בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2022 מועד א'

קודם מתרגמים כל נקודה לחלקים של וקטורי הבסיס.

$E$ אמצע $AA'$: $\overrightarrow{AE}=\vec{EA'}=\frac12\underline w$. באותו אופן $G$ אמצע $CC'$: $\overrightarrow{CG}=\vec{GC'}=\frac12\underline w$.

$\overrightarrow{AF}=\frac14\underline u$, ולכן מ-$F$ עד $B$ נשארו שלושה רבעים: $\overrightarrow{FB}=\frac34\underline u$.

$\vec{D'C'}=\overrightarrow{AB}=\underline u$, ולכן $\vec{D'H}=\frac34\underline u$ ו-$\vec{HC'}=\frac14\underline u$.

בקובייה גם $\vec{A'D'}=\overrightarrow{BC}=\underline v$.

עכשיו הולכים לאורך המקצועות:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{FB}=\frac14\underline u$ או $\vec{HC'}=\frac34\underline u$ - היחס הנתון מתאר את הקטע מ-$A$ (או מ-$D'$), והחלק שנשאר הוא המשלים שלו.

מרובע $EFGH$ הוא מקבילית אם זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות, כלומר אם $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$ (וקטורים שווים - אותו אורך ואותו כיוון).

מסעיף א(1):

לכן $EF$ ו-$HG$ שוות ומקבילות, והמרובע $EFGH$ הוא מקבילית.

טעות נפוצה: להשוות את $\overrightarrow{EF}$ ל-$\overrightarrow{GH}$ במקום ל-$\overrightarrow{HG}$. $\overrightarrow{GH}=-\overrightarrow{HG}$, ואז נראה כאילו הווקטורים "נגדיים" ומסיקים בטעות שאין מקבילית - צריך לבחור את שני הווקטורים באותו כיוון סיבוב: מ-$E$ ל-$F$ ומ-$H$ ל-$G$.

נפח קובייה שאורך מקצועה $a$ הוא $a^3$.

טעות נפוצה: לחלק את הנפח ב-3 או ב-6 (כאילו זה סכום מקצועות או שטח פנים) במקום להוציא שורש שלישי.

בקובייה שלושת המקצועות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ מאונכים זה לזה, ולכן כל המכפלות המעורבות הן 0: $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$. אורך כל אחד מהם 8, ולכן $\underline u^2=\underline v^2=\underline w^2=64$.

אורך וקטור מחשבים מהריבוע הסקלרי שלו:

לכן $|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{20}$ ו-$|\overrightarrow{EH}|=\sqrt{116}$.

טעות נפוצה: לשכוח להעלות את המקדם בריבוע, למשל לכתוב $\frac34\cdot64=48$ במקום $\frac9{16}\cdot64=36$.

הזווית $HEF$ היא הזווית בין שני הווקטורים שיוצאים מ-$E$: $\overrightarrow{EH}$ ו-$\overrightarrow{EF}$.

מכפלה סקלרית (המכפלות המעורבות הן 0):

הקוסינוס שלילי, ולכן הזווית קהה: $\angle HEF\approx94.76^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{FE}$ במקום $\overrightarrow{EF}$ (ווקטור שנכנס לקודקוד). הסימן של המכפלה מתהפך, ומתקבלת הזווית המשלימה $85.24^\circ$.

לפי א(2) המרובע הוא מקבילית, ושטח מקבילית הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן.

(עם הזווית המעוגלת: $\sqrt{116}\cdot\sqrt{20}\cdot\sin94.76^\circ\approx48$.)

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת שטח משולש $\frac12ab\sin\alpha$ ולקבל 24 - זה שטח המשולש $EFH$, חצי מהמקבילית.

הפונקציה היא מכפלה של הפולינום $7-3x$ בפונקציה המעריכית $e^{3x}$.

שתיהן מוגדרות לכל $x$, ואין מכנה ואין שורש או $\ln$ שמגבילים.

לכן תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$e^{3x}$ מוגדרת רק ל-$x>0$ - מגבלה כזאת יש ל-$\ln x$, לא לפונקציה מעריכית.

חיתוך עם ציר ה-$y$: מציבים $x=0$: $f(0)=7\cdot e^0=7$, הנקודה $(0,7)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: פותרים $f(x)=0$:

$e^{3x}>0$ לכל $x$ ולעולם אינו מתאפס, ולכן רק הגורם הפולינומי מתאפס:

הנקודה $(2\frac13,0)$.

טעות נפוצה: לחפש פתרון גם מ-"$e^{3x}=0$" ולכתוב $x=0$. ביטוי מעריכי תמיד חיובי ואינו מתאפס.

גוזרים לפי כלל המכפלה; $(e^{3x})'=3e^{3x}$:

$f'(x)=0$: $e^{3x}>0$, ולכן $18-9x=0$, כלומר $x=2$.

סימן הנגזרת נקבע לפי $18-9x$: עבור $x<2$ הוא חיובי (עולה), ועבור $x>2$ שלילי (יורדת). לכן ב-$x=2$ יש מקסימום.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{3x}$ כ-$e^{3x}$ (בלי הכפל ב-3 מכלל השרשרת), ואז מתקבל $f'=e^{3x}(4-3x)$ ונקודת קיצון שגויה ב-$x=\frac43$.

מטבלת הסימנים של ג(1): $f'(x)=e^{3x}(18-9x)$, והגורם $e^{3x}$ תמיד חיובי.

עבור $x<2$: $18-9x>0$, ולכן $f'>0$ - הפונקציה עולה.

עבור $x>2$: $18-9x<0$, ולכן $f'<0$ - הפונקציה יורדת.

טעות נפוצה: להפוך את הסימן של $18-9x$ (כאילו המקדם של $x$ חיובי) ולקבל ירידה לפני 2 ועלייה אחריו - בסתירה לכך שבסעיף ג(1) מצאנו מקסימום.

אוספים את תוצאות החקירה:

כאשר $x\to-\infty$: $e^{3x}\to0$ מהר מאוד, והמכפלה $(7-3x)e^{3x}\to0$. עבור $x<\frac73$ הפונקציה חיובית, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה (אסימפטוטה $y=0$ משמאל).

הגרף עולה, חותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,7)$, מגיע למקסימום $(2,e^6)$.

אחר כך יורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(2\frac13,0)$, ויורד בתלילות ל-$-\infty$ כאשר $x\to\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמטה משמאל. עבור $x<\frac73$ שני הגורמים חיוביים, ולכן הגרף מעל הציר.

גוזרים: $g'(x)=-2f'(x)$. לכן $g'(x)=0$ באותו מקום שבו $f'(x)=0$, כלומר ב-$x=2$.

הכפל ב-$-2$ הופך את הסימן של הנגזרת: לפני 2 $g'<0$ ואחרי 2 $g'>0$ - לכן זו נקודת מינימום.

טעות נפוצה: להשאיר את סוג הקיצון "מקסימום" כמו ב-$f$. כפל בגורם שלילי מהפך את הגרף, ומקסימום הופך למינימום.

לפי ה(1) ל-$g$ יש נקודת מינימום, ולכן גרף I (שיש בו מקסימום) נפסל.

התנהגות בקצוות: כאשר $x\to-\infty$, $f(x)\to0$, ולכן $g(x)\to-2\cdot0-1=-1$. לגרף $g$ אסימפטוטה אופקית $y=-1$ (מתחת לציר ה-$x$) בצד שמאל.

כאשר $x\to\infty$, $f(x)\to-\infty$, ולכן $g(x)\to+\infty$ - הגרף עולה בתלילות בצד ימין.

בגרף II האסימפטוטה בצד ימין והעלייה התלולה בצד שמאל - הפוך. לכן הגרף המתאים הוא III.

טעות נפוצה: לחשוב שהאסימפטוטה של $g$ היא $y=0$ כמו של $f$ - ההזזה ב-$-1$ מזיזה גם את האסימפטוטה.

הפונקציה בנויה כולה מ-$\ln x$, ו-$\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$.

העלאה בחזקה וחיסור לא מוסיפים מגבלות. לכן תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge0$ - ב-$x=0$ הלוגריתם אינו מוגדר.

פותרים $f(x)=0$. מוציאים גורם משותף $(\ln x)^2$:

$\ln x=0\Rightarrow x=e^0=1$, או $\ln x=3\Rightarrow x=e^3$.

שני הפתרונות בתחום ההגדרה. הנקודות: $(1,0)$ ו-$(e^3,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה ב-$(\ln x)^2$ ולאבד את הפתרון $x=1$.

גוזרים בכלל השרשרת: $\left((\ln x)^n\right)'=n(\ln x)^{n-1}\cdot\frac1x$.

$f'(x)=0$: $\ln x=0\Rightarrow x=1$, או $\ln x=2\Rightarrow x=e^2$.

המכנה $x$ חיובי בתחום, ולכן הסימן נקבע לפי $\ln x(\ln x-2)$:

- $0<x<1$: $\ln x<0$ ו-$\ln x-2<0$ - המכפלה חיובית, $f$ עולה.

- $1<x<e^2$: $\ln x>0$ ו-$\ln x-2<0$ - שלילית, $f$ יורדת.

- $x>e^2$: שני הגורמים חיוביים - $f$ עולה.

לכן $x=1$ מקסימום, $f(1)=0$; ו-$x=e^2$ מינימום:

טעות נפוצה: לקבוע ש-$\ln x$ חיובי בכל התחום ($x>0$) ולפספס את המקסימום ב-$x=1$. הלוגריתם שלילי עבור $0<x<1$.

התנהגות ליד הקצה: כאשר $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$. לכן $(\ln x)^3\to-\infty$ ו-$-3(\ln x)^2\to-\infty$, ו-$f\to-\infty$ (הגרף יורד לאורך ציר ה-$y$, אסימפטוטה $x=0$).

הגרף עולה עד המקסימום $(1,0)$ - נוגע בציר ה-$x$, יורד עד המינימום $(e^2,-4)$, ואז עולה, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(e^3,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x=1$. זו נקודת מקסימום שערכה 0, ולכן הגרף רק נוגע בציר ונשאר מתחתיו משני הצדדים.

הנגזרת חיובית בדיוק בתחומים שבהם $f$ עולה, ושלילית בתחומים שבהם $f$ יורדת.

מסעיף ג: $f'(x)>0$ עבור $0<x<1$ ועבור $x>e^2$; $f'(x)<0$ עבור $1<x<e^2$.

טעות נפוצה: לענות לפי הסימן של $f$ עצמה (למשל "שלילית עבור $0<x<e^3$"). שואלים על הנגזרת, שקשורה לעלייה וירידה, לא למיקום הגרף ביחס לציר.

$f'$ מחליפה סימן ב-$x=1$ (לפי ה(1)), ולכן מפצלים את השטח לשני חלקים.

הפונקציה $f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן $\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)$. נחשב ערכים:

$f(1)=0$; $f\left(\frac1e\right)=(-1)^3-3(-1)^2=-4$; $f(e)=1-3=-2$.

על $\left[\frac1e,1\right]$ $f'>0$:

על $[1,e]$ $f'<0$ (כי $e<e^2$), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

טעות נפוצה: לחשב אינטגרל אחד מ-$\frac1e$ עד $e$: $f(e)-f(\frac1e)=-2+4=2$. החלק שמתחת לציר מתקזז, ומתקבל 2 במקום 6.

נקודת קיצון אפשרית - היכן ש-$f'(x)=0$:

אותו בסיס, ולכן משווים מעריכים: $x=2-x$, כלומר $x=1$.

סימן הנגזרת: עבור $x<1$, למשל $x=0$: $f'(0)=1-e^2<0$ (יורדת). עבור $x>1$, למשל $x=2$: $f'(2)=e^2-1>0$ (עולה).

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית, ולכן ב-$x=1$ יש מינימום.

טעות נפוצה: לפתור $e^x=e^{2-x}$ כ-$x=2$ (משווים ל-2 ושוכחים את ה-$-x$ באגף ימין), או לקבוע את סוג הקיצון בלי לבדוק את סימן הנגזרת.

מסעיף א: $f$ יורדת עבור $x<1$, עולה עבור $x>1$, ויש לה מינימום יחיד ב-$x=1$.

$f$ חיובית לכל $x$, ולכן כל הגרף - כולל נקודת המינימום - מעל ציר ה-$x$.

סקיצה: גרף שיורד משמאל, מגיע לנקודת מינימום מעל ציר ה-$x$ ב-$x=1$, ועולה ימינה.

טעות נפוצה: לצייר את המינימום על ציר ה-$x$ או מתחתיו. "חיובית לכל $x$" אומר שגם הערך המינימלי חיובי.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$. בודקים בגזירה של כל אפשרות; $\left(e^{2-x}\right)'=-e^{2-x}$:

(1) $e^x+e^{2-x}$ - לא מתאים.

(2) $e^x-\frac12e^{2-x}$ - לא מתאים.

(3) $e^x+\frac12e^{2-x}$ - לא מתאים.

(4) $e^x-e^{2-x}$ - בדיוק $f'(x)$.

לכן רק אפשרות (4) יכולה לתאר את $f$.

טעות נפוצה: לבחור את (1) כי "האינטגרל של $-e^{2-x}$ הוא $-e^{2-x}$". הנגזרת של המעריך $2-x$ היא $-1$, ולכן האינטגרל של $-e^{2-x}$ הוא $+e^{2-x}$.

האנך הוא הישר $x=1$, וציר ה-$y$ הוא $x=0$. $f$ חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל מ-0 עד 1:

טעות נפוצה: לכתוב פונקציה קדומה $e^x+e^{2-x}$ לאיבר השני (בלי המינוס), ואז האינטגרל יוצא $2e-1-e^2+\dots$ ו-$c$ שגוי.

$f(x)=e^x+e^{2-x}+e$, ונקודת הקיצון ב-$x=1$:

טעות נפוצה: לשכוח את הפרמטר $c=e$ ולענות $2e$.