מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 5 מעל רמת בגרות

הפיקדונות יוצרים סדרה חשבונית. נסמן ב-$a_1$ את הפיקדון הראשון וב-$d$ את ההפרש.

הפיקדון השישי גדול פי 2 מהשני:

סכום שלושת הפיקדונות הראשונים:

מציבים $a_1=3d$: $9d+3d=12d=2700$, ולכן $d=225$ ו-$a_1=675$.

בדיקה: $a_2=900$, $a_6=675+5\cdot225=1800=2\cdot900$, ו-$675+900+1125=2700$.

טעות נפוצה: לתרגם "גדול פי 2" ל-$a_6=a_2+2$ או ל-$a_6=2a_1$ - היחס הוא בין הפיקדון השישי לפיקדון השני.

מחפשים את ה-$n$ הטבעי הקטן ביותר שעבורו $S_n>40{,}000$:

מחלקים ב-25: $9n^2+45n-3200>0$.

שורשי הטרינום:

$\sqrt{117{,}225}\approx342.4$, ולכן השורשים הם $n\approx16.52$ ו-$n\approx-21.52$.

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן אי-השוויון מתקיים מימין לשורש החיובי: $n>16.52$. ה-$n$ הטבעי הקטן ביותר הוא 17.

בדיקה: $S_{16}=8\cdot(1350+15\cdot225)=37{,}800<40{,}000$, ו-$S_{17}=\frac{17}{2}\cdot(1350+16\cdot225)=42{,}075>40{,}000$.

הסכום עבר את 40,000 שקלים לראשונה בסוף החודש ה-17.

טעות נפוצה: לעגל את 16.52 ל-16, או לענות 16.52 חודשים - מספר החודשים טבעי, ובסוף החודש ה-16 הסכום עוד לא עבר את היעד.

מחיר המחשב שווה לפיקדון של החודש ה-12:

שלושת התשלומים הם $450$, $450q$, $450q^2$, וסכומם הוא מחיר המחשב:

ב-$q=-3$ התשלום השני היה $450\cdot(-3)=-1350$ - תשלום שלילי אינו אפשרי. לכן $q=2$.

בדיקה: $450+900+1800=3150$.

טעות נפוצה: להציב בנוסחת הסכום $\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ ולהיתקע במשוואה ממעלה שלישית; עם שלושה איברים בלבד עדיף לכתוב את הסכום במפורש. טעות נוספת: להשאיר את $q=-3$.

$\vec{CC'}=\vec{AA'}=\underline w$, ולכן $\overrightarrow{CP}=\frac13\underline w$:

$M$ אמצע האלכסון $A'C'$, ו-$\vec{A'C'}=\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AP}$, שהוא $\overrightarrow{PM}$ - מקבלים את כל המקדמים עם סימן הפוך.

בתיבה $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ מאונכים זה לזה, ולכן כל המכפלות המעורבות הן 0.

ולכן $\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{MP}$.

טעות נפוצה: להציב את האורך עצמו במקום ריבועו, למשל $\underline w^2=15$, ולקבל $18+32-\frac{10}3\ne0$. $\underline w^2=|\underline w|^2=225$.

לפי ב(1) המשולש ישר-זווית ב-$P$, והניצבים הם $AP$ ו-$MP$.

טעות נפוצה: לחשב $|\overrightarrow{MP}|^2$ עם $\frac23\underline w^2$ במקום $\frac49\underline w^2$ - מעלים בריבוע גם את המקדם.

$DA=|\underline v|=8$ (כי $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$), $DC=|\underline u|=6$ (כי $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$), $DD'=|\underline w|=15$.

לכן $A(8,0,0)$, $C(0,6,0)$, $D'(0,0,15)$.

$B=A+\overrightarrow{DC}=(8,6,0)$, $C'=C+\vec{DD'}=(0,6,15)$.

טעות נפוצה: להחליף בין האורכים ולשים את $A$ ב-$(6,0,0)$ - $DA$ מקביל ל-$BC$, ולכן אורכו $|\underline v|=8$.

$M$ אמצע האלכסון $A'C'$. $A'(8,0,15)$ ו-$C'(0,6,15)$, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב אמצע של $AC$ (בבסיס התחתון) ולקבל $(4,3,0)$ - $M$ נמצאת בפאה העליונה.

$CP=\frac13\cdot15=5$, ולכן $P(0,6,5)$.

$\overrightarrow{MP}=P-M=(-4,3,-10)$, $\overrightarrow{MB}=B-M=(4,3,-15)$.

טעות נפוצה: לשים את $P$ ב-$(0,6,10)$, כלומר למדוד $\frac13$ מלמעלה. הנתון $\overrightarrow{CP}=\frac13\vec{CC'}$ מודד מ-$C$ שבבסיס.

מ-2005 עד 2015 עברו 10 שנים. באזור A:

"גדול ב-25%" פירושו פי $1.25$:

מספר הצבים באזור B קטן ב-3% בכל שנה.

טעות נפוצה: לתרגם "גדול ב-25%" ל-$M_A+25$ או ל-$0.25M_A$.

דורשים $84{,}000\cdot0.94^t<42{,}000$, כלומר $0.94^t<0.5$.

לוקחים לוגריתם. $\log0.94<0$, ולכן בחלוקה בו כיוון אי-השוויון מתהפך:

המספרים נמדדים בתחילת כל שנה, ולכן $t$ שלם: $t=12$, כלומר תחילת 2017.

בדיקה: $84{,}000\cdot0.94^{11}\approx42{,}529>42{,}000$, ו-$84{,}000\cdot0.94^{12}\approx39{,}977<42{,}000$.

טעות נפוצה: לא להפוך את כיוון אי-השוויון בחלוקה בלוגריתם שלילי, ולקבל $t<11.2$.

בתחילת 2017 היו באזור A $84{,}000\cdot0.94^{12}$ צבים. אחרי 10 שנות גידול במנה $Q$:

$84{,}000$ מצטמצם:

מספר הצבים גדל בכ-7.7% בכל שנה.

שימו לב: 12 שנות ירידה של 6% "תוקנו" ב-10 שנות גידול של כ-7.7%, ולא של 6% - כי הגידול מחושב מכמות קטנה יותר.

טעות נפוצה: להניח שהגידול צריך להיות 6% כדי "לבטל" ירידה של 6%, או להשתמש ב-12 שנים במקום 10 בשלב הגידול.

נסמן ב-$s$ את מספר השנים מתחילת 2017. בתחילת 2017:

דורשים $M_A(s)>M_B(s)$. מחלקים את שני האגפים ב-$39{,}977\cdot0.97^s$ (חיובי):

היחס בין שני התהליכים הוא בעצמו תהליך מעריכי, עם מנה $\frac{1.077}{0.97}\approx1.110$:

$s$ שלם, ולכן $s=3$: תחילת 2020.

בדיקה: ב-2019 ($s=2$): $46{,}371<50{,}073$; ב-2020 ($s=3$): $49{,}941>48{,}570$.

טעות נפוצה: לחבר את אחוזי השינוי ($7.7\%+3\%$) ולחשב כאילו היחס גדל ב-10.7% בשנה. המנות מתחלקות, ולא האחוזים מתחברים.

המכנה $x^2$ מתאפס רק ב-$x=0$, והמונה $e^{ax-2}$ מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x\neq0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$ - המכנה $x^2$ מתאפס רק ב-0, וגם ערכים שליליים של $x$ בתחום.

ב-$x=0$ המכנה מתאפס והמונה $e^{ax-2}$ אינו מתאפס (חזקה של $e$ תמיד חיובית).

לכן כש-$x\to0$ ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף, והישר $x=0$ הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית במקום שבו המונה מתאפס - כאן המונה אף פעם לא מתאפס, והאסימפטוטה היא באפס של המכנה.

המונה $e^{ax-2}$ הוא חזקה של $e$, וחזקה של מספר חיובי חיובית לכל מעריך.

המכנה $x^2$ חיובי לכל $x\neq0$.

מנה של שני מספרים חיוביים חיובית, ולכן $f(x)>0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה.

טעות נפוצה: לטעון שהמונה יכול להיות שלילי כשהמעריך שלילי - מעריך שלילי נותן מספר קטן מ-1, אבל עדיין חיובי.

משווים מעריכים: $-a-2=-5$, ולכן $a=3$.

טעות נפוצה: להציב $x=-1$ ולכתוב את המעריך כ-$a-2$ (בלי הסימן של $x$), ולקבל $a=-3$.

$f(x)=\frac{e^{3x-2}}{x^2}$. לפי כלל המנה:

$f'(x)=0$ כש-$3x-2=0$, כלומר $x=\frac23$.

סימן הנגזרת לפי $3x-2$ ו-$x^3$:

- $x<0$: שני הגורמים שליליים, $f'>0$ - עולה.

- $0<x<\frac23$: $3x-2<0$, $x^3>0$, $f'<0$ - יורדת.

- $x>\frac23$: $f'>0$ - עולה.

מינימום ב-$x=\frac23$: $f\left(\frac23\right)=\frac{e^{0}}{\frac49}=\frac94$.

טעות נפוצה: לבטל את $x$ במונה ובמכנה ולהישאר עם $x^2$ במכנה - אז הסימן בצד השלילי יוצא שגוי. אחרי הצמצום נשאר $x^3$.

•אסימפטוטה אנכית $x=0$, והפונקציה חיובית - משני צדי האסימפטוטה הגרף עולה ל-$+\infty$.

•כש-$x\to-\infty$: $e^{3x-2}\to0$ ו-$x^2\to\infty$, ולכן $f\to0$: הישר $y=0$ אסימפטוטה אופקית משמאל.

- $x<0$: עולה, מעל ציר ה-$x$.

- $x>0$: יורדת עד $\left(\frac23,\frac94\right)$ ואחר כך עולה.

טעות נפוצה: לסרטט אסימפטוטה $y=0$ גם מימין - כש-$x\to\infty$ המונה גדל מהר יותר מהמכנה והפונקציה שואפת לאינסוף.

$g$ היא הזזה אנכית של $f$ ב-$k$: הענף השמאלי מקבל כל ערך גדול מ-$k$ פעם אחת; לענף הימני מינימום $\frac94+k$.

הישר $y=-2$ חותך את הענף השמאלי (פעם אחת) רק אם $-2>k$. בענף הימני: אפס, אחת או שתי נקודות, לפי $-2$ לעומת $\frac94+k$.

שתיים בענף הימני דורש $\frac94+k<-2$, ואז גם $k<-2$ - והישר חותך גם את השמאלי: שלוש נקודות. לכן המקרה היחיד הוא נקודה אחת בכל ענף - הישר משיק במינימום:

בדיקה: $k=-4.25<-2$, ולכן הישר חותך את הענף השמאלי. סך הכול שתי נקודות.

טעות נפוצה: לשכוח את הענף השמאלי ולחפש $k$ שבו הישר חותך את הענף הימני פעמיים.

היגד I: נקודות הקיצון של $f$ הן הנקודות שבהן $f'$ מחליפה סימן. גרף $f'$ חותך את ציר ה-$x$ פעמיים, ובשתיהן מחליף סימן (מ-$-$ ל-$+$ ואז מ-$+$ ל-$-$). לכן ל-$f$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון - ההיגד נכון.

היגד II: מימין לנקודת המקסימום של $f'$ הגרף של $f'$ יורד, אבל עד נקודת החיתוך השנייה עם ציר ה-$x$ הוא עדיין מעל הציר, כלומר $f'>0$. בקטע הזה $f$ עולה (רק בקצב שהולך וקטן). לכן $f$ לא יורדת בכל התחום הזה - ההיגד לא נכון.

טעות נפוצה: לקרוא את ירידת הגרף של $f'$ כירידה של $f$ - העלייה והירידה של $f$ נקבעות לפי הסימן של $f'$, לא לפי הכיוון שלה.

לפי כלל המנה (נגזרת המונה: $2a\ln x\cdot\frac1x$):

$a>0$ והמכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי $\ln x\,(1-\ln x)$: שלילי ב-$0<x<1$, חיובי ב-$1<x<e$, שלילי ב-$x>e$.

ב-$x=1$ מינימום, $f(1)=0$. ב-$x=e$ מקסימום:

טעות נפוצה: לחשוב שהפרמטר משנה את מקומות הקיצון - $a$ הוא גורם חיובי קבוע, ולכן הוא משנה רק את הגובה.

מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך של גרף $f$ עם הישר האופקי $y=m$. משתמשים בחקירה:

כאשר $x\to0^+$, $f(x)\to\infty$; כאשר $x\to\infty$, $f(x)\to0$ (החזקה $x^2$ מנצחת את $(\ln x)^2$); ו-$f(x)\ge0$ לכל $x$.

בתחום $0<x<1$: $f$ יורדת מ-$\infty$ ל-0 - מקבלת כל ערך חיובי פעם אחת.

בתחום $1<x<e$: $f$ עולה מ-0 ל-$\frac a{e^2}$.

בתחום $x>e$: $f$ יורדת מ-$\frac a{e^2}$ ומתקרבת ל-0 בלי להגיע אליו.

לכן:

$m<0$: אין פתרון (הפונקציה לא שלילית).

$m=0$: פתרון אחד, $x=1$.

$0<m<\frac a{e^2}$: שלושה פתרונות - אחד בכל אחד משלושת התחומים.

$m=\frac a{e^2}$: שני פתרונות - $x=e$ ואחד בתחום $0<x<1$.

$m>\frac a{e^2}$: פתרון אחד, בתחום $0<x<1$.

טעות נפוצה: לשכוח את הענף השמאלי ($0<x<1$), שעולה עד אינסוף, ולענות שלמשוואה עם $m$ גדול אין פתרונות.

גרף $g$ הוא גרף $f$ מוזז 4 יחידות ימינה. הזזה אופקית לא משנה את גובה הנקודות, ולכן למשוואה $g(x)=1$ יש בדיוק אותו מספר פתרונות כמו ל-$f(x)=1$.

לפי סעיף ג, יש בדיוק שני פתרונות רק כאשר $m$ שווה לערך המקסימלי:

עבור $a=e^2$ אחד הפתרונות הוא נקודת המקסימום של $g$: המקסימום של $f$ ב-$x=e$ זז ל-$x=e+4$, ושם $g(e+4)=f(e)=\frac{e^2}{e^2}=1$.

(הפתרון השני נמצא בתחום $4<x<5$, התמונה של הענף $0<x<1$ של $f$.)

טעות נפוצה: לדרוש שהמינימום יהיה בגובה 1 - בגובה המינימום (0) יש פתרון אחד, והמקרה של שני פתרונות הוא ההשקה בנקודת המקסימום.