מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 1 ברמת בגרות

נציב $n=3$ בשוויון: באגף שמאל יש שני איברים, $1\cdot2+3\cdot4=14$. באגף ימין: $\frac{4(3+a)\cdot7}{12}=\frac{7(3+a)}{3}$.

$\frac{7(3+a)}{3}=14$, ולכן $3+a=6$ ו-$a=3$.

עבור $a=3$ צריך להוכיח: $2+12+30+\ldots+n(n+1)=\frac{(n+1)(n+3)(2n+1)}{12}$ לכל $n$ אי-זוגי.

נכתוב $n=2m-1$, כאשר $m$ טבעי. האיבר ה-$m$ באגף שמאל הוא $(2m-1)\cdot2m$, ואגף ימין הוא $\frac{2m(2m+2)(4m-1)}{12}$. נוכיח באינדוקציה על $m$ את הטענה: $2+12+\ldots+(2m-1)\cdot2m=\frac{2m(2m+2)(4m-1)}{12}$.

בסיס: עבור $m=1$, אגף שמאל $2$ ואגף ימין $\frac{2\cdot4\cdot3}{12}=2$.

צעד: נניח שהטענה נכונה עבור $m$, ונוכיח עבור $m+1$. במעבר מ-$m$ ל-$m+1$ נוסף לאגף שמאל איבר אחד, $(2m+1)(2m+2)$:

$\frac{2m(2m+2)(4m-1)}{12}+(2m+1)(2m+2)=\frac{2m+2}{12}\left(8m^2-2m+24m+12\right)=\frac{2m+2}{12}\cdot2(m+2)(4m+3)=\frac{(2m+2)(2m+4)(4m+3)}{12}$,

וזה בדיוק אגף ימין עבור $m+1$. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $m$ טבעי, כלומר השוויון נכון לכל $n$ טבעי אי-זוגי.

(אפשר גם לבצע את הצעד ישירות מ-$n=k$ ל-$n=k+2$; זה אותו חישוב.)

נסמן ב-$K$ קניית קפה וב-$M$ קניית מאפה.

$P(K\cap\bar M)=p$, ומספר הקונים רק קפה גדול פי 2 ממספר הקונים את שניהם, ולכן $P(K\cap M)=\frac p2$.

$\frac23$ מן הקונים מאפה קנו גם קפה: $\frac{P(K\cap M)}{P(M)}=\frac23$, ולכן $P(M)=\frac{\frac p2}{\frac23}=\frac34p$, ו-$P(\bar K\cap M)=\frac34p-\frac12p=\frac14p$.

$P(K\cup M)=p+\frac12p+\frac14p=\frac74p=1.75p$.

$P(K\cap M\mid K\cup M)=\frac{P(K\cap M)}{P(K\cup M)}=\frac{\frac12p}{\frac74p}=\frac27$.

$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}$: צריך $x^2-4\ge0$ וגם $x\ne0$, כלומר $x\le-2$ או $x\ge2$.

$g(x)=\frac{x^2-4}{\sqrt x}$: השורש במכנה, ולכן $x>0$.

$h(x)=\sqrt{\frac{x^2-4}{x}}$: צריך $\frac{(x-2)(x+2)}{x}\ge0$ ו-$x\ne0$. בשיטת התחומים: המנה חיובית ב-$-2<x<0$ וב-$x>2$, ומתאפסת ב-$x=\pm2$. לכן $-2\le x<0$ או $x\ge2$.

$f(x)$ מוגדרת ב-$|x|\ge2$, ויש לה סימן של $x$: שלילית ב-$x\le-2$ וחיובית ב-$x\ge2$. כאשר $x\to\infty$, $f\to1$, וכאשר $x\to-\infty$, $f\to-1$. רק גרף 5 מתאים (גרף 3 חיובי משני הצדדים).

$g(x)$ מוגדרת רק ב-$x>0$, ויש לה אסימפטוטה אנכית $x=0$. רק גרף 4 מתאים.

$h(x)$ מוגדרת ב-$-2\le x<0$ וב-$x\ge2$, ואינה שלילית. גרף 1 מוגדר ב-$x\le-2$ וב-$0<x\le2$, ולכן הגרף של $h$ הוא גרף 2.

$f$ זוגית, ולכן יש לה גם מקסימום $(-2,4)$. $f$ גזירה ב-$0$ וזוגית, ולכן $f'(0)=0$, ו-$(0,1)$ היא נקודת מינימום (בין שני מקסימומים שגובהם 4). מכאן $f'(x)=0$ ב-$x=-2,0,2$.

$f$ עולה ב-$x<-2$ וב-$0<x<2$, ולכן שם $f'>0$; $f$ יורדת ב-$-2<x<0$ וב-$x>2$, ולכן שם $f'<0$.

הנגזרת של פונקציה זוגית היא אי-זוגית, ולכן הגרף של $f'$ סימטרי לראשית. נתון ש-$y=0$ אסימפטוטה אופקית של $f'$, ולכן $f'\to0$ כאשר $x\to\pm\infty$.

$g(x)=0$ כאשר $f(x)=0$ או $f'(x)=0$.

$f'(x)=0$ ב-$x=-2,0,2$ (סעיף ד(1)). ב-$0\le x\le2$ מתקיים $1\le f\le4$, וב-$x>2$ הפונקציה יורדת מ-$4$ ושואפת ל-$0$ בלי להגיע אליו, ולכן $f>0$ לכל $x\ge0$, ומהזוגיות לכל $x$.

נקודות החיתוך: $(-2,0)$, $(0,0)$, $(2,0)$.

לפי כלל השרשרת $\left(\frac{f^3(x)}{3}\right)'=\frac{3f^2(x)\cdot f'(x)}{3}=f^2(x)\cdot f'(x)=g(x)$, כלומר $\frac{f^3(x)}{3}$ היא פונקציה קדומה של $g$.

ב-$0\le x\le2$: $f'\ge0$, ולכן $g\ge0$: $\int_0^2g(x)\,dx=\frac{f^3(2)-f^3(0)}{3}=\frac{64-1}{3}=21$.

$g$ אי-זוגית ($f^2$ זוגית ו-$f'$ אי-זוגית), ולכן גם השטח בין $x=-2$ ל-$x=0$ (שם $g\le0$) הוא 21. מחוץ ל-$[-2,2]$ הגרף שואף ל-$0$ ואין שטח סגור.

השטח המבוקש: $21+21=42$.

$\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_1q^4}{a_1q^2}=q^2=\frac19$, ולכן $q=\frac13$ או $q=-\frac13$.

בשני המקרים $a_3=a_1q^2=\frac{a_1}{9}$. מציבים בנתון הראשון:

$a_2=a_1q$, ולכן $a_2=6$ או $a_2=-6$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\frac{a_5}{a_3}$ הוא המנה עצמה ($q=\frac19$), ואז $a_3=\frac{a_1}{81}$, $a_1=\frac{162}{13}$ ו-$a_2=\frac{18}{13}$ - בין $a_3$ ל-$a_5$ שני צעדים, והיחס הוא $q^2$.

A לא עולה ולא יורדת, ולכן המנה שלה שלילית: $q=-\frac13$ (עם $q=\frac13$ ו-$a_1=18>0$ הסדרה הייתה יורדת).

היחס קבוע, ולכן B סדרה הנדסית שמנתה $\frac19$ (ובאופן כללי - ריבוע המנה של A).

טעות נפוצה: להניח שלסדרה B יש אותה מנה כמו ל-A ולענות $-\frac13$ - כל איבר של B הוא מכפלה של שני איברים, וכל אחד מהם מוכפל ב-$q$.

האיבר ה-$n$ של C הוא $c_n=k\cdot a_{2n-1}\cdot a_{2n+1}$ (בכל זוג המכפלה של שני איברים במקומות אי-זוגיים עוקבים, והזוגות חופפים באיבר אחד).

בדיקה במספרים: $a_1=18$, $a_3=2$, $a_5=\frac29$, ולכן $c_1=36k$, $c_2=\frac{4k}{9}$, ו-$\frac{c_2}{c_1}=\frac{1}{81}$.

טעות נפוצה: לחשב את $a_5$ כ-$a_1q^5$ במקום $a_1q^4$ ($a_5=-\frac{2}{27}$), ולקבל $c_2=-\frac{4k}{27}$ ומנה $-\frac{1}{243}$.

$c_1=k\cdot a_1\cdot a_3=k\cdot18\cdot2=36k$ (שני האיברים במקומות האי-זוגיים חיוביים, גם כשהמנה של A שלילית).

המנה $\frac1{81}$ חיובית וקטנה מ-1: כל האיברים באותו סימן כמו $c_1$, והערך המוחלט שלהם קטן.

אם $c_1<0$ האיברים שליליים ומתקרבים ל-0 - הסדרה עולה. אם $c_1>0$ - הסדרה יורדת.

לכן C עולה כאשר $36k<0$, כלומר $k<0$.

טעות נפוצה: לחשוב שמנה חיובית ואיבר ראשון חיובי נותנים סדרה עולה, ולענות $k>0$ - כשהמנה בין 0 ל-1 זו סדרה יורדת.

$b_1=a_1a_2=18\cdot(-6)=-108$:

$c_1=36k$:

מציבים בנתון:

($k<0$, כלומר במקרה הזה C עולה.)

טעות נפוצה: לחשב את $S_C$ עם המנה של B ($\frac19$): $S_C=\frac{36k}{\frac89}=40.5k$, ולקבל $k=-9$.

מבין התומכים 60% ותיקים: $P(\text{ותיק וגם בעד})=0.6p$, $P(\text{חדש וגם בעד})=0.4p$.

מספר הוותיקים שבעד גדול פי 2 ממספר החדשים שנגד: $P(\text{חדש וגם נגד})=\frac{0.6p}{2}=0.3p$.

לכן $P(\text{חדש})=0.4p+0.3p=0.7p$, ושאר התאים משלימים:

טעות נפוצה: להפוך את היחס "פי 2" ולכתוב $P(\text{חדש וגם נגד})=2\cdot0.6p=1.2p$, ואז $\frac{1.2p}{1.6p}=\frac34$ - הוותיקים שבעד הם הקבוצה הגדולה פי 2.

$P(\text{בעד}\mid\text{חדש})=\frac{0.4p}{0.7p}=\frac47$, ו-$P(\text{בעד}\mid\text{ותיק})=\frac{0.6p}{1-0.7p}$.

(בדיקה: $P(\text{ותיק וגם נגד})=1-1.3\cdot\frac57=\frac1{14}\ge0$.)

טעות נפוצה: לחלק במשבצת 'ותיק וגם נגד' ($1-1.3p$) במקום בסך הוותיקים: $\frac{0.6p}{1-1.3p}=\frac67$ נותן $p=\frac12$.

(במשלים: $1-P(\text{ותיק וגם נגד})=1-\frac1{14}$.)

טעות נפוצה: להחסיר את המכפלה $P(\text{חדש})\cdot P(\text{בעד})$ במקום את החיתוך מהטבלה, כאילו המאורעות בלתי תלויים: $0.7p+p-0.7p^2=\frac67$.

כולם מנויים חדשים, ולכן לכל אחד ההסתברות להיות בעד היא $P(\text{בעד}\mid\text{חדש})=\frac47$.

"לפחות 2 בעד וגם לפחות 2 נגד" מתוך 6: מספר התומכים הוא 2, 3 או 4.

טעות נפוצה: לספור רק 2 או 3 תומכים (כמו כשבוחרים 5) ולקבל $\frac{54000}{117649}\approx0.459$ - עם 6 נבחרים גם 4 בעד ו-2 נגד מקיים את התנאים.

הזווית בין המשיק $FB$ למיתר $FH$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על $FH$ מהצד השני: $\angle BFH=\angle FGH$.

$GH\parallel AB$, ו-$FH$ חותך אותם: $\angle BFH=\angle FHG$ (זוויות מתחלפות).

לכן $\angle FGH=\angle FHG$, ובמשולש $FGH$: $FG=FH$.

טעות נפוצה: לנמק $FG=FH$ בכך ש-$F$ היא אמצע $AB$ - $F$ היא נקודת ההשקה, והיא אינה אמצע הצלע (בסרטוט $AF>FB$).

$FG=FH$ (סעיף א), ולכן הזוויות ההיקפיות הנשענות על המיתרים השווים שוות: $\angle GCF=\angle FCH$.

יחד הן $\angle ACB=70^\circ$, ולכן $\angle BCF=35^\circ$.

טעות נפוצה: להניח (כמו במשולש ישר זווית) ש-$GH$ קוטר, ולכן $\angle GFH=90^\circ$ ו-$\angle FGH=45^\circ=\angle FCH$ - ולענות $45^\circ$. כאן $\angle GCH=70^\circ$, ולכן $\angle GFH=110^\circ$ (מרובע חסום) ו-$\angle FGH=35^\circ$.

$\angle HCF=\angle FCA=35^\circ$ (סעיף ב(1)).

$\angle CFA$ היא זווית בין המשיק $FA$ למיתר $FC$. היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על $FC$ מהצד השני - מהנקודה $H$: $\angle CFA=\angle CHF$.

שתי זוויות שוות, ולכן $\Delta CHF\sim\Delta CFA$ (ז.ז.), בהתאמה $C\leftrightarrow C$, $H\leftrightarrow F$, $F\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: להשוות את $\angle CFA$ ל-$\angle CGF$ - $G$ נמצאת על הקשת שבתוך הזווית $CFA$, ובמרובע החסום $\angle CGF=180^\circ-\angle CHF$.

$FE$ מכיל את הרדיוס לנקודת ההשקה, ולכן $FE\perp AB$: $\angle EFB=90^\circ$.

$BK$ גובה לצלע $AC$, ו-$E$ על $AC$: $\angle EKB=90^\circ$.

$F$ ו-$K$ רואות את הקטע $EB$ בזווית ישרה, ולכן שתיהן על המעגל שקוטרו $EB$: הנקודות $E$, $F$, $B$, $K$ על מעגל אחד.

$\angle FEB$ ו-$\angle FKB$ זוויות היקפיות במעגל הזה הנשענות על אותה קשת $FB$ (ו-$E$, $K$ באותו צד של $FB$), ולכן הן שוות.

טעות נפוצה: לנסות להוכיח ש-$EFBC$ בר-חסימה כמו במשולש ישר זווית - כאן $\angle ECB=70^\circ$ ולא $90^\circ$, ו-$C$ אינה על המעגל שקוטרו $EB$; את הזווית הישרה השנייה נותן הגובה $BK$.

זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני: $\angle ABD=\angle ADE=\alpha$.

$AB$ קוטר, ולכן $\angle ADB=90^\circ$, ובמשולש $ABD$: $\angle BAD=90^\circ-\alpha$.

$\angle DAE$ צמודה ל-$\angle BAD$: $\angle DAE=90^\circ+\alpha$.

במשולש $ADE$:

(דרך נוספת: הזווית המרכזית $\angle AOD=2\angle ABD=2\alpha$, והמשולש $ODE$ ישר-זווית ב-$D$, כי המשיק מאונך לרדיוס.)

טעות נפוצה: לקחת במשולש $ADE$ את הזווית שב-$A$ כ-$\angle BAD=90^\circ-\alpha$ במקום הזווית הצמודה לה, ולקבל $\angle AED=90^\circ$.

נתון $EF=ED$, ולכן המשולש $EFD$ שווה-שוקיים עם ראש ב-$E$, וזוויות הבסיס שלו הן הזוויות שב-$F$ וב-$D$: