מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 6 מעל רמת בגרות

אם $8^n+k$ מתחלק ב-7, אז גם $8(8^n+k)$ מתחלק, ו-$7k$ מתחלק ב-7 לכל $k$ שלם - ולכן גם ההפרש.

טעות נפוצה: לכתוב $8^{n+1}+k=8(8^n+k)$ ולהסיק שהצעד נכון "כי מכפילים ב-8" - השוויון שגוי (חסר $-7k$).

הצעד נכון לכל $k$ (סעיף א(1)), ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ בדיוק כשהבסיס נכון: $7\mid8+k$.

$8+k\in\{14,21,28\}$ בתחום, כלומר $k=6,13,20$.

(ואם הבסיס לא מתקיים, הטענה נכשלת כבר ב-$n=1$, ולכן אינה נכונה לכל $n$.)

טעות נפוצה: להסיק מהצעד שהטענה נכונה "לכל $k$" - בלי לבדוק את הבסיס.

$f(x)=x^3+1$: $f'(x)=3x^2$ זוגית, אבל $f(0)=1\ne0$, ולכן $f$ אינה אי-זוגית (בפונקציה אי-זוגית המוגדרת ב-0 מתקיים $f(0)=0$).

טעות נפוצה: לענות "כן" על סמך ההפך ("הנגזרת של אי-זוגית היא זוגית") - הוספת קבוע לא משנה את הנגזרת אבל הורסת את האי-זוגיות.

נגדיר $h(x)=f(x)-f(-x)$. לפי כלל השרשרת:

(כי $f'$ אי-זוגית). לכן $h$ קבועה, ו-$h(x)=h(0)=f(0)-f(0)=0$, כלומר $f(-x)=f(x)$ לכל $x$: $f$ זוגית.

טעות נפוצה: בהיקש מ-ב(1) להציג את $f(x)=x^2+x$ כדוגמה נגדית בטענה ש-$f'(x)=2x+1$ אי-זוגית, ולענות "לא" - אבל $f'(-x)=-2x+1\ne-f'(x)$ (למשל $f'(-1)=-1$ ואילו $-f'(1)=-3$), כך ש-$f'$ אינה אי-זוגית.

$f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)=x^3-3x^2-x+3$, ופונקציה קדומה: $G(x)=\frac{x^4}{4}-x^3-\frac{x^2}{2}+3x$, עם $G(-1)=-\frac94$.

המונה הוא ריבוע שלם (בודקים: $(a^2-2a-3)^2=a^4-4a^3-2a^2+12a+9$):

$F(a)=0\iff a=-1$ או $a=3$; בתחום $-1<a\le4$ רק $a=3$.

טעות נפוצה: לחפש את האפסים של $f$ במקום של $F$ ולענות $a=1$ ו-$a=3$ - ב-$a=1$ $F(1)=4\ne0$.

$F'(a)=f(a)$: חיובית ב-$-1<a<1$, שלילית ב-$1<a<3$, חיובית ב-$3<a\le4$.

לכן המועמדים למקסימום: מקסימום מקומי ב-$a=1$ והקצה $a=4$.

הערך הגדול ביותר הוא $6.25$, ב-$a=4$.

טעות נפוצה: לעצור במקסימום המקומי ולענות $F(1)=4$ - בלי לבדוק את קצה התחום.

שלושה מספרים הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית אם ורק אם האמצעי הוא ממוצע הקיצוניים: $2a_k=a_1+a_{2n+1}$.

ו-$d\ne0$, ולכן $k=n+1$ - האיבר האמצעי בלבד.

טעות נפוצה: לחשוב שהאיבר האמצעי של $2n+1$ איברים הוא במקום $n$ ולענות $k=n$.

בסדרה הנדסית ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת שכניו: $a_{n+1}^2=a_1a_{2n+1}$.

כלומר $d=0$ - בסתירה לנתון. לכן לא ייתכן.

טעות נפוצה: לפתוח את $(a_1+nd)^2$ בלי האיבר האמצעי, $a_1^2+n^2d^2=a_1^2+2a_1nd$, ולקבל "כן, כאשר $a_1=\frac{nd}{2}$" - אבל אז האיברים הם $\frac{nd}{2},\frac{3nd}{2},\frac{5nd}{2}$ ו-$\left(\frac32\right)^2=\frac94\ne\frac54=\frac12\cdot\frac52$.

מנת סדרת המנות היא $\frac{q_A}{q_B}$, ולכן אגף שמאל הוא $\frac{a_1/b_1}{1-q_A/q_B}=\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{q_B}{q_B-q_A}$.

אגף ימין: $\frac{a_1/(1-q_A)}{b_1/(1-q_B)}=\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{1-q_B}{1-q_A}$.

טעות נפוצה: להפוך את מנת הסכומים ולכתוב $\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{1-q_A}{1-q_B}$, ומכאן $q_B^2-q_Aq_B+q_A^2-q_A=0$ - סכום A הוא $\frac{a_1}{1-q_A}$, ולכן $1-q_A$ עובר למכנה.

המשוואה ריבועית ב-$q_B$, והדיסקרימיננטה שלה $4q_A^2-4q_A=4q_A(q_A-1)$.

$|q_A|<1$ ו-$q_A\ne0$; אם $0<q_A<1$ הדיסקרימיננטה שלילית ואין פתרון. לכן בהכרח $-1<q_A<0$, ואז:

מכפלת הפתרונות היא $q_A<0$, ולכן יש פתרון חיובי $r=q_A+\sqrt{q_A^2-q_A}$ ופתרון שלילי $s=q_A-\sqrt{q_A^2-q_A}$. בודקים שני תנאים: $|q_B|<1$ (B מתכנסת) ו-$|q_B|>|q_A|$ (סדרת המנות מתכנסת).

$r<1\iff q_A^2-q_A<(1-q_A)^2\iff q_A<1$ - תמיד. $r>-q_A\iff q_A^2-q_A>4q_A^2\iff 1>-3q_A$ (חילקנו ב-$-q_A>0$) $\iff q_A>-\frac13$.

$|s|=-q_A+\sqrt{q_A^2-q_A}>-q_A$ תמיד. $s>-1\iff q_A^2-q_A<(1+q_A)^2\iff q_A>-\frac13$.

לכן: אם $-\frac13<q_A<0$, שני הערכים $r$ ו-$s$ מתאימים; אם $-1<q_A\le-\frac13$, אף אחד מהם אינו מתאים.

(גם $q_B\ne q_A$, אחרת סדרת המנות קבועה: הצבה נותנת $q_A=q_A^2$, כלומר $q_A=0$ או $1$ - לא בתחום.)

תשובה: $-\frac13<q_A<0$, ולכל ערך כזה יש שני ערכים של $q_B$.

טעות נפוצה: לבדוק רק ש-$|q_B|<1$ ולשכוח שגם סדרת המנות צריכה להתכנס ($|q_A|<|q_B|$), ולענות $-1<q_A<0$.

B עולה ומתכנסת ואינה קבועה, ולכן $0<q_B<1$: לוקחים את הפתרון החיובי מסעיף ב:

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $q_A-\sqrt{q_A^2-q_A}$ - הוא שלילי (סכום של שני מספרים שליליים), וסדרה הנדסית עם מנה שלילית אינה עולה.

$\frac{q_A}{q_B}=-\frac23$, ולכן $q_A=-\frac23q_B$. מציבים במשוואה מסעיף א:

($q_B\ne0$.) ואז $q_A=-\frac23\cdot\frac27=-\frac4{21}$.

בדיקה: $-\frac13<-\frac4{21}<0$, ו-$q_B=\frac27>0$ מתאים לכך ש-B עולה.

טעות נפוצה: לכתוב את המנה הפוך, $\frac{q_B}{q_A}=-\frac23$, ולקבל $q_B=\frac38$, $q_A=-\frac9{16}$ - ערך שאינו בתחום שנמצא בסעיף ב.

שטח הלוח: $20\cdot10=200$. שטח העיגול: $25\pi$.

$AB=10$ מאונך לצלע הקצרה שבה $B$, ולכן המרחק של $A$ מהצלע הקצרה השנייה הוא $20-10=10$. שטח המשולש: $\frac{10\cdot10}{2}=50$.

טעות נפוצה: לקחת את גובה המשולש כמרחק עד מרכז העיגול ($15$) ולקבל שטח 75 ו-$P=\frac{125-25\pi}{200}\approx0.232$.

ההסתברות לפגוע במשולש: $\frac{50}{200}=\frac14$; בעיגול: $\frac{25\pi}{200}=\frac{\pi}{8}$; מחוץ לשתי הצורות: $\frac{6-\pi}{8}$ (סעיף א).

ההטלות בלתי תלויות והסדר קבוע:

טעות נפוצה: להכפיל במספר הסידורים של הצורות ($\frac{4!}{2!}=12$) ולקבל $\approx0.165$ - הסדר כאן נתון.

ב-5 הטלות "רוב" פירושו 3, 4 או 5 פגיעות במשולש. ברנולי עם $p=\frac14$, $q=\frac34$:

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק 3 פעמים": $\frac{90}{1024}\approx0.088$.

ההסתברות שבהטלה האחרונה פגע במשולש וגם ברוב ההטלות פגע במשולש: בהטלה האחרונה משולש, ובארבע האחרות לפחות 2 פגיעות במשולש:

טעות נפוצה: לענות $\frac14$ - להתעלם מהמידע שרוב הפגיעות היו במשולש.

הזווית בין המשיק $AF$ למיתר $FG$ שווה לזווית ההיקפית $\angle FHG$, והיא גם שווה ל-$\angle FGH$ (מתחלפות, $GH\parallel AB$). לכן $\angle FGH=\angle FHG$ ו-$FG=FH$.

מיתרים שווים - זוויות היקפיות שוות: $\angle ACF=\angle FCB$, כלומר $CF$ חוצה את הזווית $ACB$.

לפי משפט חוצה הזווית במשולש $ABC$: $\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}=\frac ab$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$FG=FH$ ש-$F$ היא אמצע $AB$ ולכן $\frac{AF}{FB}=1$ - $FG=FH$ נותן חוצה זווית, לא תיכון.

נסמן $c=AB$. לפי משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab$.

מסעיף א: $AF=\frac{a}{a+b}\cdot c=\frac{ac}{a+b}$.

$AF$ משיק ו-$AGC$ חותך מהנקודה $A$, ולכן $AF^2=AG\cdot AC$:

$GH\parallel AB$, ולכן $\Delta CGH\sim\Delta CAB$, ו-$\frac{GH}{AB}=\frac{CG}{CA}=\frac{3ab}{(a+b)^2}$.

טעות נפוצה: לחשב את $c^2$ לפי פיתגורס, $c^2=a^2+b^2$, ולקבל $\frac{2ab}{(a+b)^2}$ - המשולש אינו ישר זווית, וצריך את משפט הקוסינוסים.

לפי סעיף ב צריך להוכיח $\frac{3ab}{(a+b)^2}\le\frac34$, כלומר $4ab\le(a+b)^2$:

שוויון מתקבל רק כש-$a=b$. אז המשולש שווה שוקיים עם זווית ראש $60^\circ$ - משולש שווה צלעות.

טעות נפוצה: להעתיק את התשובה של המקרה הישר-זווית ולענות 'משולש ישר זווית ושווה שוקיים' - כאן הזווית בין $AC$ ל-$BC$ היא $60^\circ$, ולכן $a=b$ נותן משולש שווה צלעות. משולש ישר זווית עם $\angle C=60^\circ$ מתקבל רק כש-$b=2a$, ושם $\frac{GH}{AB}=\frac{3\cdot2a^2}{(3a)^2}=\frac23<\frac34$.

נסמן $s=a+b$, $p=ab$. לפי סעיף ב: $\frac{3p}{s^2}=\frac{120}{169}$, כלומר $p=\frac{40}{169}s^2$.

לפי משפט הקוסינוסים: $a^2+b^2-ab=s^2-3p=49$. מציבים: $s^2-\frac{120}{169}s^2=\frac{49}{169}s^2=49$, ולכן $s=13$ ו-$p=40$.

$a$ ו-$b$ הם פתרונות של $t^2-13t+40=0$: $t=8$ או $t=5$. נתון $AC>BC$, ולכן $AC=8$, $BC=5$.

$GH=\frac{120}{169}\cdot7=\frac{840}{169}$. המעגל חוסם את המשולש $CGH$, שבו $\angle GCH=60^\circ$. לפי משפט הסינוסים המורחב:

טעות נפוצה: להניח (כמו במשולש ישר זווית) ש-$GH$ קוטר ולענות $R=\frac{GH}{2}=\frac{420}{169}\approx2.49$ - הזווית ב-$C$ היא $60^\circ$, ולכן $GH$ אינו קוטר.

המשולש ABD שווה שוקיים ($AB=AD=k$), וזוויות הבסיס שלו $\angle ABD=\angle ADB=\alpha$. הגובה מ-A חוצה את הבסיס BD, ובמשולש ישר הזווית שנוצר הצלע $\frac{BD}{2}$ צמודה לזווית $\alpha$:

במשולש CDB ($CB=CD$): $\angle CBD=\angle CDB=2\alpha$, ולכן $\angle BCD=180^\circ-4\alpha$.

לפי משפט הסינוסים:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{BD}{2}=k\sin\alpha$ (כאילו $\alpha$ היא חצי זווית הראש) ולקבל $R_{CDB}=\frac{k\sin\alpha}{\sin4\alpha}$; כאן $\alpha$ היא זווית בסיס, והצלע $\frac{BD}{2}$ צמודה לה.

במשולש ABD הצלע AB מול הזווית $\angle ADB=\alpha$, ולפי משפט הסינוסים:

היחס בין הרדיוסים:

נתון שהיחס הוא $\frac65$:

הזווית BAD היא זווית הראש של המשולש ABD:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $2\cos2\alpha=\frac56$; אז $\cos2\alpha=\frac5{12}$, $2\alpha\approx65.38^\circ$, ומקבלים $\angle BAD\approx114.62^\circ$.

מ-$\cos2\alpha=\frac35$: $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$, ולכן $\sin^2\alpha=\frac15$, $\sin\alpha=\frac1{\sqrt5}$, $\cos\alpha=\frac2{\sqrt5}$, ו-$\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{4/5}{3/5}=\frac43$.

O נמצא על האנך האמצעי של BD, כלומר על ציר הסימטריה AC, ו-$AO=R_{ABD}=\frac{k}{2\sin\alpha}=\frac{\sqrt5}{2}k$. (הזווית A קהה, ולכן O נמצא מעבר ל-BD, בתוך המשולש CDB.)

$AE\parallel BD\perp AC$, ולכן המשולש AOE ישר זווית ב-A.

חישוב AE: D נמצאת במרחק $k\cos\alpha=\frac{2k}{\sqrt5}$ מהציר AC ובגובה $k\sin\alpha=\frac{k}{\sqrt5}$ מעל הישר AE. הקטע DE (המשך CD) יוצר עם הישר AE זווית $2\alpha$ (קודקודית ל-$\angle CDB$, ו-$AE\parallel BD$), ולכן ההיטל האופקי שלו הוא $\frac{k\sin\alpha}{\tan2\alpha}=\frac{k}{\sqrt5}\cdot\frac34=\frac{3k}{4\sqrt5}$.