\underline v-\underline u)=\frac19\left(\underline u\cdot\underline v-\underline u^2+2\underline v^2-2\underline u\cdot\underline v\right)=\frac19\left(-\underline u^2+2\underline v^2-\underline u\cdot\underline v\right)$.

נתון $AB\perp AC$, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$.

נתון $|\underline u|=\sqrt2\,|\underline v|$, ולכן $\underline u^2=|\underline u|^2=2|\underline v|^2=2\underline v^2$.

נציב: $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac19\left(-2\underline v^2+2\underline v^2-0\right)=0$.

המכפלה הסקלרית של שני וקטורים שאינם וקטור האפס שווה ל-$0$, ולכן $\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{MN}$.

קרחון A מאבד 3% בכל שנה, ולכן נשאר 97% מהמשקל: המנה היא $0.97$.

בקרחון B המנה $q$ לא ידועה. לאחר 5 שנים:

טעות נפוצה: לכתוב עבור A את המנה $0.03$ (האחוז שאובד) במקום $0.97$ (החלק שנשאר), או לחלק את הירידה הכוללת ב-5 כדי למצוא את המנה של B.

$g(0)=12>f(0)=8$, כלומר קרחון B מתחיל כבד יותר.

$0.9<0.97$, כלומר קרחון B מאבד 10% בשנה לעומת 3% של A - הוא דועך מהר יותר.

גרף I מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר (הוא חותך את גרף II ונשאר מתחתיו). לכן קרחון B מתואר בגרף I וקרחון A בגרף II.

טעות נפוצה: לנמק רק לפי הנקודה ההתחלתית או רק לפי המנה. הגרפים נחתכים, ולכן צריך להראות ששני הנתונים מתאימים: B מתחיל גבוה ויורד מהר.

מחלקים ב-$8\cdot0.9^t$:

המשקלים היו שווים לאחר כ-5.41 שנים.

טעות נפוצה: לעגל את המנה של B בסעיף א ל-$0.91$ או $0.89$ ולהמשיך איתה - שגיאה קטנה במנה משנה את זמן המפגש בכמה חודשים. מעגלים רק בסוף.

צריך לפתור את אי-השוויון $g(t)<\frac12f(t)$:

מחלקים ב-$12\cdot0.97^t$ (חיובי, כיוון אי-השוויון נשמר):

הבסיס $\frac{0.9}{0.97}$ קטן מ-1, ולכן הפונקציה $\left(\frac{0.9}{0.97}\right)^t$ יורדת ושואפת ל-0. כלומר מתישהו היא תרד מתחת ל-$\frac13$ ותישאר שם - הטענה נכונה.

מוצאים את רגע השוויון:

אחרי $t\approx14.67$ אי-השוויון מתקיים. השנה השלמה הראשונה היא $t=15$.

בדיקה: $g(14)\approx2.75$, $\frac12f(14)\approx2.61$ (עדיין לא); $g(15)\approx2.47$, $\frac12f(15)\approx2.53$ (כן).

טעות נפוצה: לחלק בלוגריתם של בסיס קטן מ-1 (מספר שלילי) בלי להפוך את כיוון אי-השוויון, ולקבל $t<14.67$ - כלומר "בשנים הראשונות", בניגוד לסרטוט.

נסמן ב-$q$ את מנת הגדילה השנתית. מהנתון: $q^6=1.3$.

מחפשים $t$ שבו $q^t=2$. אין צורך למצוא את $q$ עצמו: מעלים את $q^6=1.3$ בחזקה מתאימה, או פשוט מוציאים לוגריתם:

מחלקים את המשוואות זו בזו:

(דרך אחרת: $q=1.3^{\frac16}\approx1.0447$, ואז $t=\frac{\log2}{\log1.0447}\approx15.85$.)

טעות נפוצה: להניח שהגדילה ליניארית - "פי 1.3 ב-6 שנים, כלומר עוד 30% בכל 6 שנים, ולכן פי 2 אחרי 20 שנים". הגדילה מצטברת בכפל, ולכן ההכפלה מגיעה מוקדם יותר.

בין שתי נקודות מקסימום של פונקציה רציפה יש נקודת מינימום, ולפי הנתון יש רק מינימום אחד. לכן סדר נקודות הקיצון משמאל לימין הוא: מקסימום, מינימום, מקסימום.

בנקודת מקסימום הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ובנקודת מינימום - משלילית לחיובית.

לכן סימני $f'(x)$ משמאל לימין הם: $+$, $-$, $+$, $-$ (שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$).

בגרף I הגרף חיובי משמאל, יורד מתחת לציר, חוזר מעליו, ומימין לנקודת החיתוך האחרונה הוא שלילי - בדיוק הסימנים האלה. בגרף II הסימנים הפוכים ($-$, $+$, $-$, $+$), וזה מתאים לסדר מינימום, מקסימום, מינימום.

הגרף של $f'(x)$ הוא גרף I.

טעות נפוצה: לבחור את גרף II כי ב“גבעות” שלו רואים שני שיאים ו“עמק” באמצע, כאילו זה גרף הפונקציה עצמה. בגרף נגזרת קובעים לפי הסימנים בין נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: מציבים $x=0$:

הנקודה $(0,4)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: שבר שווה 0 רק כשהמונה 0 (המכנה $e^{0.5x^2}$ חיובי תמיד). אבל $x^2+2\ge2>0$ לכל $x$, ולכן $(x^2+2)^2>0$ - המונה אף פעם לא מתאפס.

אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$. נקודת החיתוך היחידה עם הצירים: $(0,4)$.

טעות נפוצה: לכתוב $e^0=e$ ולקבל $f(0)=\frac4e$, כלומר את הנקודה $\left(0,\frac4e\right)\approx(0,1.47)$. $e^0=1$.

פונקציה היא זוגית אם $f(-x)=f(x)$ לכל $x$ בתחום (והתחום כאן הוא כל המספרים, סימטרי סביב 0).

ולכן $f(x)$ זוגית, והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לכתוב $(-x)^2=-x^2$, ולקבל $f(-x)=\frac{(2-x^2)^2}{e^{-0.5x^2}}\ne f(x)$ - ולהסיק בטעות שהפונקציה אינה זוגית.

גוזרים לפי כלל המנה. הנגזרת של המונה לפי כלל השרשרת: $\left[(x^2+2)^2\right]'=2(x^2+2)\cdot2x=4x(x^2+2)$, ושל המכנה: $\left(e^{0.5x^2}\right)'=x\cdot e^{0.5x^2}$.

$f'(x)=0$ כשהמונה 0: $x=0$ או $x^2=2$, כלומר $x=\pm\sqrt2$ (הגורם $x^2+2$ אינו מתאפס).

טבלת סימנים (המכנה והגורם $x^2+2$ חיוביים, ולכן הסימן הוא של $x(2-x^2)$):

נקודות הקיצון: $\max\left(-\sqrt2,\frac{16}{e}\right)$, $\min(0,4)$, $\max\left(\sqrt2,\frac{16}{e}\right)$ (מתאים לנתון ולגרף I).

טעות נפוצה: לגזור את $e^{0.5x^2}$ בלי הגורם $x$ מכלל השרשרת. אז המונה הוא $(x^2+2)(4x-x^2-2)$, ומקבלים קיצון ב-$x=2\pm\sqrt2$ - שתי נקודות לא סימטריות, בסתירה לזוגיות.

מרכזים את מה שמצאנו:

- $f(x)>0$ לכל $x$ (מונה ומכנה חיוביים), ולכן הגרף כולו מעל ציר ה-$x$; הוא חותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,4)$, שהיא גם נקודת המינימום.

•מקסימום ב-$(-\sqrt2,5.89)$ וב-$(\sqrt2,5.89)$; עלייה עד $-\sqrt2$, ירידה עד 0, עלייה עד $\sqrt2$, ירידה אחרי $\sqrt2$.

•כש-$x\to\pm\infty$ המכנה $e^{0.5x^2}$ גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן $f(x)\to0$: הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית בשני הצדדים.

•הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ (סעיף ג).

הסקיצה: שתי גבעות שוות גובה משני צדי ציר ה-$y$ ושקע ביניהן בגובה 4, ומחוץ לגבעות הגרף יורד לאט אל ציר ה-$x$ בלי לגעת בו.

טעות נפוצה: לסרטט את המינימום על ציר ה-$x$ (בראשית). $f(0)=4$, והגרף אינו נוגע בציר ה-$x$ כלל.

גרף $f'(x)$ חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=-\sqrt2,0,\sqrt2$, ומחוץ ל-$[-\sqrt2,\sqrt2]$ הוא רק מתקרב לציר. לכן השטח הסגור נמצא בתחום $-\sqrt2\le x\le\sqrt2$, בשני חלקים:

ב-$-\sqrt2<x<0$ הנגזרת שלילית (החלק מתחת לציר), וב-$0<x<\sqrt2$ חיובית.

הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$, ולכן $\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$:

השטח הוא $\frac{32}{e}-8\approx3.77$ יחידות שטח.

טעות נפוצה: לכתוב את השטח כ-$2f(\sqrt2)=\frac{32}{e}\approx11.77$, כאילו המינימום בגובה 0. כאן $f(0)=4$, וכל חלק הוא ההפרש $f(\sqrt2)-f(0)$.

חיתוכים: $\ln x=0\Rightarrow x=1$; $\ln x=-a\Rightarrow x=e^{-a}$.

$f'=0\iff\ln x=-\frac a2\iff x=e^{-\frac a2}$. המכנה חיובי, והמונה עובר משלילי לחיובי - מינימום.

טעות נפוצה: לכתוב $\ln\left(e^{-\frac a2}\right)=e^{-\frac a2}$ ולהציב את זה בפונקציה. הלוגריתם "מבטל" את $e$: $\ln\left(e^{-\frac a2}\right)=-\frac a2$.

$a>0$, ולכן $a=4$ ($a=-4$ נפסל).

טעות נפוצה: לכתוב $-\frac a2=-4$ (להשוות את שיעור ה-$x$ במקום את ערך הפונקציה) ולקבל $a=8$.

$f(x)=(4+\ln x)\ln x$ מתאפסת ב-$x=e^{-4}$ וב-$x=1$.

סימן $f$: עבור $0<x<e^{-4}$ שני הגורמים שליליים - $f>0$; עבור $e^{-4}<x<1$: $4+\ln x>0$, $\ln x<0$ - $f<0$; עבור $x>1$ - $f>0$.

$g'=f$: ב-$x=e^{-4}$ מחיובית לשלילית - מקסימום של $g$; ב-$x=1$ משלילית לחיובית - מינימום.

טעות נפוצה: לפתור $4+\ln x=0$ כ-$x=e^4$ ולענות שלפונקציה $g$ יש קיצון ב-$x=e^4$. לפי הגדרת הלוגריתם $\ln x=-4$ פירושו $x=e^{-4}$.