מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 2 ברמת בגרות

$T_{k+1}=T_k+a_{k+1}b_{k+1}$, והאיבר הבא הוא $a_{k+1}b_{k+1}=4(k+1)\cdot3^{k+1}$.

לפי ההנחה $T_k=(2k-1)\cdot3^{k+1}$, ולכן (מוציאים את $3^{k+1}$ כגורם משותף):

זה הביטוי הנדרש.

טעות נפוצה: להוסיף את $a_kb_k=4k\cdot3^k$ במקום $a_{k+1}b_{k+1}$, ולקבל $(2k-1)\cdot3^{k+1}+4k\cdot3^k=(10k-3)\cdot3^k$, שאינו הביטוי הנדרש.

עבור $n=1$: $T_1=a_1b_1=4\cdot3=12$, ואילו הנוסחה נותנת $(2\cdot1-1)\cdot3^{2}=9$.

$12\neq9$, ולכן הטענה אינה נכונה.

סעיף א(1) הוא רק שלב הצעד של אינדוקציה; בלי שלב בסיס שמתקיים הוא אינו מוכיח דבר.

(למעשה $T_n=(2n-1)\cdot3^{n+1}+3$, כך שהנוסחה שבטענה מפספסת ב-3 לכל $n$.)

טעות נפוצה: להסיק מסעיף א(1) שהטענה נכונה לכל $n$ - שלב הצעד לבדו אינו הוכחה, ובדיקת $n=1$ מפריכה את הטענה.

$E$ ו-$F$ אמצעי השוקיים, ולכן $EF\parallel AB\parallel DC$.

במשולש $ABC$: $F$ אמצע הצלע $BC$, ו-$HF\parallel AB$ ($H$ על $AC$). לפי המשפט ההפוך לקטע אמצעים, $HF$ קטע אמצעים במשולש, ולכן $HF=\frac{AB}{2}$.

$ABFG$ מקבילית, ולכן $GF=AB$.

טעות נפוצה: לחשב את $HF$ כקטע אמצעים במשולש $BDC$ ולכתוב $HF=\frac{DC}{2}$ - הנקודה $H$ נמצאת על האלכסון $AC$, ולכן המשולש המתאים הוא $ABC$; האורך $\frac{DC}{2}$ שייך לקטע $GF$.

במשולש $ABD$: $E$ אמצע $AD$ ו-$EG\parallel AB$, ולכן (המשפט ההפוך לקטע אמצעים) $G$ אמצע $BD$.

$ABFG$ מקבילית, ולכן $AG\parallel BF$. הנקודה $F$ על $BC$, ולכן $AG\parallel BC$, וגם $GM\parallel BC$.

במשולש $DBC$: הישר $GM$ עובר דרך $G$, אמצע הצלע $DB$, ומקביל לצלע $BC$. לכן הוא חוצה את הצלע השלישית $DC$: $M$ אמצע $DC$.

טעות נפוצה: לחפש קטע אמצעים במשולש $ADC$ (כי $E$ אמצע $AD$) - אבל $EG$ מקביל ל-$DC$ ולא ל-$AM$, ולכן אין שם קטע אמצעים מתאים; המשולש הנכון הוא $DBC$.

נקודות מיוחדות:

גרף I מתאפס ב-$x=0$ וב-$x=2$ (ב-$x=2$ עובר מחיובי לשלילי), ויש לו מקסימום ב-$x=1$.

גרף II: נקודת מקסימום ב-$x=2$.

גרף III: ישר יורד שמתאפס ב-$x=1$ (מחיובי לשלילי), ואין לו קיצון.

גרף I מתאפס ועובר מחיובי לשלילי ב-$x=2$, ושם לגרף II מקסימום (II עולה כש-I חיובי ויורד כש-I שלילי). לכן I היא הנגזרת של II.

גרף III מתאפס ב-$x=1$, ושם לגרף I מקסימום (I עולה כש-III חיובי ויורד כש-III שלילי). לכן III היא הנגזרת של I.

מכאן: II הוא $f(x)$, I הוא $f'(x)$, III הוא $f''(x)$.

טעות נפוצה: לזהות את הישר III כנגזרת של II ואת I כ-$f''$ - אבל III מתאפס ב-$x=1$, ושם ל-II אין קיצון (יש בה נקודת פיתול); הקיצון של II הוא ב-$x=2$, היכן ש-I מתאפס.

נקודת הפיתול היא היכן ש-$f''$ (גרף III) מתאפסת ומחליפה סימן: $x=1$ (שם $f'$, גרף I, מקבלת מקסימום).

מגרף II: $f(1)=1$. מגרף I: $f'(1)=3$ - זה שיפוע המשיק.

טעות נפוצה: לקחת את הנקודה $(1,3)$ מגרף I כנקודת ההשקה, ולקבל $y-3=3(x-1)$, כלומר $y=3x$ - שיעור ה-$y$ של נקודת ההשקה הוא $f(1)=1$.

$f'$ היא פונקציה קדומה של $f''$:

(הערכים מגרף I.)

טעות נפוצה: להשתמש בערכי $f$ במקום $f'$: $f(1)-f(0)=1-(-1)=2$.

בנקודת חיתוך $f(x)=\frac1{f(x)}$, כלומר $f(x)=1$ או $f(x)=-1$.

הענפים החיצוניים ($x<-2$, $x>2$): כל ענף עולה (או יורד) בין $-\infty$, ליד האסימפטוטה האנכית, לבין $k$, ומתקרב ל-$y=k$ מלמטה. לכן הוא מקבל כל ערך קטן מ-$k$ פעם אחת בדיוק.

$k<1$, ולכן $f=1$ לא מתקבל בענפים החיצוניים, ו-$f=-1$ מתקבל בכל אחד מהם פעם אחת: שתי נקודות חיתוך תמיד.

הענף האמצעי ($-2<x<2$): הערך הקטן ביותר שלו הוא $a>0$ (ב-$x=0$), והוא עולה ל-$+\infty$ ליד שתי האסימפטוטות. $f=-1$ לא מתקבל בו; $f=1$ מתקבל בו פעמיים אם $a<1$, פעם אחת אם $a=1$, ולא מתקבל אם $a>1$.

סך הכול: 4 נקודות חיתוך כאשר $0<a<1$, שלוש כאשר $a=1$, ושתיים בדיוק כאשר $a>1$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הענף האמצעי ולענות $0<a<1$ - הענפים החיצוניים חוצים תמיד את הישר $y=-1$ ותורמים שתי נקודות חיתוך משלהם.

כאשר $x\to\pm\infty$, $f(x)\to k$, ולכן $\frac1{f(x)}\to\frac1k$: האסימפטוטה האופקית של $\frac1{f(x)}$ היא $y=\frac1k$.

$0<k<1$, ולכן $\frac1k>1>k$, והמרחק הוא $\frac1k-k$:

$k=\frac13$ או $k=-3$. לפי הנתון $0<k<1$, ולכן $k=\frac13$.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $k+\frac1k=\frac83$, ולקבל $3k^2-8k+3=0$ ו-$k=\frac{4-\sqrt7}{3}\approx0.45$ - המרחק בין שני ישרים אופקיים הוא הפרש שיעורי ה-$y$ שלהם.

$m-2$ הראשונים: $a_1,\ldots,a_{m-2}$; $m-2$ האחרונים: $a_3,\ldots,a_m$.

כל איבר בקבוצה השנייה רחוק 2 מקומות מהאיבר המתאים בראשונה: $a_3=a_1q^2$, ..., $a_m=a_{m-2}q^2$. לכן

$q=3$ או $q=-3$. אם $q=3$ כל האיברים באותו סימן, ואילו נתון שהסימנים מתחלפים - לכן $q=-3$.

טעות נפוצה: לבחור $q=3$ כי היחס 9 חיובי, ולשכוח לבדוק את הנתון על הסימנים.

$q=-3<0$, ולכן הסימנים מתחלפים: אחרי איבר חיובי בא איבר שלילי (קטן ממנו), ואחרי איבר שלילי בא איבר חיובי (גדול ממנו).

למשל, אם $a_1=1$: $1,-3,9,-27,\ldots$

לכן הסדרה אינה עולה ואינה יורדת.

טעות נפוצה: לענות "יורדת" כי $q<0$ - סדרה עם מנה שלילית קופצת בין ערכים חיוביים לשליליים ואינה מונוטונית.

$b_n\ne0$ כי $k\ne0$ ו-$a_n\ne0$. בודקים את המנה בין שני איברים עוקבים:

המנה אינה תלויה ב-$n$, ולכן B הנדסית ו-$q_B=-3k$.

טעות נפוצה: לחלק במקום לכפול (כאילו $b_n=\frac{k^n}{a_n}$) ולקבל $q_B=\frac{k}{q}=-\frac k3$.

הסכום מתכנס כאשר $|q_B|<1$:

ועם הנתון $k\ne0$: $-\frac13<k<\frac13$, $k\ne0$.

טעות נפוצה: לפתור $-3k<1$ בלי ערך מוחלט ולקבל $k>-\frac13$.

$q_B=-3k=\frac12$, ולכן $k=-\frac16$ (בתחום מסעיף ג).

טעות נפוצה: לכתוב $S=\frac{b_1}{1+q}$ ולקבל $b_1=4\cdot\frac32=6$.

האיברים שנמחקו, $b_3,b_6,b_9,\ldots$, הם סדרה הנדסית אין-סופית עם איבר ראשון $b_3=b_1q_B^2$ ומנה $q_B^3$:

סכום הנותרים:

טעות נפוצה: לחשב את סכום הנמחקים עם המנה $\frac12$ במקום $\frac18$: $\frac{1/2}{1/2}=1$, ולקבל $4-1=3$.

העיר גדולה, ולכן הבחירות של 4 התושבים הן ניסויים בלתי תלויים - נוסחת ברנולי.

בדיוק שלושה שותים X: $\binom43p^3(1-p)=4p^3(1-p)$. ארבעתם שותים X: $p^4$.

$p\ne0$, ולכן מחלקים ב-$p^3$: $4(1-p)=2p\Rightarrow6p=4\Rightarrow p=\frac23$.

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom43=4$: $p^3(1-p)=2p^4$, ומקבלים $p=\frac13$.

התנאי "חמשתם שותים אותו מותג" הוא איחוד זר של "כולם X" ו"כולם Y":

טעות נפוצה: לענות $\left(\frac23\right)^5=\frac{32}{243}$ - בלי לחלק בהסתברות של התנאי.

נסמן ב-$y$ את ההסתברות שתושב אקראי הוא צעיר.

25% מהמבוגרים שותים Y, ולכן 75% מהמבוגרים שותים X. 55% מהצעירים שותים X.

ההסתברות הכוללת לשתות X היא $p=\frac23$:

טעות נפוצה: להצמיד את האחוזים לקבוצות הפוכות ($0.55$ למבוגרים ו-$0.75$ לצעירים): $0.55(1-y)+0.75y=\frac23$, ומקבלים $y=\frac7{12}$.

מיכל פונה לצעירים בלבד: כל צעיר שותה X בהסתברות 0.55 ו-Y בהסתברות 0.45, באופן בלתי תלוי.

היא פונה ל-4 בדיוק אם שלושת הראשונים שותים אותו מותג והרביעי שותה את המותג האחר: XXXY או YYYX.

טעות נפוצה: לחשב רק את XXXY ולקבל $0.55^3\cdot0.45\approx0.0749$.

$BC$ קוטר, ולכן $\angle BAC=90^\circ$ ו-$\angle BDC=90^\circ$ (זוויות היקפיות הנשענות על קוטר).

$A$ על הצלע $GC$, ולכן $BA\perp GC$; $D$ על הצלע $GB$, ולכן $CD\perp GB$. שניהם גבהים במשולש $GBC$.

$O$ אמצע $BC$, ולכן $GO$ תיכון לבסיס במשולש שווה-השוקיים $GBC$ ($GB=GC$).

המשולשים $GOB$ ו-$GOC$ חופפים (צ.צ.צ: $GB=GC$, $OB=OC$, $GO$ משותפת), ולכן $\angle BGO=\angle CGO$ - הישר $GO$ חוצה את $\angle BGC$.

טעות נפוצה: לנמק ש-$BA$ גובה "כי הוא יורד מ-$B$ אל $GC$" - הניצבות נובעת רק מכך ש-$\angle BAC$ נשענת על הקוטר.

$\angle G$ משותפת.

המרובע $ADBC$ חסום במעגל, ו-$G$, $D$, $B$ על ישר אחד, ולכן $\angle GDA$ היא זווית חיצונית של המרובע בקודקוד $D$, והיא שווה לזווית הפנימית שממול: $\angle GDA=\angle ACB=\angle GCB$.

לכן $\Delta GBC\sim\Delta GAD$ (ז.ז.), בהתאמה $G\leftrightarrow G$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: להתאים $B\leftrightarrow D$ (שתיהן על הישר $GB$) ולכתוב $\frac{GB}{GD}=\frac{GC}{GA}$ - לפי הזוויות השוות $C\leftrightarrow D$, והיחס הנכון הוא $\frac{GB}{GA}=\frac{GC}{GD}$.

לכן $GD=\frac{GC}{3}=\frac{GB}{3}$, ו-$BD=GB-GD=\frac23GB$.

משוואה שנייה ל-$BD$: נסמן $\beta=\angle GBC$.

במשולש ישר-הזווית $BDC$: $BD=BC\cos\beta=2R\cos\beta$.

במשולש $GOB$ ($GO\perp BC$, כי במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה): $\cos\beta=\frac{OB}{GB}=\frac{R}{GB}$.

לכן $BD=\frac{2R^2}{GB}$, ומשוויון שני הביטויים:

טעות נפוצה: לקחת את 8 כיחס השטחים של המשולשים הדומים, לקבל $\frac{GB}{GA}=\sqrt8$ ו-$BD=\left(1-\frac{1}{\sqrt8}\right)GB$, ומשם $GB\approx1.76R$.

המשיק מאונך לרדיוס $OC$, ולכן $\angle BCE=90^\circ$. $\angle BDC=90^\circ$, ולכן $CD$ הוא הגובה ליתר $BE$ במשולש $BCE$.

לפי סעיף ג: $BD=\frac{2R^2}{GB}=\frac{2R}{\sqrt3}$.

לפי משפט הניצב וההיטל שלו על היתר: $BC^2=BD\cdot BE$, ולכן $BE=\frac{4R^2}{\frac{2R}{\sqrt3}}=2\sqrt3R$.

למשולשים $CBE$ ו-$DBC$ אותו גובה מ-$C$ (הקטע $CD$), והבסיסים $BE$ ו-$BD$ על ישר אחד:

טעות נפוצה: לחשב $BD=BC\sin\beta$ במקום $BC\cos\beta$ (הניצב $BD$ צמוד לזווית $\beta$), לקבל $BD^2=\frac{8R^2}{3}$ ויחס $\frac{4R^2}{BD^2}=\frac32$.

זווית בין משיק למיתר: $\angle ACB=\angle ABD=\alpha$ (הזווית ההיקפית שנשענת על הקשת $AB$).

$\angle ABC=\angle DBC-\angle ABD=135^\circ-\alpha$, ולכן $\angle BAC=180^\circ-\alpha-(135^\circ-\alpha)=45^\circ$.

משפט הסינוסים המורחב במשולש $ABC$:

טעות נפוצה: לקחת $\angle ABC=135^\circ$ (לשכוח שהזווית $DBC$ כוללת גם את $\alpha$), ואז $\angle BAC=45^\circ-\alpha$ ו-$BC=2R\sin(45^\circ-\alpha)$.

גובה משותף מ-$B$: $\frac{S_{BDC}}{S_{BDA}}=\frac{DC}{DA}=2.5$.

$\triangle DBA\sim\triangle DCB$ (ז.ז: זווית $D$ משותפת, $\angle DBA=\angle DCB=\alpha$), ולכן $\frac{DA}{DB}=\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{BC}$, ומכאן: