מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 4 ברמת בגרות

נסמן ב-$h$ את גובה הטרפז.

במשולש $BDC$ הבסיס הוא $DC$, והקודקוד $B$ נמצא על הבסיס העליון - הגובה לבסיס $DC$ הוא $h$.

במשולש $ABC$ הבסיס הוא $AB$, והקודקוד $C$ נמצא על הבסיס התחתון - הגובה לבסיס $AB$ הוא גם $h$.

למשולשים בעלי אותו גובה, יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן: $DC:AB=5:2$.

טעות נפוצה: לכתוב את היחס הפוך, $2:5$ - זה היחס בין הבסיס הקטן לגדול.

האלכסון $BD$ מחלק את הטרפז לשני משולשים: $BDC$ ו-$ABD$.

למשולשים $ABD$ ו-$ABC$ יש בסיס משותף $AB$ ואותו גובה $h$, ולכן $S_{ABD}=S_{ABC}=18$.

טעות נפוצה: לחשוב שהאלכסון מחלק את הטרפז לשני משולשים שווי שטח, כמו במקבילית, ולקבל $2\cdot45=90$.

נסמן ב-$P_n$ את המכפלה שבאגף שמאל. הגורם האחרון בה הוא $1-\frac{1}{(n+1)^2}$.

בדיקה עבור $n=1$: $P_1=1-\frac14=\frac34$, ובאגף ימין $\frac{1+2}{2\cdot2}=\frac34$. הטענה נכונה.

הנחת האינדוקציה: $P_k=\frac{k+2}{2(k+1)}$.

צריך להוכיח: $P_{k+1}=\frac{k+3}{2(k+2)}$.

הגורם החדש ב-$P_{k+1}$ הוא $1-\frac{1}{(k+2)^2}$. מפרקים אותו כהפרש ריבועים:

לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: בשלב הצעד להכפיל שוב בגורם $1-\frac{1}{(k+1)^2}$ (הגורם האחרון של $P_k$) במקום ב-$1-\frac{1}{(k+2)^2}$, ולקבל $\frac{k(k+2)^2}{2(k+1)^3}$, שאינו $\frac{k+3}{2(k+2)}$.

הגורם האחרון הוא $1-\frac{1}{100^2}$, כלומר $n+1=100$ ו-$n=99$. לפי ב(1):

במכפלה המבוקשת חסר הגורם הראשון $1-\frac{1}{2^2}=\frac34$, ולכן מחלקים בו:

טעות נפוצה: להציב בנוסחה ולענות $\frac{101}{200}$, בלי לשים לב שהמכפלה המבוקשת מתחילה ב-$1-\frac{1}{3^2}$.

מפתחים לפי $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$, כאשר $\cos\pi=-1$ ו-$\sin\pi=0$:

שני האגפים שווים ל-$-\cos x$ לכל $x$, ולכן הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos(\pi+x)=\cos x$ "בגלל המחזוריות" (המחזור של $\cos$ הוא $2\pi$, לא $\pi$) ולקבוע שהטענה אינה נכונה.

השוויון $-\sin x=\sin x$ מתקיים רק כאשר $\sin x=0$, ולא לכל $x$.

דוגמה נגדית: עבור $x=\frac{\pi}{2}$ אגף שמאל הוא $\cos\pi=-1$ ואגף ימין הוא $\cos0=1$.

הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: לנמק "קוסינוס זוגית, ולכן אפשר להפוך את הסימן בתוך הסוגריים" - זוגיות נותנת $\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$, ולא $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$ - ולקבוע שהטענה נכונה.

$g(x)=3-f(x)=-f(x)+3$: קודם שיקוף של הגרף של $f$ ביחס לציר ה-$x$, ואחר כך הזזה של 3 יחידות למעלה.

$f$ שואפת ל-2 בשני הצדדים. לכן $-f(x)$ שואפת ל-$-2$, ו-$g(x)=3-f(x)$ שואפת ל-$3-2=1$.

משוואת האסימפטוטה האופקית של $g$: $y=1$.

טעות נפוצה: להתעלם מסימן המינוס ולהוסיף 3 לאסימפטוטה של $f$, ולקבל $y=5$.

שיקוף ביחס לציר ה-$x$ מעביר נקודה $(x_0,y_0)$ ל-$(x_0,-y_0)$, וההזזה מעבירה אותה ל-$(x_0,3-y_0)$. שיעור ה-$x$ לא משתנה.

השיקוף הופך את הגרף "מלמעלה למטה": נקודת מקסימום של $f$ הופכת לנקודת מינימום של $g$, ולהפך.

המקסימום של $f$, $(1,6)$, עובר ל-$(1,3-6)=(1,-3)$ - נקודת מינימום של $g$.

המינימום של $f$, $(-3,-2)$, עובר ל-$(-3,3+2)=(-3,5)$ - נקודת מקסימום של $g$.

טעות נפוצה: לחשב נכון את הנקודות אבל להשאיר את הסוג של $f$, ולענות $\max(1,-3)$, $\min(-3,5)$. השיקוף ביחס לציר ה-$x$ הופך מקסימום למינימום ולהפך.

לפי נוסחת הפרש ריבועים: $b_t=(a_{t+1}-a_t)(a_{t+1}+a_t)=d(a_t+a_{t+1})$.

ההפרש $2d^2$ קבוע (לא תלוי ב-$t$), ולכן B סדרה חשבונית שהפרשה $2d^2$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $d$ שמחוץ לסוגריים ולענות שההפרש הוא $2d$.

בסכום של B כל ריבוע אמצעי מופיע פעם בסימן פלוס ופעם בסימן מינוס, ונשארים רק הקצוות:

(בין $a_1$ ל-$a_{2n}$ יש $2n-1$ הפרשים.) לכן $\frac{S_B}{2n-1}=d(a_1+a_{2n})$.

מצד שני $S_A=\frac{2n(a_1+a_{2n})}{2}=n(a_1+a_{2n})$, ולכן $\frac{d\cdot S_A}{n}=d(a_1+a_{2n})$. שני הצדדים שווים.

(אפשר גם לפי נוסחת הסכום של B: $b_1+b_{2n-1}=d(a_1+a_2)+d(a_{2n-1}+a_{2n})=2d(a_1+a_{2n})$, כי $a_2+a_{2n-1}=a_1+a_{2n}$.)

טעות נפוצה: לפרק $a_{2n}^2-a_1^2$ כ-$(a_{2n}-a_1)^2$ ולקבל $S_B=(2n-1)^2d^2$, ביטוי שלא קשור ל-$S_A$ - זה הפרש ריבועים, לא ריבוע של הפרש.

$S_B-S_A=1440$, ולכן $S_A\ne0$ (אחרת גם $S_B=5.8\cdot0=0$). מסעיף ב:

טעות נפוצה: לפתוח את הסוגריים כ-$3(2n-1)=6n-1$ ולקבל $0.2n=1$, $n=5$.

מציבים $S_B=5.8S_A$ במשוואה $S_B-S_A=1440$: $4.8S_A=1440$, $S_A=300$ (ו-$S_B=1740$).

ב-A יש 30 איברים, והאמצעיים הם $a_{15}$ ו-$a_{16}$. מרחקם מהקצוות שווה, ולכן $a_{15}+a_{16}=a_1+a_{30}$.

(בדיקה: $a_1+a_{30}=20$ ו-$a_{30}-a_1=29\cdot3=87$, ולכן $a_{30}^2-a_1^2=20\cdot87=1740=S_B$.)

טעות נפוצה: לענות 10 - זה $\frac{S_A}{30}$, ממוצע האיברים, כלומר חצי מסכום שני האיברים האמצעיים.

נסמן ב-$r$ את ההסתברות לעבור את הגמר, בהינתן שהמתמודד הגיע אליו.

ענפי העץ: מיון $p$; חצי גמר (בהינתן מיון) $3p$; גמר (בהינתן חצי גמר) $r$.

לפי הנתון: $3p^2r=4\cdot3p^2(1-r)$. מחלקים ב-$3p^2\neq0$:

טעות נפוצה: לכתוב את היחס הפוך, $4\cdot3p^2r=3p^2(1-r)$, ולקבל $r=0.2$.

$P(\text{זוכה})=1-0.85=0.15$.

($p>0$.) בדיקה: ההסתברות לעבור את חצי הגמר היא $3p=0.75$ - חוקית.

טעות נפוצה: להשוות את $2.4p^2$ ל-0.85 ולקבל $p\approx0.595$ - ואז $3p\approx1.79>1$, שאינה הסתברות.

כל מי שזכה עבר את שלב המיון, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב בכיוון ההפוך, $P(\text{לא זכה}\mid\text{עבר מיון})=\frac{0.1}{0.25}=0.4$.

הבחירה מתוך המתמודדים שלא זכו, ולכן ההסתברות להצלחה בכל בחירה היא $\frac{2}{17}$ (סעיף ג). ניסוי ברנולי עם $n=6$:

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות $0.25$ של כל המתמודדים, ולקבל $1-0.75^6-6\cdot0.25\cdot0.75^5\approx0.4661$.

הזווית $A$ משותפת לשני המשולשים ($D$ על $AC$, ולכן $\angle BAD=\angle CAB$).

$\angle NAC=\angle ABC$ - הזווית בין המשיק $AN$ למיתר $AC$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $AC$ מהצד השני של המיתר.

$BD\parallel MN$, והישר $AC$ חותך את שניהם, ולכן $\angle ADB=\angle NAC$ (זוויות מתחלפות).

מכאן $\angle ADB=\angle ABC$, ולפי ז.ז.: $\triangle ABD\sim\triangle ACB$, בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $D\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בהתאמה $D\leftrightarrow C$ ($\triangle ABD\sim\triangle ABC$) ולהסיק $\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AB}=1$, כלומר $D=C$ - מה שאינו נכון.

יחס הדמיון מסעיף א:

יחס השטחים של המשולשים הדומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

מצד שני, למשולשים $ABD$ ו-$ABC$ יש קודקוד משותף $B$, והבסיסים $AD$ ו-$AC$ על אותו ישר - לכן יש להם אותו גובה, ויחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

משני השוויונות: $\frac{AD}{AC}=\frac{AB^2}{AC^2}$.

(אפשר גם ישירות: $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$ נותן $AD=\frac{AB^2}{AC}$, ומחלקים ב-$AC$.)

טעות נפוצה: לכתוב שיחס השטחים שווה ל-$k$ ולא ל-$k^2$, ולקבל את הטענה השגויה $\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AC}$, כלומר $AD=AB$.

$AC=AD+DC=AD+3AD=4AD$, ולכן $\frac{AD}{AC}=\frac14$.

לפי סעיף ב:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{AD}{AC}=\frac13$ (לבלבל בין $AC$ ל-$DC$), ולקבל $\frac{AC}{AB}=\sqrt3$.

לפי סעיף ב: $\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{AC}=\frac14$, ולכן

למשולשים $ADE$ ו-$CDE$ יש קודקוד משותף $E$, והבסיסים $AD$ ו-$DC$ על הישר $AC$. לכן

הקטע $CE$ מחלק את המשולש $BDC$ למשולשים $BEC$ ו-$CDE$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $S_{CDE}=\frac S3$, ולקבל $30-\frac S3$.

נסמן ב-$T$ את נקודת ההשקה של המעגל עם השוק $AC$: $OT\perp AC$ ו-$OT=r$.

$\angle ABC=\angle ACB=2\alpha$, ולכן $\angle BAC=180^\circ-4\alpha$.

מרכז המעגל החסום נמצא על חוצה הזווית $A$: $\angle OAT=\frac{180^\circ-4\alpha}2=90^\circ-2\alpha$.

במשולש ישר הזווית $ATO$:

טעות נפוצה: לחשב את זווית הראש כאילו זווית הבסיס היא $\alpha$ ($\angle OAT=90^\circ-\alpha$) - מקבלים $AO=\frac{r}{\cos\alpha}$.

נסמן ב-$M$ את נקודת ההשקה עם $BC$: $OM\perp BC$, $OM=r$. $CO$ חוצה את $\angle ACB$, ולכן $\angle OCM=\alpha$.

במשולש ישר הזווית $OMC$: $CM=\frac{r}{\tan\alpha}$.

המשולש שווה שוקיים, ולכן $M$ (על חוצה זווית הראש, שהוא גם התיכון) היא אמצע $BC$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $CM=r\tan\alpha$ - מקבלים $BC=2r\tan\alpha$.

גם $BO$ חוצה זווית בסיס, ובמשולש ישר הזווית $OMB$: $BO=\frac{r}{\sin\alpha}$.

במשוואה מופיע $\sin\alpha$, ולכן מציבים את הצורה $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$:

$\sin\alpha=-\frac32$ נפסל ($|\sin\alpha|\le1$, ו-$\alpha$ חדה). לכן $\sin\alpha=\frac13$ ו-$\alpha\approx19.47^\circ$ (זווית הבסיס $2\alpha\approx38.94^\circ$).

טעות נפוצה: לכתוב $\cos2\alpha=1-\sin^2\alpha$ (לשכוח את המקדם 2) - מתקבל $3\sin^2\alpha+7\sin\alpha-3=0$, $\sin\alpha\approx0.37$ ו-$\alpha\approx21.71^\circ$.

$CO=BO=\frac{r}{\sin\alpha}=3r$, ו-$OK=r$.

במשולש $COB$: $\angle COB=180^\circ-\alpha-\alpha=180^\circ-2\alpha$, ולכן $\cos\angle COK=\cos(180^\circ-2\alpha)=-\cos2\alpha$.

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\frac29=\frac79$, ולכן $\cos\angle COK=-\frac79$.

משפט הקוסינוסים במשולש $COK$:

$\frac{44}3r^2=33$, ולכן $r^2=\frac94$ ו-$r=1.5$.

טעות נפוצה: להציב $\cos(180^\circ-2\alpha)=\cos2\alpha=\frac79$ (בלי היפוך הסימן) - מקבלים $\frac{16}3r^2=33$ ו-$r\approx2.49$.