מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך - שאלון 472

$M$ הוא מפגש התיכונים, ולכן הוא נמצא על התיכון מ-$A$ ומחלק אותו ביחס $2:1$ מהקודקוד.

נסמן ב-$K$ את אמצע $BC$. לפי כלל המקבילית, הווקטור לאמצע הצלע הוא ממוצע שני הווקטורים:

$M$ נמצא $\frac23$ מהדרך מ-$A$ ל-$K$:

מ-$A'$ ל-$M$ יורדים ל-$A$ ומשם הולכים ל-$M$:

טעות נפוצה: לעצור באמצע הצלע ולכתוב $\overrightarrow{AM}=\frac12\underline u+\frac12\underline v$ - זה הווקטור אל אמצע $BC$; מפגש התיכונים נמצא רק $\frac23$ מהדרך לשם.

המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי $AA'$ מאונך למישור הבסיס, כלומר מאונך לכל ישר במישור הבסיס - ובפרט ל-$AB$.

הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline w$ היא $90^\circ$:

הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב שמכפלה סקלרית היא מכפלת האורכים, $\underline u\cdot\underline w=|\underline u|\cdot|\underline w|\ne0$, ולקבוע שהטענה אינה נכונה. במכפלה הסקלרית מופיע גם הקוסינוס של הזווית, וכאן הוא 0.

$\underline u$ ו-$\underline v$ הן שתי צלעות של משולש שווה צלעות שיוצאות מהקודקוד $A$. לכן אורכיהן שווים, $|\underline v|=|\underline u|$, והזווית ביניהן $60^\circ$:

אורך הצלע אינו 0, ולכן המכפלה חיובית - הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להעביר את הניצבות של המנסרה הישרה גם לצלעות הבסיס ולקבוע ש-$\underline u\perp\underline v$, כלומר שהטענה נכונה. רק המקצוע הצדדי מאונך לבסיס; הזווית בין שתי צלעות הבסיס היא זווית המשולש, $60^\circ$.

לפי סעיף א, $\overrightarrow{AM}=\frac13\underline u+\frac13\underline v$. פותחים סוגריים:

($\underline w\cdot\underline u=0$ לפי ב(1), ובאותו אופן $\underline w\cdot\underline v=0$, כי גם $AC$ נמצא בבסיס.)

אפשר לראות זאת גם בלי חישוב: $AM$ נמצא במישור הבסיס, ו-$AA'$ מאונך לכל ישר במישור הזה.

הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לבדוק בטעות את $\underline w\cdot\vec{A'M}$ (הווקטור השני מסעיף א): $\underline w\cdot\left(\frac13\underline u+\frac13\underline v-\underline w\right)=-|\underline w|^2\ne0$, ולקבוע שהטענה אינה נכונה.

לפי ב(3), $AA'\perp AM$, ולכן המשולש $AMA'$ ישר-זווית ב-$A$. נשאר למצוא את האורך $AM$.

$|\underline u|=|\underline v|=1$ ו-$\underline u\cdot\underline v=1\cdot1\cdot\cos60^\circ=\frac12$:

במשולש ישר-הזווית $AMA'$ הזווית $AMA'$ נמצאת מול הניצב $AA'=|\underline w|=2$ וליד הניצב $AM$:

בדיקה במכפלה סקלרית: $\overrightarrow{MA}\cdot\vec{MA'}=AM^2=\frac13$ ו-$MA'=\sqrt{\frac13+4}=\sqrt{\frac{13}3}$, ולכן $\cos\angle AMA'=\frac{1/3}{\frac1{\sqrt3}\cdot\sqrt{13/3}}=\frac1{\sqrt{13}}$ - אותה זווית.

טעות נפוצה: לקחת את $AM$ כאורך התיכון כולו, $\frac{\sqrt3}{2}$, במקום $\frac23$ ממנו. מקבלים $\tan\angle AMA'=\frac{4}{\sqrt3}$ ו-$\angle AMA'\approx66.59^\circ$.

מחשבים את הווקטורים של הצלעות (נקודת הסיום פחות נקודת ההתחלה):

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$: הצלעות $AB$ ו-$DC$ מקבילות ושוות, ולכן $ABCD$ מקבילית.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0\cdot2+2\cdot0+0\cdot0=0$: הזווית $ABC$ ישרה, ולכן המקבילית היא מלבן.

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{0+4+0}=2$ ו-$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4+0+0}=2$: שתי צלעות סמוכות שוות, ולכן המלבן הוא ריבוע שאורך צלעו 2.

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{DC}=D-C=(0,-2,0)$, לקבל $\overrightarrow{AB}\ne\overrightarrow{DC}$ ולהסיק ש-$ABCD$ אינו מקבילית. הווקטור $\overrightarrow{DC}$ הוא $C-D$ - הסיום פחות ההתחלה.

פירמידה ישרה היא פירמידה שכל המקצועות הצדדיים שלה שווים (ואז עקב הגובה הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס). מחשבים את ארבעת המקצועות הצדדיים:

כל המקצועות הצדדיים שווים, ולכן הפירמידה ישרה.

טעות נפוצה: לחשב את הרכיב הראשון של $\overrightarrow{SB}$ כ-$-3-2=-5$ (במקום $-3-(-2)=-1$), לקבל $SB=\sqrt{25+1+4}=\sqrt{30}$ ולהסיק בטעות שהפירמידה אינה ישרה.

בפירמידה ישרה עקב הגובה הוא מרכז המעגל החוסם את הבסיס. בריבוע זו נקודת מפגש האלכסונים - אמצע $AC$:

בדיקה: $\overrightarrow{SM}=(0,0,-2)$, ו-$\overrightarrow{SM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$, $\overrightarrow{SM}\cdot\overrightarrow{BC}=0$. $SM$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור הבסיס, ולכן למישור הבסיס.

טעות נפוצה: להניח שעקב הגובה נמצא במישור $z=0$ ולכתוב $M(-2,3,0)$. לכל קודקודי הבסיס $z=1$, ולכן הבסיס נמצא במישור $z=1$.

הבסיס ריבוע שצלעו 2 (סעיף א): $S_{ABCD}=2^2=4$.

הגובה: $SM=|\overrightarrow{SM}|=|(0,0,-2)|=2$.

טעות נפוצה: לקחת את שיעור ה-$z$ של $S$, כלומר 3, כגובה, ולקבל $V=\frac13\cdot4\cdot3=4$. הגובה נמדד ממישור הבסיס $z=1$, לא ממישור $z=0$.

הזווית בקודקוד $B$ היא הזווית בין שני הווקטורים שיוצאים מ-$B$:

בדיקה: המשולש $SMB$ ישר-זווית ב-$M$, ו-$\tan\angle SBM=\frac{SM}{BM}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$ - אותה זווית.

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{SB}=(-1,1,-2)$ במקום $\overrightarrow{BS}$. המכפלה הסקלרית מחליפה סימן, $\cos=-\frac{1}{\sqrt3}$, ומתקבלת הזווית $\approx125.26^\circ$ - זו אינה הזווית שבקודקוד $B$ של המשולש.

בתהליך מעריכי $N(t)=N_0\cdot q^t$, כאשר $t$ הוא מספר השנים מ-1/1/2000 ו-$q$ מנת הגדילה השנתית.

עיר א': ב-10 שנים האוכלוסייה גדלה ב-15%, כלומר הוכפלה פי 1.15:

אחוז הגדילה השנתי בעיר א' הוא כ-$1.41\%$.

עיר ב': מ-20,000 ל-35,000 ב-10 שנים:

אחוז הגדילה השנתי בעיר ב' הוא כ-$5.76\%$.

טעות נפוצה: לחלק את השינוי הכולל במספר השנים: $\frac{15\%}{10}=1.5\%$ בעיר א' ו-$\frac{75\%}{10}=7.5\%$ בעיר ב'. באחוז קבוע הגדילה מצטברת (כמו ריבית דריבית), ולכן האחוז השנתי קטן מהממוצע הפשוט.

מחפשים את $t$ שבו מספרי התושבים שווים:

$\frac{q_B}{q_A}=\left(\frac{1.75}{1.15}\right)^{\frac1{10}}\approx1.04288$. מוציאים לוגריתם משני האגפים:

עברו כ-21.8 שנים מ-1/1/2000, כלומר האיחוד היה במהלך שנת 2021.

טעות נפוצה: להניח גדילה בכמות קבועה (לינארית) עם האחוזים של החלוקה הפשוטה: $50000(1+0.015t)=20000(1+0.075t)$, ומקבלים $t=40$.

בשנת האיחוד מספרי התושבים בשתי הערים שווים, ולכן בעיר המאוחדת יש פעמיים את אוכלוסיית עיר א':

ב-1/1/2000 גרו בשתי הערים יחד $50000+20000=70000$ תושבים.

האוכלוסייה גדלה בכ-$93.8\%$.

טעות נפוצה: לחשב את אחוז הגדילה של כל עיר בנפרד (כ-$35.7\%$ בעיר א' וכ-$239.2\%$ בעיר ב') ולקחת את הממוצע שלהם, כ-$137.4\%$. הערים לא היו שוות בגודלן ב-2000, ולכן ממוצע פשוט של האחוזים אינו אחוז הגדילה של הסכום.

מציבים $x=0$:

נקודת החיתוך: $(0,\ e^4+3)$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $(0,\ e^4+2)$. כל מספר חיובי בחזקת 0 שווה 1.

הפונקציה מוגדרת לכל $x$. גוזרים (נגזרת של $e^{g(x)}$ היא $g'(x)e^{g(x)}$):

סימן הנגזרת: $f'(0)=2-2e^4<0$, $f'(2)=2e^4-2>0$.

נקודת קיצון אחת: מינימום $(1,\ 2e^2+2)$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{4-2x}$ בלי הסימן של הנגזרת הפנימית, $+2e^{4-2x}$. מקבלים $f'(x)=2e^{2x}+2e^{4-2x}>0$ לכל $x$, ומסיקים בטעות שאין נקודות קיצון.

מרכזים את המידע: תחום - כל $x$; חיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,\ e^4+3)$; מינימום ב-$(1,\ 2e^2+2)$; יורדת ב-$x<1$ ועולה ב-$x>1$.

כאשר $x\to\infty$ האיבר $e^{2x}$ שואף לאינסוף, וכאשר $x\to-\infty$ האיבר $e^{4-2x}$ שואף לאינסוף - לכן אין אסימפטוטה אופקית, והגרף עולה לאינסוף בשני הצדדים.

ערך המינימום חיובי, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

בנוסף, $f(1+t)=e^{2+2t}+e^{2-2t}+2=f(1-t)$: הגרף סימטרי ביחס לישר $x=1$.

טעות נפוצה: לסרטט אסימפטוטה $y=2$ בצד שמאל, כי "$e^{2x}\to0$". באותו צד $e^{4-2x}$ שואף לאינסוף, ולכן הגרף עולה בלי גבול.

נקודת הקיצון ב-$x=1$, ולכן האנך הוא הישר $x=1$, והתחום הוא $0\le x\le1$.

ערך המינימום של $f$ הוא $2e^2+2\approx16.78$, ולכן כאשר $0<k<16$ הגרף נמצא כולו מעל הישר $y=k$, והשטח הוא האינטגרל של ההפרש:

משווים לנתון:

הערך מתאים לתנאי $0<k<16$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$+2$ שבפונקציה ולכתוב את האינטגרנד $e^{2x}+e^{4-2x}-k$. מקבלים $\frac{e^4}{2}-\frac12-k=\frac{e^4}{2}-8\frac12$, כלומר $k=8$.

בנקודת ההשקה שיפוע הגרף, $f'(x)$, שווה לשיפוע הישר, 6:

($x=1$ בתחום $x>\frac12$.) הנקודה נמצאת גם על הישר, ולכן $y=6\cdot1-3=3$.

נקודת ההשקה: $(1,\ 3)$.

טעות נפוצה: לחשב את שיעור ה-$y$ מהנגזרת, $f'(1)=6$, ולכתוב $(1,\ 6)$. הנגזרת נותנת שיפוע, לא גובה; את הגובה לוקחים מהישר.

פונקציה קדומה של $\frac{1}{ax+b}$ היא $\frac1a\ln(ax+b)$ (כאן $2x-1>0$ בתחום):

הגרף עובר בנקודת ההשקה $(1,\ 3)$:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק במקדם של $x$ ולכתוב $f(x)=6\ln(2x-1)+3$. גזירה לבדיקה נותנת $\frac{12}{2x-1}$, לא את הנגזרת הנתונה.

הביטוי $\ln(2x-1)$ מוגדר כאשר $2x-1>0$. כאשר $x\to\frac12^{+}$, $2x-1\to0^{+}$ ו-$\ln(2x-1)\to-\infty$, ולכן $f(x)\to-\infty$.

האסימפטוטה המאונכת לציר ה-$x$: $x=\frac12$.

טעות נפוצה: להשוות את הביטוי שבתוך ה-ln ל-1 ולענות $x=1$. ב-$x=1$ מתקיים $\ln1=0$ - ערך רגיל; האסימפטוטה היא היכן שהביטוי שבתוך ה-ln שואף ל-0.

$f'(x)=\frac{6}{2x-1}$. בתחום $x>\frac12$ המכנה חיובי, ולכן $f'(x)>0$ לכל $x$ בתחום.

הפונקציה עולה בכל התחום $x>\frac12$, ואין לה תחום ירידה (ולכן גם אין נקודות קיצון).

טעות נפוצה: לבלבל בין הסימן של $\ln(2x-1)$ לסימן של הנגזרת, ולענות שהפונקציה יורדת ב-$\frac12<x<1$ (שם $\ln(2x-1)<0$) ועולה ב-$x>1$.

($x>\frac12$, בתחום.) נקודת החיתוך: $(0.68,\ 0)$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בצעד האחרון: $x=1+e^{-1}\approx1.37$.

מרכזים: תחום $x>\frac12$; אסימפטוטה $x=\frac12$ שהגרף יורד לאורכה ל-$-\infty$; הפונקציה עולה בכל התחום; חיתוך עם ציר ה-$x$ ב-$(0.68,\ 0)$; הנקודה $(1,\ 3)$, שבה הישר $y=6x-3$ משיק.

הגרף כולו מימין לאסימפטוטה, ואינו חותך את ציר ה-$y$ ($x=0$ מחוץ לתחום).

טעות נפוצה: לסרטט גם ענף משמאל לאסימפטוטה, או גרף שחותך את ציר ה-$y$. הפונקציה מוגדרת רק עבור $x>\frac12$.

$g(x)=-2f(x)=-6\ln(2x-1)-6$ מוגדרת באותו תחום, $x>\frac12$. כאשר $x\to\frac12^{+}$, $f(x)\to-\infty$ ולכן $g(x)\to+\infty$.

האסימפטוטה: $x=\frac12$ (כפל בקבוע משנה ערכי $y$ בלבד, לא את ערכי ה-$x$).

טעות נפוצה: לכפול גם את האסימפטוטה ב-$-2$ ולענות $x=-1$. הכפל $-2f(x)$ הוא מתיחה ושיקוף אנכיים - הוא לא מזיז את הגרף ימינה או שמאלה.

$g'(x)=-2f'(x)=-\frac{12}{2x-1}<0$ לכל $x>\frac12$.

הפונקציה $g(x)$ יורדת בכל התחום, ואין לה תחום עלייה. (שיקוף ביחס לציר ה-$x$ הופך עלייה לירידה.)

טעות נפוצה: לחשוב שכפל בקבוע לא משנה את המונוטוניות ולענות ש-$g$ עולה כמו $f$. הקבוע שלילי, ולכן כיוון המונוטוניות מתהפך.