מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 5 ברמת בגרות

בעבור $n=2$ אגף שמאל הוא סכום שני האיברים הראשונים:

אגף ימין בעבור $n=2$:

לכן $\frac{66}{b}=11$, כלומר $b=6$.

טעות נפוצה: להשוות את אגף ימין רק לאיבר השני ($2\cdot4=8$) במקום לסכום שני האיברים, ולקבל $b=8.25$.

צריך להוכיח: $1\cdot3+2\cdot4+\ldots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי.

בסיס ($n=1$): אגף שמאל $1\cdot3=3$, אגף ימין $\frac{1\cdot2\cdot9}{6}=3$. מתקיים.

הנחת האינדוקציה: בעבור $n=k$ מתקיים $1\cdot3+\ldots+k(k+2)=\frac{k(k+1)(2k+7)}{6}$.

צעד: האיבר ה-$(k+1)$ הוא $(k+1)(k+3)$. צריך להראות שהסכום עד אליו הוא $\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6}$.

מציבים את ההנחה ומוציאים גורם משותף $\frac{k+1}{6}$:

מפרקים את הטרינום: $2k^2+13k+18=(k+2)(2k+9)$ (בדיקה: $2k^2+9k+4k+18$).

לכן הסכום הוא $\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6}$, וזה בדיוק אגף ימין בעבור $n=k+1$, כי $2(k+1)+7=2k+9$.

לפי עקרון האינדוקציה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר הבא כ-$(k+1)(k+2)$ (להוסיף 1 רק לגורם הראשון) - ואז מקבלים $\frac{(k+1)(2k^2+13k+12)}{6}$, שאינו מתפרק ל-$(k+2)(2k+9)$, ו'מגלים' בטעות שהשוויון אינו נכון.

תחום ההגדרה: $\sqrt{x^2-9}$ (בביטויים III ו-IV) מוגדר רק כאשר $x^2\ge9$, כלומר $x\le-3$ או $x\ge3$. הפונקציה בסרטוט מוגדרת בתחום $-3\le x\le3$, ולכן III ו-IV נפסלים.

$\sqrt{9-x^2}$ (בביטויים I ו-II) מוגדר כאשר $9-x^2\ge0$, כלומר $-3\le x\le3$ - מתאים.

סימן: לפי הסרטוט, בעבור $-3<x<0$ הגרף מתחת לציר ה-$x$, ובעבור $0<x<3$ מעליו.

בתחום $-3<x<3$ מתקיים $\sqrt{9-x^2}>0$, ולכן הסימן נקבע לפי הגורם שלפני השורש:

ב-I, $x\sqrt{9-x^2}$ שלילי בעבור $x<0$ וחיובי בעבור $x>0$ - מתאים.

ב-II, $-x\sqrt{9-x^2}$ חיובי בעבור $x<0$ - לא מתאים.

לכן הביטוי I מייצג את $f(x)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\sqrt{x^2-9}$ מוגדר בתחום $-3\le x\le3$ (לבלבל בין $x^2\ge9$ ל-$x^2\le9$), להשאיר את ביטוי III, שגם בו הגורם שלפני השורש הוא $x$, ולבחור בו.

לפי סעיף ב(1): $g(x)=\left(x\sqrt{9-x^2}\right)^2=x^2(9-x^2)=9x^2-x^4$, בתחום $-3\le x\le3$.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2(9-x^2)=0$, כלומר $x=-3$, $x=0$ או $x=3$.

בכל התחום $g(x)\ge0$ (ריבוע של פונקציה). ב-$x=0$ הגרף רק נוגע בציר, ולכן השטח הוא שני חלקים, מ-$-3$ עד 0 ומ-0 עד 3, ושניהם מעל הציר:

($g$ זוגית, ולכן אפשר גם לחשב $2\int_0^3\left(9x^2-x^4\right)dx=2\cdot32.4$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח מ-0 עד 3 (כאילו $f$ השלילית בתחום $-3<x<0$ נותנת $g$ שלילית שאינה נספרת) ולקבל $32.4$ - אבל $g=f^2$ חיובית גם שם.

$g(x)=\frac{1}{f(x)-3}$ אינה מוגדרת כאשר $f(x)=3$, ושם המונה 1 שונה מ-0 - לכן בכל נקודה כזו יש אסימפטוטה אנכית.

נספור את הפתרונות של $f(x)=3$ לפי הסרטוט:

בעבור $x>-1$ הפונקציה יורדת מ-5 אל 0, ולכן מקבלת את הערך 3 פעם אחת - ולפי הסרטוט זה קורה ב-$x=0$, כי $f(0)=3$.

בעבור $x<-1$ הפונקציה עולה מ-0 עד 5, ולכן מקבלת את הערך 3 עוד פעם אחת, בנקודה שמשמאל ל-$x=-1$.

לכן ל-$g(x)$ יש 2 אסימפטוטות אנכיות, ואחת מהן היא $x=0$ (ציר ה-$y$).

טעות נפוצה: לראות ש-$f(0)=3$ ולמצוא רק את האסימפטוטה $x=0$ (תשובה: 1), בלי לשים לב שגם בענף העולה, משמאל לנקודת הקיצון, $f$ עוברת דרך 3.

כאשר $x\to\pm\infty$, $f(x)\to0$ (האסימפטוטה $y=0$ של $f$). לכן:

האסימפטוטה האופקית של $g(x)$ היא $y=-\frac13$.

טעות נפוצה: להעתיק את האסימפטוטה האופקית של $f$ ולענות $y=0$. אבל כאשר $f\to0$, $g$ שואפת ל-$\frac{1}{0-3}$ ולא ל-0.

אסימפטוטות: אנכיות ב-$x=0$ ובנקודה שמשמאל ל-$x=-1$ (סעיף ג(1)); אופקית $y=-\frac13$ (סעיף ג(2)).

בין האסימפטוטות האנכיות $3<f(x)\le5$, ולכן $0<f(x)-3\le2$ ו-$g(x)\ge\frac12$; ליד האסימפטוטות $g\to+\infty$.

המקסימום של $f$ ב-$(-1,5)$ הופך למינימום של $g$: $g(-1)=\frac{1}{5-3}=\frac12$.

מחוץ לאסימפטוטות $0<f(x)<3$, ולכן $-3<f(x)-3<0$ ו-$g(x)<-\frac13$: הענפים החיצוניים מתחת לאסימפטוטה האופקית.

בענף השמאלי $f$ עולה ולכן $g$ יורדת (מ-$-\frac13$ ל-$-\infty$); בענף הימני $f$ יורדת ולכן $g$ עולה (מ-$-\infty$ ל-$-\frac13$).

ל-$g$ אין נקודת חיתוך עם ציר ה-$y$, כי $x=0$ היא אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לחשב 'נקודת חיתוך עם ציר ה-$y$' לפי $g(0)=\frac{1}{3-3}$ ולסמן נקודה על ציר ה-$y$ - אבל ב-$x=0$ המכנה מתאפס, ושם יש אסימפטוטה.

$\angle ABC=90^\circ$, ולכן $AC$ הוא היתר - הצלע הארוכה ביותר במשולש.

אורכי הצלעות חיוביים, ולכן המנה $q$ חיובית ($q\ne1$, כי במשולש ישר זווית הצלעות אינן כולן שוות).

אם הסדרה יורדת ($0<q<1$), האיבר הראשון הוא הגדול ביותר, כלומר $BC$ היא הצלע הארוכה ביותר. אבל $BC$ ניצב, והיתר $AC$ ארוך ממנו - סתירה.

לכן הסדרה אינה יכולה להיות יורדת.

טעות נפוצה: לבדוק רק את משפט פיתגורס עם סדר צלעות שבו $BC$ היא הארוכה ($9=9q^2+9q^4$), לקבל $q^2=\frac{\sqrt5-1}{2}$ ולענות 'ייתכן' - בלי לשים לב ש-$BC$ ניצב ואינו יכול להיות הצלע הארוכה.

לפי סעיף ד(1) הסדרה עולה ($q>1$), ולכן האיבר השלישי הוא הגדול ביותר - היתר $AC$. האיבר השני הוא הניצב האחר, $AB$:

משפט פיתגורס:

נציב $t=q^2>0$: $t^2-t-1=0$, ולכן $t=\frac{1+\sqrt5}{2}$ (הפתרון השלילי נפסל).

$q=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}\approx1.272$, ו-$AB=3q\approx3.816$.

השטח הוא חצי מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לחשב את השטח כחצי מכפלת $BC$ ביתר $AC=3q^2$ ולקבל $\frac{3\cdot3q^2}{2}=\frac{9(1+\sqrt5)}{4}\approx7.28$ - היתר אינו גובה לניצב.

$S_{n+2}-S_n$ הוא סכום שני האיברים שנוספו בין $S_n$ ל-$S_{n+2}$:

ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית שהפרשה $2d$.

טעות נפוצה: לכתוב $S_{n+2}-S_n=a_{n+2}$ (רק האיבר האחרון) ולקבוע שהפרש הסדרה B הוא $d$.

סדרה חשבונית נקבעת על ידי האיבר הראשון וההפרש.

הפרש הסדרה B הוא $2d$ והפרש הסדרה A הוא $d$. הסדרה A עולה, ולכן $d>0$ ו-$2d\neq d$.

ההפרשים שונים, ולכן הסדרות אינן זהות.

טעות נפוצה: לכתוב $S_{n+2}-S_n=a_{n+2}$ (רק האיבר האחרון), לקבל ש-B היא A עם אותו הפרש $d$, ולענות שהסדרות זהות - גם בטעות הזו $b_1=a_3\neq a_1$, ובפועל $b_n=a_{n+1}+a_{n+2}$ וההפרש $2d$.

לפי א(1), B חשבונית עם הפרש $2d$, ולכן בכל זוג: $b_k-b_{k+1}=-2d$.

מוציאים את $-2d$ כגורם משותף מהמונה:

($n$ זוגי, ולכן הזוגות מכסים בדיוק את $n$ האיברים הראשונים.)

מחלקים ב-$-2d\neq0$ ומקבלים $T_n$. מש"ל.

טעות נפוצה: להשתמש בהפרש של A ולכתוב $b_k-b_{k+1}=-d$ - אז המונה יוצא $-d\cdot T_n$, והביטוי שווה ל-$\frac{T_n}{2}$ ולא ל-$T_n$.

$b_k^2-b_{k+1}^2=(b_k+b_{k+1})(b_k-b_{k+1})$, ולכן הסכום הנתון הוא המונה מסעיף ב עם $n=38$:

B חשבונית עם איבר ראשון $b_1$ והפרש $2d$:

מ-$T_5=-25$: $b_1+4d=-5$, כלומר $b_1=-5-4d$.

מציבים: $2b_1+74d=-10-8d+74d=66d-10$:

$d=\frac13$ או $d=-\frac{2}{11}$. הסדרה A עולה, ולכן $d=\frac13$.

$b_1=-5-\frac43=-\frac{19}{3}$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$-d$ במקום ב-$-2d$ (להעתיק את המכנה של סדרה שהפרשה $d$), לקבל $d(66d-10)=8$, ומשם $d\approx0.43$.

$b_1=a_2+a_3=2a_1+3d$, ולכן $a_1=\frac{b_1-3d}{2}=\frac{-\frac{19}{3}-1}{2}=-\frac{11}{3}$.

האיברים במקומות האי-זוגיים $a_1, a_3, a_5, \ldots$ הם סדרה חשבונית עם איבר ראשון $-\frac{11}{3}$ והפרש $2d=\frac23$.

סכום $m$ איברים ממנה:

חיובי כאשר $m\ge13$.

$m=13$: $\frac{13}{3}$ - לא שלם. $m=14$: $\frac{28}{3}$ - לא שלם. $m=15$: $\frac{15\cdot3}{3}=15$ - חיובי ושלם.

המספר המינימלי: 15 איברים.

טעות נפוצה: לקחת לתת-הסדרה את ההפרש $d=\frac13$ במקום $2d$, לקבל את הסכום $\frac{m(m-23)}{6}$, ולענות 24 איברים.

עץ דו-שלבי שבו ההסתברות בזריקה השנייה תלויה בתוצאת הראשונה:

'בדיוק אחת' - קלע ואז החטיא, או החטיא ואז קלע:

נתון $P>0.5$, ולכן $P=0.6$. (ההסתברויות לזריקה השנייה: $0.8$ ו-$0.3$.)

טעות נפוצה: בענף של מי שהחטיא בראשונה לקחת את ההסתברות להחטיא שוב, $(1-P)\big(1-(P-0.3)\big)$. אז $1.3-1.5P=0.24$ ומקבלים $P\approx0.71$.

קלע בשתיהן: $0.6\cdot0.8=0.48$. החטיא בשתיהן: $0.4\cdot(1-0.3)=0.28$.

קלע לפחות באחת: $1-0.28=0.72$.

'עלה לגמר' (קלע בשתיהן) מוכל ב'קלע לפחות באחת', ולכן:

טעות נפוצה: לחשב 'החטיא בשתיהן' כ-$0.4^2=0.16$ (כאילו הזריקות בלתי תלויות) ולקבל $\frac{0.48}{0.84}=\frac47$.

לכל משתתף שלוש תוצאות: עלה לגמר (0.48), החטיא בשתיהן (0.28), קלע בדיוק באחת (0.24).

המשתתף שהחטיא בשתיהן יכול להיות כל אחד מהשלושה - 3 סידורים:

טעות נפוצה: לשכוח את מספר הסידורים ולענות $0.48^2\cdot0.28\approx0.0645$.

משתתף עולה לגמר בהסתברות $0.48$, ולא עולה בהסתברות $0.52$.

המשלים: כולם עלו או אף אחד לא עלה:

טעות נפוצה: להשתמש ב'החטיא בשתיהן' (0.28) במקום 'לא עלה' ולכתוב $1-0.48^n-0.28^n$ - גם מי שקלע רק פעם אחת לא עלה.

לשני המשולשים זווית משותפת: $\angle APB=\angle CPA$.

$\angle PAB$ היא זווית בין המשיק $PA$ למיתר $AB$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $AB$ מצדו השני של המיתר: $\angle PAB=\angle ACB=\angle PCA$.

לכן $\Delta PAB\sim\Delta PCA$ (ז.ז), בהתאמה $P\leftrightarrow P$, $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: לנמק $\angle PAB=\angle ABC$ - הזווית בין משיק למיתר $AB$ שווה לזווית ההיקפית שנשענת על הקשת $AB$, כלומר שקודקודה ב-$C$, ולא לזווית שקודקודה ב-$B$, קצה המיתר עצמו.

$PC=PB+BC=4+5=9$. מהדמיון בסעיף א:

טעות נפוצה: להשתמש ב-$BC$ במקום ב-$PC$ ולכתוב $PA^2=PB\cdot BC=20$, כלומר $PA=2\sqrt5$ - החותך נמדד מ-$P$ עד הנקודה הרחוקה $C$.

$E$ אמצע הקשת $BC$, ולכן הזוויות ההיקפיות על הקשתות השוות שוות: $\angle BAF=\angle FAC$.

$\angle PAF=\angle PAB+\angle BAF=\angle ACB+\angle FAC$ (לפי סעיף א, $\angle PAB=\angle ACB$).

$\angle PFA$ היא זווית חיצונית למשולש $AFC$, ולכן $\angle PFA=\angle FAC+\angle FCA=\angle FAC+\angle ACB$.

לכן $\angle PAF=\angle PFA$, המשולש $PAF$ שווה-שוקיים, ו-$PA=PF$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$F$ היא אמצע $BC$ כי $E$ אמצע הקשת - $AF$ הוא חוצה זווית ולא תיכון; הנקודה $F$ מחלקת את $BC$ ביחס $AB:AC$.

לפי ב ו-ג, $PF=PA=6$.

למשולשים $APF$ ו-$ABC$ גובה משותף מ-$A$ לישר $PC$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

טעות נפוצה: להניח ש-$F$ אמצע $BC$, כלומר $PF=4+2.5=6.5$, ולקבל שטח 13.

$BF=PF-PB=6-4=2$, $FC=BC-BF=3$.

למשולשים $ABF$ ו-$AFC$ גובה משותף מ-$A$, ולכן יחס השטחים הוא $\frac{BF}{FC}=\frac23$.

(בדרך אחרת: $AF$ חוצה את הזווית $BAC$, ולפי משפט חוצה הזווית $\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}$; מהדמיון בסעיף א $\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}=\frac69=\frac23$.)

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון בריבוע, $\left(\frac{PA}{PC}\right)^2=\frac49$, כאילו המשולשים $ABF$ ו-$AFC$ דומים - יש להם גובה משותף, ויחס השטחים הוא יחס הבסיסים.

O מרכז מעגל המשיק לשתי שוקי הזווית BAC, ולכן AO חוצה את הזווית: $\angle OAB=\angle OAE=\beta$.

$OE\perp AC$ (רדיוס לנקודת ההשקה) ו-$OE=R$. במשולש ישר-הזווית AEO: $AO=\frac{R}{\sin\beta}$.

נתון $AB=BO$, ולכן המשולש ABO שווה-שוקיים עם הבסיס AO. נוריד מ-B אנך BM לבסיס: הוא גם תיכון, ולכן $AM=\frac{AO}{2}=\frac{R}{2\sin\beta}$.

במשולש ישר-הזווית ABM: $\cos\beta=\frac{AM}{AB}$.

טעות נפוצה: לשכוח שהאנך חוצה את הבסיס ולכתוב $AB=\frac{AO}{\cos\beta}$, ולקבל $AB=\frac{2R}{\sin2\beta}$ - זה נכון רק כאשר הזווית שליד O ישרה.