מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 8 מעל רמת בגרות

נסמן את מספר הימים $n=2m+1$ (אי-זוגי) ואת ההפרש $d$. יש $m+1$ ימים אי-זוגיים ו-$m$ ימים זוגיים.

מסדרים את ההפרש בזוגות: כל יום זוגי עם היום האי-זוגי שאחריו.

כל סוגריים שווים ל-$d$, ויש $m$ סוגריים:

היום ה-$(m+1)$ הוא בדיוק היום האמצעי (יש $m$ ימים לפניו ו-$m$ אחריו). לכן ביום האמצעי היו 225 מבקרים.

טעות נפוצה: להניח שמספר הימים האי-זוגיים שווה למספר הימים הזוגיים, ולקבל $S_{odd}-S_{even}=md$ בלי האיבר $a_1$.

בסדרה חשבונית עם מספר אי-זוגי של איברים, האיבר האמצעי הוא ממוצע הקצוות: $a_1+a_n=2a_{mid}$.

לכן

התערוכה נמשכה 11 ימים (מספר אי-זוגי, כנדרש).

טעות נפוצה: לעבוד עם סכום הימים האי-זוגיים, $\frac{2475+225}{2}=1350=225\cdot6$, ולענות 6 ימים. 6 הוא מספר הימים האי-זוגיים בלבד; מספר כל הימים הוא $2\cdot6-1=11$.

$a_1+a_{11}=2a_6=450$, ונתון $a_{11}=4a_1$:

בדיקה: $a_6=90+5\cdot27=225$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{11}=a_1+11d$ ולקבל $d\approx24.5$.

נסמן ב-$k$ את מספר הימים שנוספו. אחרי $11+k$ ימים הסכום הכולל הוא $2475+1710=4185$:

נסמן $N=11+k$:

מחלקים ב-9: $3N^2+17N-930=0$.

$N=15$ או $N=-\frac{62}{3}$. $N$ טבעי, ולכן $N=15$ ו-$k=4$.

בדיקה: ימים 12-15: $387+414+441+468=1710$.

התערוכה הוארכה ב-4 ימים.

טעות נפוצה: להשוות $S_k$ (סכום $k$ האיברים הראשונים) ל-1,710. הימים שנוספו הם האיברים ה-12 עד ה-$(11+k)$, לא הראשונים בסדרה.

$A(6,0,0)$, $B(0,8,0)$. נסמן $S(x,y,z)$ עם $z>0$, ומשווים ריבועי מרחקים:

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה: $-12x+36=0$, ולכן $x=3$.

($z=-12$ נפסל כי $S$ מעל מישור $xy$.) $S(3,4,12)$.

טעות נפוצה: לפתוח $(x-6)^2$ כ-$x^2-36$ ולקבל $x^2+y^2+z^2-36=169$, משוואה שסותרת את הראשונה.

הבסיס $ABO$ נמצא במישור $xy$ וישר-זווית ב-$O$: $S_{ABO}=\frac{6\cdot8}{2}=24$.

הגובה הוא המרחק של $S$ ממישור $xy$, כלומר שיעור ה-$z$ שלה: $h=12$. (אפשר גם לראות ש-$\overrightarrow{DS}=(0,0,12)$ מאונך ל-$\overrightarrow{OA}$ ול-$\overrightarrow{OB}$, כאשר $D(3,4,0)$ אמצע $AB$.)

טעות נפוצה: לקחת את המקצוע הצדדי (13) כגובה ולקבל 104. המקצוע נטוי; הגובה מאונך לבסיס.

$D=(3,4,0)$ ו-$S=(3,4,12)$, ולכן כל נקודה על $DS$ היא $P(3,4,p)$ עם $0\le p\le12$.

$\angle APB=90^\circ$ כשהמכפלה הסקלרית 0:

($p=-5$ אינו על הקטע.) $P(3,4,5)$.

טעות נפוצה: לא לבדוק שהנקודה על הקטע ולענות שתי נקודות, $P(3,4,5)$ ו-$P(3,4,-5)$. הנקודה $(3,4,-5)$ נמצאת מתחת למישור הבסיס, מחוץ לקטע $DS$ ($0\le p\le12$).

$P(3,4,p)$:

הביטוי $p^2+7$ חיובי לכל $p$, ולכן המכפלה הסקלרית אף פעם לא 0: הזווית $OPA$ תמיד חדה, ואין נקודה כזו.

(הסבר גאומטרי: הזווית $OPA$ ישרה רק אם $P$ על הספירה שקוטרה $OA$; המרחק של $D$ מאמצע $OA$ הוא 4, יותר מרדיוס 3.)

טעות נפוצה: לכתוב $(-p)\cdot(-p)=-p^2$ ולקבל $\overrightarrow{PO}\cdot\overrightarrow{PA}=7-p^2$. אז "מוצאים" $p=\sqrt7$ ועונים בטעות שיש נקודה כזו, $P(3,4,\sqrt7)$.

מבנה הפונקציה: $f(t)=f(0)\cdot q^t$.

ב-$t=0$ (תחילת 2024) יש 120,000 תושבים, ולכן (2) ו-(4) נפסלות: בהן $f(0)=122{,}400$, שזה מספר התושבים אחרי שנה.

גדילה של 2%: $q=1+\frac2{100}=1.02$. (1) נפסלת, כי $q=1.2$ פירושו גדילה של 20%.

התשובה: (3).

טעות נפוצה: לבחור ב-(2), כי $120{,}000\cdot1.02=122{,}400$. בפונקציה הזאת כבר בהתחלה נכללת שנה אחת של גדילה, כך שהיא מקדימה בשנה.

טעות נפוצה: להוסיף 2% מ-120,000 בכל שנה ($120{,}000+15\cdot2{,}400=156{,}000$). הגדילה היא 2% מהמספר הנוכחי, שגדל משנה לשנה.

הכמות ההתחלתית 30,000, והמנה $q=1+\frac9{100}=1.09$.

טעות נפוצה: לכתוב $g(t)=30{,}000\cdot1.9^t$ - להוסיף את 9 כספרה אחרי הנקודה. 9% הם $0.09$.

נקודת ההתחלה: $f(0)=120{,}000$ ו-$g(0)=30{,}000$. גרף II מתחיל נמוך יותר.

קצב הגדילה: המנה של $g$ ($1.09$) גדולה מזו של $f$ ($1.02$), ולכן $g$ עולה תלול יותר. גרף II עולה בתלילות וחוצה את גרף I.

לכן גרף II מתאר את $g(t)$.

טעות נפוצה: לחשוב שהגרף שגבוה בסוף הסרטוט הוא של העיר הגדולה. העיר הקטנה גדלה מהר יותר ועוקפת אותה.

מחלקים ב-$30{,}000\cdot1.02^t>0$:

המפקד נערך ב-$t$ שלם, והשלם הראשון שגדול מ-20.89 הוא 21: $2024+21=2045$.

טעות נפוצה: לחלק את האחוזים ($\frac92=4.5$) במקום את המנות: $4.5^t>4$ נותן $t>0.92$, ומתקבלת התשובה השגויה "בתחילת שנת 2025". בגדילה מעריכית משווים מנות ($\frac{1.09}{1.02}$), לא אחוזים.

$a>0$, ולכן למשוואה $e^x=a$ יש פתרון: $x=\ln a$.

תחום ההגדרה: $x\ne\ln a$.

ב-$x=\ln a$ המונה הוא $e^{2\ln a}=a^2\ne0$, ולכן הישר $x=\ln a$ הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לשכוח לנמק למה יש פתרון - אילו $a$ היה שלילי, המכנה לא היה מתאפס כלל.

$f'(x)=0$ כאשר $e^x=2a$, כלומר $x=\ln(2a)$ (וזה מימין ל-$\ln a$).

סימן הנגזרת נקבע לפי $e^x-2a$: שלילי עבור $x<\ln(2a)$ ($x\ne\ln a$), חיובי עבור $x>\ln(2a)$. לכן זו נקודת מינימום.

נקודת מינימום: $(\ln(2a),\,4a)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\ln(2a)=2\ln a$ - הלוגריתם של מכפלה הוא סכום: $\ln2+\ln a$.

הישר $x=\ln18$ מימין לנקודת הקיצון, ושם $f'>0$. לכן השטח הוא מ-$x=\ln(2a)$ עד $x=\ln18$:

(השתמשנו ב-$e^{2\ln18}=324$ ובתוצאה מסעיף ב.)

$a=6$ או $a=11.25$.

התנאי: הישר $x=\ln18$ מימין לנקודת הקיצון, כלומר $\ln(2a)<\ln18$, ולכן $2a<18$ ו-$a<9$. $a=11.25$ נפסל ($2a=22.5$).

לכן $a=6$. בדיקה: $f(\ln18)=\frac{324}{12}=27$, $4a=24$, $27-24=3$.

טעות נפוצה: להשאיר את שני הפתרונות. עבור $a=11.25$ הישר $x=\ln18$ משמאל לנקודת הקיצון, ושם הנגזרת שלילית - זו תצורה אחרת מזו שבנתון.

עבור $a=6$: $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-6}$, אסימפטוטה $x=\ln6$ ומינימום $(\ln12,24)$.

משמאל לאסימפטוטה ($x<\ln6$): המכנה שלילי והמונה חיובי, ולכן $f<0$. הפונקציה יורדת; כאשר $x\to-\infty$, $f\to0$, וכאשר $x$ מתקרב ל-$\ln6$ משמאל, $f\to-\infty$. לכן בענף הזה $f$ מקבלת כל ערך שלילי פעם אחת בדיוק.

מימין לאסימפטוטה: $f$ יורדת מ-$+\infty$ ל-24 ואז עולה ל-$+\infty$. לכן כל ערך $m>24$ מתקבל פעמיים, $m=24$ פעם אחת, וערכים $m<24$ לא מתקבלים.

סיכום מספר הפתרונות של $f(x)=m$:

- $m<0$: פתרון אחד (בענף השמאלי).

- $0\le m<24$: אין פתרון.

- $m=24$: פתרון אחד (נקודת המינימום).

- $m>24$: שני פתרונות.

פתרון אחד בדיוק: $m<0$ או $m=24$.

טעות נפוצה: לשכוח את הענף השמאלי ולענות רק $m=24$, או לכלול את $m=0$ - הפונקציה מתקרבת ל-0 אבל לא מגיעה אליו.

הביטוי $\ln x$ מוגדר רק למספרים חיוביים, ושאר הביטוי ($ax^2$) מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne0$, כאילו הבעיה היחידה היא $x=0$ - גם ערכים שליליים של $x$ אינם בתחום, כי $\ln x$ מוגדר רק ל-$x>0$.

$f(x)=0$: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0, ו-$a\ne0$:

$x^2=0$, כלומר $x=0$ - לא בתחום ההגדרה, נפסל.

נקודת החיתוך: $\left(e^{1.5},0\right)$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים הפוך ולקבל $\ln x=\frac23$, כלומר $x=e^{\frac23}\approx1.95$.

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה. גוזרים לפי כלל המכפלה ($\left(2\ln x-3\right)'=\frac2x$):

טעות נפוצה: לגזור כל גורם בנפרד ולכפול, $(x^2)'\cdot(2\ln x-3)'=2x\cdot\frac2x=4$, כלומר $f'(x)=4a$, ולקבל $a=-2$.

$f'(x)=8x(\ln x-1)=0$. בתחום $x>0$, ולכן $\ln x=1$, כלומר $x=e$.

סימן הנגזרת: ל-$0<x<e$, $\ln x<1$ ולכן $f'(x)<0$ (יורדת); ל-$x>e$, $f'(x)>0$ (עולה).

מעבר מירידה לעלייה - מינימום.

נקודת הקיצון: $\min\left(e,-2e^2\right)$.

טעות נפוצה: להציב $x=e$ ולשכוח את הריבוע: $2e(2-3)=-2e\approx-5.44$.

תחום ההגדרה $x>0$: הראשית אינה על הגרף, ולכן נשארים הגרפים עם עיגול ריק בראשית - II ו-IV.

ל-$f$ יש מינימום (ג(1)): בגרף II יש מקסימום, ולכן נשאר גרף IV.

בדיקה: בגרף IV הגרף חותך את ציר ה-$x$ אחרי המינימום, כמו $f$ שחותכת אותו ב-$x=e^{1.5}$ (א(2)), ומשמאל לנקודה הזאת $f(x)<0$ כי $2\ln x-3<0$.

הגרף של $f(x)$ הוא גרף IV.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי גם בו יש מינימום. בגרף I הנקודה בראשית מלאה והגרף לא חותך את ציר ה-$x$.

$g'(x)=-3f'(x)$, ולכן $g'$ מתאפסת באותה נקודה, $x=e$, והסימנים שלה הפוכים לאלה של $f'$.

$f$ עוברת מירידה לעלייה ב-$x=e$, ולכן $g$ עוברת מעלייה לירידה - מקסימום.

נקודת הקיצון: $\max\left(e,\,64.33\right)$.

טעות נפוצה: להשאיר את סוג הקיצון "מינימום" כמו ב-$f$, כלומר לענות $\min(e,\,64.33)$. הכפל ב-$-3$ הופך את הגרף, ומינימום הופך למקסימום.

בנקודת חיתוך $f(x)=g(x)$:

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=5$?

בתחום $0<x\le e^{1.5}$ מתקיים $2\ln x-3\le0$, ולכן $f(x)\le0<5$ - אין פתרון.

בתחום $x>e^{1.5}$ הפונקציה עולה (כי $e^{1.5}>e$) מ-$f(e^{1.5})=0$ ושואפת ל-$+\infty$, ולכן היא עוברת בערך 5 פעם אחת בדיוק.

לכן למשוואה פתרון אחד, והגרפים נחתכים בנקודה אחת.

טעות נפוצה: להעביר אגפים בסימן שגוי, $f(x)-3f(x)=20$, ולקבל $f(x)=-10$; מכיוון ש-$-10>-2e^2\approx-14.78$, יוצאים שני פתרונות (אחד מכל צד של המינימום) והתשובה השגויה "שתי נקודות".