בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2026 מועד א'

בכל יום הכינו 3 ק"ג יותר מביום שלפניו, לכן הכמויות היומיות יוצרות סדרה חשבונית עם הפרש $d=3$.

נסמן ב-$a_1$ את הכמות ביום הראשון. לפי האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$, ביום הרביעי הכינו $a_4=a_1+3\cdot3=a_1+9$.

סכום הכמויות ביום הראשון וביום הרביעי נתון:

ביום הראשון הכינו 70 ק"ג גלידת שוקולד.

טעות נפוצה: לכתוב $a_4=a_1+4d$. בין היום הראשון ליום הרביעי יש רק שלוש הוספות של $d$.

הכמות הכוללת היא סכום 16 האיברים הראשונים בסדרה החשבונית, עם $a_1=70$ ו-$d=3$:

בסך הכול הכינו 1,480 ק"ג גלידת שוקולד.

טעות נפוצה: לחשב רק את הכמות ביום ה-16 ($a_{16}=115$) במקום את הסכום של כל הימים, או לכתוב $16\cdot3$ במקום $15\cdot3$ בתוך הסוגריים.

הכמות הכוללת של גלידת הווניל קטנה ב-480 ק"ג מכמות השוקולד:

גם כמויות הווניל היומיות יוצרות סדרה חשבונית. ידוע האיבר האחרון ($a_{16}=115$) וידוע הסכום, לכן נוח להשתמש בנוסחת הסכום לפי האיבר הראשון והאחרון:

עכשיו מוצאים את ההפרש מהאיבר הכללי:

טעות נפוצה: להוסיף 480 במקום להחסיר ("קטנה ב-" פירושו שכמות הווניל היא $1480-480$), או לכתוב $a_{16}=a_1+16d$.

בחנות הכינו בסך הכול שוקולד ווניל: $1480+1000=2480$ ק"ג.

כל הכמות הזו נמכרה ב-5 ימים, ובכל יום נמכרה כמות כפולה מביום שלפניו. לכן הכמויות היומיות יוצרות סדרה הנדסית עם $q=2$, וסכום 5 האיברים הראשונים שלה הוא 2480.

נסמן ב-$b_1$ את הכמות שנמכרה ביום הראשון:

ביום הראשון נמכרו 80 ק"ג גלידה.

בדיקה: $80+160+320+640+1280=2480$.

טעות נפוצה: לחלק את 2480 ב-5, כאילו בכל יום נמכרה אותה כמות, או לקחת רק את כמות השוקולד (1480) במקום את כל הגלידה.

וקטור בין שתי נקודות הוא הפרש של הווקטורים שיוצאים מ-$A$ אל שתיהן (הסוף פחות ההתחלה):

כדי להגיע ל-$E$ הולכים מ-$A$ ל-$B$, ואז חצי מהדרך מ-$B$ ל-$S$ (כי $E$ אמצע $BS$):

באותו אופן, $\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BC}=\underline u-\underline v$ (התחלה פחות סוף), ואז כל הווקטורים שנבנים ממנו יוצאים בכיוון הפוך.

המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא גובה הפירמידה: $h=|\underline w|=8$.

שטח הבסיס - משולש $ABC$ עם שתי צלעות והזווית ביניהן:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה (זו נוסחת המנסרה), או לחפש גובה אחר כשהמקצוע המאונך לבסיס הוא כבר הגובה.

לפי הגדרת המכפלה הסקלרית - אורכים כפול הקוסינוס של הזווית ביניהם. הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline v$ היא $\angle BAC$:

טעות נפוצה: לכתוב $\cos120^\circ=\frac12$. הזווית קהה, ולכן הקוסינוס שלילי.

$AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר במישור הזה, ובפרט ל-$AB$ ול-$AC$:

כמו כן $\underline u\cdot\underline u=|\underline u|^2=36$. פותחים את המכפלה הסקלרית בעזרת סעיף א:

מכפלה סקלרית שווה לאפס (והווקטורים אינם וקטורי אפס), ולכן $\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{AF}$.

טעות נפוצה: להשאיר את $\underline w\cdot\underline u$ ו-$\underline w\cdot\underline v$ בלי להסביר למה הם אפס - הנימוק הוא ש-$AS$ מאונך למישור הבסיס.

אורך וקטור מחשבים מהריבוע הסקלרי שלו:

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר האמצעי $2\cdot\frac13\cdot\frac23\,\underline u\cdot\underline v$ (כאילו $(a+b)^2=a^2+b^2$), ולקבל $\sqrt{20}$.

לפי סעיף ג(2) הזווית $EAF$ ישרה, ולכן $AE$ ו-$AF$ הם ניצבים במשולש, ושטחו חצי מכפלתם.

מחשבים את $|\overrightarrow{AE}|$ (נעזרים ב-$\underline u\cdot\underline w=0$):

טעות נפוצה: לחשב שטח בנוסחה עם סינוס של זווית אחרת, במקום לנצל את הזווית הישרה שהוכחה.

עלייה של 10% בכל שנה פירושה הכפלה במנה $q=1.1$ בכל שנה.

מתחילת 2025 עד תחילת 2030 עוברות 5 שנים, ולכן לפי $f(t)=f(0)\cdot q^t$:

בתחילת 2030 צפויים 80.5255 מיליון משתמשים, כלומר 80,525,500.

טעות נפוצה: לספור 6 שנים (2025, 2026, ..., 2030) במקום 5, או להוסיף 10% מ-50 מיליון בכל שנה (5 מיליון בשנה) כאילו העלייה קבועה בכמות.

נסמן ב-$B_0$ את מספר המשתמשים בתחילת 2025 וב-$q$ את המנה השנתית. מ-2025 עד 2031 עוברות 6 שנים:

$B_0$ מצטמצם - לא צריך לדעת אותו. מוציאים שורש שישי:

מנה 1.2 פירושה עלייה של כ-20% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את העלייה הכוללת (200%) ב-6 שנים ולקבל 33.3% - אחוזים בתהליך מעריכי אינם מצטברים בחיבור.

כלי B גדל בכ-20% בשנה וכלי A ב-10% בלבד, כלומר B גדל מהר יותר.

בסרטוט, אחרי נקודת החיתוך גרף II עולה מעל גרף I ונשאר מעליו - הוא הגרף שגדל מהר יותר.

לכן גרף II מתאר את כלי B (וגרף I, שמתחיל גבוה יותר וגדל לאט יותר, מתאר את A).

טעות נפוצה: לבחור לפי נקודת ההתחלה בלבד ("B גדל מהר, אז הוא צריך להתחיל גבוה") - קצב הגדילה נקבע לפי מי שעוקף את מי, לא לפי הערך ההתחלתי.

מספר המשתמשים בכלי A בתחילת 2030 הוא $50\cdot1.1^5=80.5255$ מיליון, ולכן מספר המשתמשים בכלי B באותו זמן הוא $80.5255-30=50.5255$ מיליון.

נסמן ב-$B_0$ את מספר המשתמשים בכלי B בתחילת 2025. בין 2025 ל-2030 עברו 5 שנים, ולכן $B_0\cdot q^5=50.5255$ כאשר $q=\sqrt[6]3$, כלומר $q^5=3^{\frac56}\approx2.4981$.

$B_0=\frac{50.5255}{3^{5/6}}\approx20.226$ מיליון, כלומר כ-20,225,980 משתמשים.

(אם מציבים את הערך המעוגל $q=1.2$: $B_0=\frac{50.5255}{1.2^5}\approx20{,}305{,}065$.)

נסמן ב-$t$ את מספר השנים מתחילת 2025. נדרוש שוויון: $50\cdot1.1^t=B_0\cdot q^t$, כאשר $B_0\approx20.226$ מיליון ו-$q=\sqrt[6]3$.

$\left(\frac{q}{1.1}\right)^t=\frac{50}{B_0}$, ולכן $t=\frac{\log\frac{50}{B_0}}{\log\frac{q}{1.1}}\approx\frac{\log2.4721}{\log1.0918}\approx10.31$ שנים.

(עם הערכים המעוגלים $q=1.2$ ו-$B_0\approx20.305$ מיליון: $t=\frac{\log\frac{50}{20.305}}{\log\frac{1.2}{1.1}}\approx10.36$ שנים.)

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת, ולכן קודם גוזרים. $f$ היא מכפלה, ולכן גוזרים לפי כלל המכפלה, ואת $e^{2x-1}$ לפי כלל השרשרת (נגזרת המעריך היא 2):

מציבים $x=0$ ומשווים לשיפוע הנתון:

טעות נפוצה: לגזור את $e^{2x-1}$ ל-$e^{2x-1}$ בלי הכפלה ב-2, ולקבל $a=6$.

כעת $f(x)=(10-4x)e^{2x-1}$.

חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה-$x$ ($f(x)=0$): הגורם $e^{2x-1}$ חיובי תמיד ולעולם אינו מתאפס, ולכן רק הגורם הקווי יכול להתאפס:

נקודות החיתוך: $\left(0,\frac{10}{e}\right)$ ו-$(2.5,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=10$, כאילו $e^{-1}=1$ - רק $e^0=1$.

מסעיף א, עם $a=10$:

$e^{2x-1}>0$, ולכן $f'(x)=0$ רק כאשר $16-8x=0$, כלומר $x=2$.

סימן הנגזרת נקבע לפי $16-8x$: חיובי עבור $x<2$ ושלילי עבור $x>2$. הפונקציה עולה ואז יורדת, ולכן ב-$x=2$ יש מקסימום.

נקודת הקיצון: $\max(2,\,2e^3)$.

טעות נפוצה: לקבוע את סוג הקיצון בלי לבדוק את סימן הנגזרת משני הצדדים, או לחשב $f(2)=2e^{4}$ בגלל טעות במעריך ($2\cdot2-1=3$).

אוספים את נתוני החקירה:

כאשר $x\to-\infty$, הגורם $e^{2x-1}$ שואף ל-0 מהר מאוד, ולכן $f(x)\to0$. בתחום הזה $10-4x>0$, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה: הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית משמאל.

הגרף עולה עד $x=2$ ומגיע למקסימום $(2,\,40.17)$, ועובר בדרך דרך $\left(0,3.68\right)$.

אחרי $x=2$ הגרף יורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(2.5,0)$, וכאשר $x\to\infty$ הוא שואף ל-$-\infty$ (גורם שלילי כפול גורם מעריכי שגדל).

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף משמאל מתחת לציר ה-$x$ או חותך אותו - לפני $x=2.5$ שני הגורמים חיוביים, ולכן $f(x)>0$.

פונקציה מעריכית שבסיסה חיובי ($e>0$) מקבלת רק ערכים חיוביים, לכל מעריך. לכן $e^{2x-1}>0$ לכל $x$.

מכפלה של מספר חיובי (4) בביטוי חיובי היא חיובית, ולכן $g(x)>0$ לכל $x$.

טעות נפוצה: לנמק בעזרת ערכים בודדים ("$g(0)$ חיובי") - צריך נימוק שתקף לכל $x$.

משווים את שתי הפונקציות:

מחלקים ב-$e^{2x-1}$ - מותר, כי הוא אינו מתאפס:

$A\left(1.5,\,4e^2\right)$.

טעות נפוצה: "לצמצם" את $e^{2x-1}$ באגף אחד בלבד, או להעביר אגפים ולפתוח סוגריים במקום להוציא את $e^{2x-1}$ כגורם משותף.

השטח נמצא בין ציר ה-$y$ ($x=0$) לאנך ($x=1.5$), בין ציר ה-$x$ לגרף $g$. לפי סעיף ד, $g$ חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו:

פונקציה קדומה של $e^{2x-1}$ היא $\frac12e^{2x-1}$ (מחלקים במקדם של $x$):

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה $8e^{2x-1}$ (כפל במקדם במקום חילוק), או לבחור את גבולות האינטגרציה 0 עד 2.5 (נקודת החיתוך של $f$ עם ציר ה-$x$) במקום 0 עד 1.5.

היגד I עוסק בנקודות הקיצון של הגרף שבסרטוט עצמו - גרף $f'$. בסרטוט יש לגרף נקודת מקסימום אחת ונקודת מינימום אחת, ונתון שכל נקודות הקיצון מופיעות בו. לכן ל-$f'$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון, וההיגד לא נכון.

היגד II עוסק ב-$f$. נקודות הקיצון של $f$ הן המקומות שבהם $f'$ מחליפה סימן, כלומר נקודות החיתוך של גרף $f'$ עם ציר ה-$x$:

בנקודת החיתוך השמאלית $f'$ עוברת משלילית לחיובית - $f$ עוברת מירידה לעלייה, ולכן זו נקודת מינימום של $f$.

בנקודת החיתוך הימנית $f'$ עוברת מחיובית לשלילית - $f$ עוברת מעלייה לירידה, ולכן זו נקודת מקסימום של $f$.

המינימום משמאל למקסימום, כלומר שיעור ה-$x$ שלו קטן יותר, וההיגד לא נכון.

טעות נפוצה: לבלבל בין נקודות הקיצון של $f'$ (השיא והשפל של הגרף שבסרטוט) לבין נקודות הקיצון של $f$ (החיתוכים של גרף $f'$ עם ציר ה-$x$).

חיתוך עם ציר ה-$y$ מחייב $x=0$, אבל הפונקציה מוגדרת רק עבור $x>0$ - לכן אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס:

נקודת החיתוך היחידה: $(1,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=0$ מתוך $\ln x=0$ - הפתרון הוא $x=e^0=1$.

גוזרים לפי כלל המנה. נגזרת המונה לפי כלל השרשרת: $\left(14(\ln x)^2\right)'=28\ln x\cdot\frac1x$.

המכנה חיובי בתחום, ולכן $f'(x)=0$ כאשר $\ln x=0$ או $\ln x=1$, כלומר $x=1$ או $x=e$.

טבלת סימנים (הסימן לפי $\ln x$ ו-$1-\ln x$):

עבור $0<x<1$: $\ln x<0$, $1-\ln x>0$, ולכן $f'<0$.

עבור $1<x<e$: שני הגורמים חיוביים, $f'>0$.

עבור $x>e$: $\ln x>0$, $1-\ln x<0$, ולכן $f'<0$.

ב-$x=1$ ירידה ואז עלייה - מינימום, $f(1)=0$. ב-$x=e$ עלייה ואז ירידה - מקסימום:

טעות נפוצה: לגזור את $(\ln x)^2$ ל-$2\ln x$ בלי להכפיל בנגזרת הפנימית $\frac1x$.

מטבלת הסימנים בסעיף ב(2):

הפונקציה עולה כאשר $f'>0$: $1<x<e$.

הפונקציה יורדת כאשר $f'<0$: $0<x<1$ ו-$x>e$.

טעות נפוצה: לכתוב את תחום הירידה הראשון $x<1$ - התחום מתחיל ב-0, כי הפונקציה מוגדרת רק עבור $x>0$.

התנהגות בקצות התחום:

כאשר $x\to0^+$: $(\ln x)^2\to\infty$ ו-$x^2\to0^+$, ולכן $f(x)\to\infty$ - ציר ה-$y$ הוא אסימפטוטה אנכית.

כאשר $x\to\infty$: החזקה $x^2$ גדלה מהר יותר מ-$(\ln x)^2$, ולכן $f(x)\to0$ - $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

בנוסף $f(x)\ge0$ לכל $x$ (ריבוע חלקי ריבוע), כך שהגרף לעולם אינו יורד מתחת לציר ה-$x$.

מחברים: יורדת מ-$+\infty$ אל $(1,0)$ (נוגעת בציר), עולה עד $(e,1.89)$, ויורדת לאט לכיוון ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ ב-$(1,0)$ - זו נקודת מינימום, והגרף רק נוגע בציר.

$f$ מוגדרת כאשר הקלט שלה חיובי. הקלט של $f$ ב-$g(x)=f(x-4)$ הוא $x-4$, ולכן:

טעות נפוצה: לענות $x>-4$ - הזזה ב-$x-4$ היא הזזה ימינה, לא שמאלה.

גרף $g(x)=f(x-4)$ הוא גרף $f$ מוזז 4 יחידות ימינה. בהזזה אופקית שיעורי ה-$x$ גדלים ב-4, ושיעורי ה-$y$ וסוג הקיצון לא משתנים.

מנקודות הקיצון של $f$, $\min(1,0)$ ו-$\max\left(e,\frac{14}{e^2}\right)$, מתקבלות:

טעות נפוצה: להזיז שמאלה ולקבל $\min(-3,0)$ - נקודה שאינה בכלל בתחום ההגדרה $x>4$.