בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2026 מועד ב'

מספרי הבקבוקים של כיתה י"ב1 יוצרים סדרה הנדסית עם מנה $q$, כי בכל שבוע המספר גדול פי $q$ מבשבוע שלפניו.

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1q^{n-1}$, בשבוע הרביעי: $a_4=a_1q^3$.

הנתון "גדול פי 3.375 מהשבוע הראשון" נותן:

($a_1\ne0$, ולכן מותר לחלק בו.)

בדיקה: $1.5^3=3.375$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_4=a_1q^4$ ולקבל $q^4=3.375$. בין השבוע הראשון לרביעי יש רק שלוש הכפלות ב-$q$.

השבוע האחרון הוא השבוע החמישי, ולכן $a_5=a_1q^4=a_1\cdot1.5^4=5.0625a_1$.

סכום השבוע הראשון והאחרון נתון:

בשבוע הראשון אספו תלמידי י"ב1 400 בקבוקים (ובשבוע האחרון $400\cdot5.0625=2025$).

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת הסכום $S_5$ - הנתון הוא סכום של שני איברים בלבד (הראשון והאחרון), לא של כל חמשת השבועות.

מספרי הבקבוקים של כיתה י"ב2 יוצרים סדרה חשבונית עם הפרש $d$. יש שני נעלמים ($b_1$ ו-$d$), ולכן בונים שתי משוואות.

השבוע השני: $b_2=b_1+d=230$, כלומר $b_1=230-d$.

סכום 18 השבועות:

מציבים $b_1=230-d$:

($b_1=214$, ובדיקה: $9(428+272)=6300$.)

טעות נפוצה: להציב 230 כאיבר הראשון בנוסחת הסכום. 230 הוא האיבר השני.

מספר הבקבוקים של כיתה י"ב1 הוא סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית:

כיתה י"ב2 אספה 6,300 בקבוקים (נתון). יחד: $5275+6300=11{,}575$ בקבוקים.

הסכום שהתקבל:

$3472.5>3400$, ולכן הסכום יספיק למימון המסיבה.

טעות נפוצה: לחשב את הכסף רק לפי כיתה אחת, או להשוות לעלות את מספר הבקבוקים ולא את הסכום בשקלים.

הפאה העליונה היא ריבוע שווה לבסיס, ולכן $\vec{A'B'}=\overrightarrow{AB}=\underline u$ ו-$\vec{B'C'}=\overrightarrow{BC}=\underline v$.

את $\overrightarrow{FE}$ מבטאים במסלול לאורך מקצועות: מ-$F$ ל-$B$, עולים ל-$B'$, ממשיכים ל-$A'$ ומשם ל-$E$:

$F$ אמצע $BC$, לכן $\overrightarrow{FB}=-\frac12\underline v$. כמו כן $\vec{BB'}=\underline w$ ו-$\vec{B'A'}=-\underline u$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{FB}=+\frac12\underline v$. הווקטור $\underline v$ מכוון מ-$B$ ל-$C$, ו-$\overrightarrow{FB}$ מכוון בכיוון ההפוך.

בבסיס ריבוע: $|\underline u|=|\underline v|=4$ ו-$\underline u\perp\underline v$, כלומר $\underline u\cdot\underline v=0$.

(זה גם אורך האלכסון של ריבוע שצלעו 4.)

טעות נפוצה: לחשב $|\underline u+\underline v|=|\underline u|+|\underline v|=8$. אורכים של וקטורים לא מתחברים כשהם לא באותו כיוון.

בתיבה כל מקצוע צדדי ניצב לבסיס, ולכן $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ניצבים זה לזה בזוגות וכל המכפלות הסקלריות ביניהם הן 0.

מעלים את $\overrightarrow{FE}$ בריבוע (נשארים רק ריבועי המקדמים כפול ריבועי האורכים):

לפי הנתון ולפי סעיף ב, $|\overrightarrow{FE}|^2=|\vec{A'E}|^2=18$:

גובה התיבה שווה למקצוע הבסיס, וכל המקצועות באורך 4 - התיבה היא קובייה.

טעות נפוצה: לכתוב $\left(\frac14\right)^2=\frac1{16}$ בלי לכפול ב-$|\underline u|^2=16$, ולקבל $|\overrightarrow{FE}|^2=\frac18+|\underline w|^2$.

שני וקטורים (שאינם וקטור האפס) מאונכים כאשר המכפלה הסקלרית שלהם היא 0.

כל המכפלות המעורבות הן 0, ונשאר:

לכן $\overrightarrow{FE}\perp\vec{A'C'}$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $\underline w\cdot(\underline u+\underline v)$ בלי לנמק שהוא 0 - הנימוק הוא ש-$\underline w$ ניצב לבסיס.

הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $A'C'$, ולפי ד(1) $FE\perp A'C'$. לכן $FE$ הוא הגובה לצלע $A'C'$ במשולש $A'FC'$.

$|A'C'|=4\sqrt2$ (סעיף ב), ו-$|FE|=|A'E|=\sqrt{18}=3\sqrt2$ (נתון).

טעות נפוצה: להשתמש ב-$A'E$ כגובה. הגובה יוצא מהקודקוד $F$ ומאונך לצלע שמולו.

נסמן ב-$M_0$ את מספר הפינגווינים בתחילת 2000, וב-$q$ את מנת הדעיכה ($0<q<1$).

בתחילת 2001 היו $M_0q$, ובתחילת 2002 היו $M_0q^2$.

ההפרש השני הוא ההפרש הראשון כפול $q<1$, ולכן הוא קטן יותר.

במילים: בכל שנה נעלם אותו אחוז, אבל מכמות שהולכת וקטנה, ולכן מספר הפינגווינים שנעלמים קטן משנה לשנה.

טעות נפוצה: לענות "כן, כי האחוז קבוע". אחוז קבוע אינו כמות קבועה - כמות קבועה מתאימה לסדרה חשבונית, לא לתהליך מעריכי.

באזור A המנה היא $0.95$ (קטן ב-5%). מ-2000 עד 2010 עברו 10 שנים:

באזור B, עם מנה $q$: $M_B(10)=313{,}000\cdot q^{10}$. בתחילת 2010 המספרים שווים:

מנה $0.93$ פירושה ירידה של $1-0.93=0.07$, כלומר 7% בכל שנה.

טעות נפוצה: לענות 93%. המנה היא החלק שנשאר, והירידה היא $1-q$.

באזור B: $M_B(t)=313{,}000\cdot0.93^t$. דורשים:

לוקחים לוגריתם משני האגפים:

כעבור 16 שנים (בתחילת 2016).

טעות נפוצה: לחלק את 98,000 ב-313,000 ואז לחלק ב-0.93, כאילו מדובר בכפל ולא בחזקה. הנעלם נמצא במעריך, ולכן צריך לוגריתם.

נסמן ב-$M$ את מספר הפינגווינים באזור A בתחילת 2018. גידול של 2% בשנה: מנה $1.02$.

"גדל ב-17%" פירושו שהמספר הגיע ל-$1.17M$:

$M$ מצטמצם - לא צריך לחשב את מספר הפינגווינים ב-2018.

כעבור כ-7.93 שנים.

טעות נפוצה: לכתוב $1.02^t=0.17$ (לשכוח שהכמות החדשה כוללת את הכמות ההתחלתית), או לחשב קודם את $M$ מתוך הנתונים של 2000 - מיותר.

גוזרים לפי כלל המכפלה ($(uv)'=u'v+uv'$, ו-$(e^x)'=e^x$):

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:

$e\ne0$, ולכן $9-a=0$, כלומר $a=9$.

(בסעיף ב נראה שהנגזרת אכן מחליפה סימן ב-$x=1$.)

טעות נפוצה: לגזור רק את הסוגריים ($f'(x)=6x\cdot e^x$) ולשכוח את האיבר השני של כלל המכפלה.

$e^x>0$ לכל $x$, ולכן הנגזרת מתאפסת רק כאשר $x=-3$ או $x=1$, וסימנה הוא סימן הטרינום:

- $x<-3$: $f'>0$ (עולה)

- $-3<x<1$: $f'<0$ (יורדת)

- $x>1$: $f'>0$ (עולה)

מעלייה לירידה ב-$x=-3$ - מקסימום; מירידה לעלייה ב-$x=1$ - מינימום.

טעות נפוצה: לקבוע את סוג הקיצון לפי גודל הערך ("הערך הגדול הוא מקסימום") במקום לפי סימן הנגזרת משני הצדדים.

ציר ה-y: $f(0)=(0-9)e^0=-9$, הנקודה $(0,-9)$.

ציר ה-x: $(3x^2-9)e^x=0$. הגורם $e^x$ אף פעם לא מתאפס, ולכן:

הנקודות $(-\sqrt3,0)$ ו-$(\sqrt3,0)$.

טעות נפוצה: לפתור גם $e^x=0$ ולקבל $x=0$ - ל-$e^x=0$ אין פתרון.

מאחדים את תוצאות הסעיפים הקודמים, ומוסיפים התנהגות בקצוות:

•כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$ מהר יותר מש-$3x^2-9$ גדל, ולכן $f(x)\to0$. מכיוון ש-$3x^2-9>0$ שם, הגרף מתקרב לציר ה-x מלמעלה (אסימפטוטה $y=0$ משמאל).

•כאשר $x\to\infty$: שני הגורמים גדלים, ולכן $f(x)\to\infty$.

סדר הנקודות משמאל לימין: עלייה מעל ציר ה-x עד המקסימום $(-3,0.896)$, ירידה דרך $(-\sqrt3,0)$ ו-$(0,-9)$ עד המינימום $(1,-16.31)$, ועלייה דרך $(\sqrt3,0)$ לאינסוף.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף מתחת לציר ה-x משמאל. לפני $-\sqrt3$ הפונקציה חיובית, ולכן היא מתקרבת לאפס מלמעלה.

גרף $g=|f|$ מתקבל מגרף $f$: החלקים שמעל ציר ה-x נשארים, והחלק שמתחת לציר (בין $-\sqrt3$ ל-$\sqrt3$) משתקף מעל הציר.

לכן ל-$g$:

•משמאל הוא מתקרב ל-0 (כמו $f$), עם "גבעה" קטנה בגובה $0.896$ ב-$x=-3$;

•הוא נוגע בציר ה-x בשתי נקודות, $\pm\sqrt3$;

•ביניהן יש שיא גבוה ($6e\approx16.31$) ב-$x=1$;

•מימין הוא עולה לאינסוף.

רק גרף IV מתאים: בגרפים II ו-III הגרף עולה לאינסוף משמאל, ובגרף I הגרף משמאל נשאר רחוק מאפס ונוגע בציר ה-x פעם אחת בלבד.

טעות נפוצה: לבחור גרף שמשקף את כל הגרף של $f$ (כמו $-f$) - ערך מוחלט משקף רק את החלקים השליליים.

•המקסימום של $f$ ב-$(-3,0.896)$ נמצא מעל ציר ה-x, ולכן הוא נשאר מקסימום של $g$: $\left(-3,\frac{18}{e^3}\right)$.

•המינימום של $f$ ב-$(1,-6e)$ נמצא מתחת לציר ומשתקף, ולכן הופך למקסימום של $g$: $(1,6e)\approx(1,16.31)$.

•בנקודות החיתוך עם ציר ה-x $g=0$, ובסביבתן $g>0$, ולכן הן נקודות מינימום של $g$: $(-\sqrt3,0)$ ו-$(\sqrt3,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודות האפס - $g$ אינה גזירה שם (חוד), אבל הן נקודות מינימום.

שני תנאים:

1. $\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$.

2. המכנה שונה מאפס:

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\ne e^{1.5}$ ($e^{1.5}\approx4.48$).

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $x>0$ ולכתוב רק $x\ne e^{1.5}$.

ב-$x=e^{1.5}$ המכנה מתאפס והמונה $\left(e^{1.5}\right)^2=e^3\ne0$, ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף (בערך מוחלט) בסביבת הנקודה.

האסימפטוטה האנכית: $x=e^{1.5}$.

($x=0$ אינו אסימפטוטה: הפונקציה לא מוגדרת משמאל לו, וכאשר $x\to0^+$ המונה שואף ל-0 והמכנה ל-$-\infty$, ולכן $f\to0$.)

טעות נפוצה: לכתוב גם $x=0$ כאסימפטוטה רק מפני שהוא קצה התחום.

שבר מתאפס כאשר המונה מתאפס: $x^2=0$, כלומר $x=0$.

אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה ($x>0$), ולכן לגרף אין נקודת חיתוך עם ציר ה-x.

טעות נפוצה: לענות "כן, בראשית" - הנקודה $(0,0)$ אינה על הגרף (בסרטוט מסומן שם עיגול ריק).

לפי כלל המנה, עם $(\ln x)'=\frac1x$:

$f'=0$: $x>0$, ולכן $8\ln x-16=0$, כלומר $\ln x=2$ ו-$x=e^2$.

המכנה (ריבוע) חיובי ו-$x>0$, ולכן הסימן הוא סימן $8\ln x-16$: שלילי עבור $x<e^2$ (פרט ל-$e^{1.5}$), חיובי עבור $x>e^2$.

מירידה לעלייה - מינימום:

טעות נפוצה: לכתוב $\left(4\ln x\right)'=4\ln x$ או $\frac1{4x}$ במקום $\frac4x$.

מטבלת הסימנים של ג(1), כשהאסימפטוטה $x=e^{1.5}$ מפצלת את התחום:

•ירידה: $0<x<e^{1.5}$ וגם $e^{1.5}<x<e^2$.

•עלייה: $x>e^2$.

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-$0<x<e^2$ כתחום אחד - הפונקציה אינה מוגדרת ב-$e^{1.5}$, ומשמאל לאסימפטוטה ערכיה שליליים ומימינה חיוביים, כך שאין ירידה רציפה על פני כל הקטע.

הגרף של $f$: משמאל לאסימפטוטה ($0<x<e^{1.5}$) המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן $f<0$ והיא יורדת אל $-\infty$. מימין לאסימפטוטה $f>0$ עם מינימום $\left(e^2,\frac{e^4}{2}\right)$. הגרף לא חותך את ציר ה-x. כך נראה גרף III (בגרף IV הענף השמאלי חיובי, ובגרפים I ו-II הגרף חותך את ציר ה-x).

הגרף של $f'$: $f'<0$ בכל התחום $0<x<e^2$ (פרט לאסימפטוטה), $f'(e^2)=0$, ו-$f'>0$ עבור $x>e^2$. לכן הגרף של $f'$ מתחת לציר ה-x משני צידי האסימפטוטה, וחותך את ציר ה-x פעם אחת, מימין לאסימפטוטה. כך נראה גרף II. בגרף I יש ערכים חיוביים ליד הראשית, אבל $f'<0$ שם.

טעות נפוצה: לבחור לנגזרת את גרף I, כי הוא דומה ל-II. ההבדל הוא הסימן ליד הראשית, ושם $f$ יורדת.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-x ב-$x=e^2$, ובין $e^2$ ל-$e^3$ מתקיים $f'\ge0$. לכן השטח הוא:

(הפונקציה הקדומה של $f'$ היא $f$ - אין צורך לחשב אינטגרל של הביטוי המסובך.)

טעות נפוצה: לחשב את $f'(e^3)-f'(e^2)$, כלומר להציב בנגזרת במקום בפונקציה הקדומה שלה.