מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך - שאלון 571

מציבים $n=1,2,3$ ומשתמשים במחזוריות ובזהות $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$:

$a_1=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12$

$a_2=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$

$a_3=\sin\left(3\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12$

טעות נפוצה: "להשמיט" את $n\pi$ כאילו הוא מחזור של סינוס, ולקבל $a_1=a_2=a_3=\frac12$ - המחזור של סינוס הוא $2\pi$, ותוספת של $\pi$ הופכת את הסימן.

לפי א(1) האיברים מתחלפים: $a_n=-\frac12$ עבור $n$ אי-זוגי ו-$a_n=\frac12$ עבור $n$ זוגי (תוספת $2\pi$ לא משנה את הערך).

כל זוג עוקב $a_{2k-1}+a_{2k}=-\frac12+\frac12=0$.

$2019=2\cdot1009+1$: ב-2018 האיברים הראשונים יש 1009 זוגות שסכומם 0, ונשאר האיבר $a_{2019}$ ($n$ אי-זוגי).

טעות נפוצה: לחלק את 2019 לזוגות בלי לשים לב שהוא אי-זוגי, ולקבל סכום $0$ - נשאר איבר בודד $a_{2019}=-\frac12$.

גרף א הוא היחיד שיש לו אסימפטוטה אופקית שאינה ציר ה-$x$, והוא יורד בכל אחד מהענפים. אם הוא $f$, הנגזרת שלו שלילית בכל התחום.

גרף ג שלילי בכל התחום - מתאים ל-$f'$ של גרף א.

גרף ג: משמאל לאסימפטוטה האנכית הוא יורד אל $-\infty$, ומימינה עולה מ-$-\infty$ אל 0. לכן הנגזרת שלו שלילית משמאל וחיובית מימין - בדיוק גרף ב. לכן $f''$ הוא גרף ב.

בדיקה: גרף ב אינו יכול להיות $f'$ של גרף א - גרף א יורד בשני הענפים, וגרף ב חיובי מימין לאסימפטוטה.

טעות נפוצה: להתאים את $f'$ לגרף ב כי הוא "דומה בצורתו" לגרף א, ומכאן $f''$ = גרף ג - אבל גרף א יורד בשני הענפים, ולכן $f'$ חייבת להיות שלילית בכל התחום, וגרף ב חיובי מימין.

$a_1=1+2=3=b_1$.

$a_2=4+4=8$. לפי כלל הנסיגה עם $n=1$: $b_2=b_1+2\cdot1+3=3+5=8$. לכן $a_2=b_2$.

$b_3=b_2+2\cdot2+3=8+7=15$, $b_4=b_3+2\cdot3+3=15+9=24$.

$a_4=16+8=24$. לכן $a_4=b_4$.

טעות נפוצה: לחשב את $b_2$ עם $n=2$ בכלל הנסיגה ($b_2=b_1+2\cdot2+3=10$) ולהסיק ש-$a_2\neq b_2$ - האיבר $b_{n+1}$ מחושב מ-$b_n$, ולכן $b_2$ מתקבל עם $n=1$.

מוכיחים באינדוקציה ש-$b_n=n^2+2n$.

בסיס: $b_1=3=1^2+2\cdot1$.

הנחה: עבור $n=k$ מתקיים $b_k=k^2+2k$.

צעד: לפי כלל הנסיגה עם $n=k$:

ומצד שני $(k+1)^2+2(k+1)=k^2+2k+1+2k+2=k^2+4k+3$. השוויון מתקיים.

לכן לפי עקרון האינדוקציה $b_n=n^2+2n=a_n$ לכל $n$ טבעי - הסדרות זהות.

טעות נפוצה: בצעד להשתמש בכלל הנסיגה עם $n=k+1$, כלומר $b_{k+1}=b_k+2(k+1)+3=k^2+4k+5$, ולהסיק שהסדרות אינן זהות - הכלל מקשר את $b_{k+1}$ ל-$b_k$ עם המספר $k$.

התחום של $g$ זהה לתחום של $f$, ולכן סימטרי.

$g(-x)=f(-x)+1=f(x)+1=g(x)$ (כי $f$ זוגית).

לכן $g$ זוגית. (גרפית: הזזה אנכית שומרת על הסימטריה ביחס לציר ה-$y$.)

טעות נפוצה: לחשוב שהוספת קבוע "מקלקלת" זוגיות ולענות ש-$g$ אינה זוגית - זה נכון לאי-זוגיות, לא לזוגיות: הזזה אנכית לא משנה את הסימטריה סביב ציר ה-$y$.

$h$ היא הזזה של $f$ יחידה אחת שמאלה, ולכן ציר הסימטריה שלה הוא $x=-1$ ולא ציר ה-$y$.

דוגמה נגדית: $f(x)=x^2$ זוגית, $h(x)=(x+1)^2$.

$h(1)=4$ ו-$h(-1)=0$, ולכן $h(-1)\neq h(1)$ ו-$h$ אינה זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $h(-x)=f(-x+1)=f(x+1)=h(x)$ - הזוגיות של $f$ מאפשרת להחליף סימן של כל הארגומנט: $f(-x+1)=f(x-1)$, לא $f(x+1)$.

תחום ההגדרה של $k$: כל $x$ שבו $f(x)\ge0$. אם $x$ בתחום, אז $f(-x)=f(x)\ge0$, ולכן גם $-x$ בתחום - התחום סימטרי.

$k(-x)=\sqrt{f(-x)}=\sqrt{f(x)}=k(x)$.

לכן $k$ זוגית.

טעות נפוצה: לבלבל בין $\sqrt{f(x)}$ ל-$\sqrt{x}$ ולטעון שהשורש מוגדר רק עבור $x\ge0$, ולכן התחום לא סימטרי ו-$k$ אינה זוגית - התנאי הוא $f(x)\ge0$, והוא סימטרי.

$\sphericalangle ALC=\sphericalangle ABC=60^\circ$ - זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AC$.

$\sphericalangle CDB=\sphericalangle CAB=60^\circ$ - זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $CB$.

$LC\parallel BD$, ולכן $\sphericalangle LCD+\sphericalangle CDB=180^\circ$ (זוויות חד-צדדיות בין מקבילים), כלומר $\sphericalangle LCD=120^\circ$.

$\sphericalangle ALC+\sphericalangle LCD=60^\circ+120^\circ=180^\circ$ - זוויות חד-צדדיות משלימות, ולכן $LA\parallel CD$, כלומר $LE\parallel CD$.

ב-$LEDC$ שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ($LC\parallel ED$, $LE\parallel CD$), ולכן הוא מקבילית.

טעות נפוצה: להסיק $LE\parallel CD$ מכך ש-$\sphericalangle ALC=\sphericalangle CDB=60^\circ$ כאילו הן זוויות מתאימות - הן אינן נמצאות על אותו חותך; צריך לעבור דרך $\sphericalangle LCD=120^\circ$ ולהראות זוויות חד-צדדיות משלימות.

$\sphericalangle ADE=\sphericalangle ADB=\sphericalangle ACB=60^\circ$ - זוויות היקפיות על הקשת $AB$.

במקבילית $LEDC$ הזוויות הנגדיות שוות: $\sphericalangle LED=\sphericalangle LCD=120^\circ$.

$A$, $E$, $L$ על ישר אחד, ולכן $\sphericalangle AED=180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

במשולש $ADE$ שתי זוויות של $60^\circ$, ולכן גם השלישית $60^\circ$ - המשולש שווה צלעות.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$\sphericalangle DAE=\sphericalangle DAL=60^\circ$ "כי היא נשענת על קשת של המשולש" - הזווית $DAL$ נשענת על הקשת $DL$, שתלויה במיקום של $D$; את הזווית השלישית מקבלים מסכום הזוויות.

$\sphericalangle CDE=\sphericalangle CDB=60^\circ$, ולכן המשולש $CDE$ שווה צלעות אם ורק אם $DC=DE$.

לפי ב(1) $DE=DA$, ולכן התנאי הוא $DC=DA$ - כלומר $D$ אמצע הקשת $AC$ (מיתרים שווים נשענים על קשתות שוות).

הנתונים לא קובעים את מיקום $D$ על הקשת (בציור $D$ קרובה יותר ל-$A$, ו-$DC\neq DA$), ולכן לא ניתן להסיק זאת בוודאות.

טעות נפוצה: להסיק ש-$CDE$ שווה צלעות כי $\sphericalangle CDE=60^\circ$ - זווית אחת של $60^\circ$ לא מספיקה; במשולש $CDE$ שבציור הזוויות $C$ ו-$E$ שונות.

$\sphericalangle BDC=60^\circ$, ולכן המשולש $BCD$ ישר זווית רק אם $\sphericalangle BCD=90^\circ$ או $\sphericalangle CBD=90^\circ$.

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן צריך ש-$BD$ או $CD$ יהיו קוטר - זה לא נתון.

בציור, למשל, $\sphericalangle BCD\approx83.5^\circ$ ו-$\sphericalangle CBD\approx36.5^\circ$ - המשולש אינו ישר זווית. לכן לא ניתן להסיק זאת בוודאות.

טעות נפוצה: להסיק ש-$\sphericalangle BCD=90^\circ$ כי $BD$ "נראה" כמו קוטר בציור - בציור $\sphericalangle BCD\approx83.5^\circ$, ו-$BD$ אינו עובר דרך המרכז; מסקנה בוודאות צריכה לנבוע מהנתונים בלבד.

אם $BD$ קוטר, הוא עובר דרך המרכז $O$. במשולש שווה צלעות הקוטר מ-$B$ מאונך ל-$AC$ וחוצה את הקשת $AC$, ולכן $D$ אמצע הקשת $AC$.

הקשת $AD$ היא חצי מהקשת $AC$ (שהיא $120^\circ$), כלומר $60^\circ$, ולכן המיתר $AD$ שווה לרדיוס: $AD=R$.

לפי ב(1) המשולש $ADE$ שווה צלעות, ולכן $DE=AD=R$.

$E$ על הקוטר $DB$ במרחק $R$ מ-$D$ - זו בדיוק נקודת המרכז $O$.

לכן $E$ היא מרכז המעגל. במשולש שווה צלעות זו גם נקודת המפגש של התיכונים, הגבהים וחוצי הזוויות.

טעות נפוצה: לזהות את $E$ עם נקודת החיתוך של הקוטר $BD$ עם הצלע $AC$ (אמצע $AC$), כי "הקוטר מ-$B$ חוצה את $AC$" - $E$ נמצאת על $AL$ ולא על $AC$; אמצע $AC$ נמצא במרחק $\frac{R}{2}$ מהמרכז, ואילו $E$ היא המרכז עצמו.

במשולש $ACD$ הזווית $C$ ישרה, ו-$CM$ הוא התיכון ליתר $AD$. התיכון ליתר שווה למחצית היתר: $CM=\frac{AD}{2}$.

במשולש $ADB$: $M$ אמצע $AD$ ו-$E$ אמצע $AB$, ולכן $ME$ קטע אמצעים: $ME\parallel DB$ ו-$ME=\frac{DB}{2}$.

נתון $AD=DB$, ולכן $ME=\frac{DB}{2}=\frac{AD}{2}=CM$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$ME$ הוא קטע אמצעים המקביל ל-$AC$ ולכתוב $ME=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt7}{2}x\approx1.32x$ - הקטע מחבר את אמצעי $AD$ ו-$AB$, ולכן הוא מקביל לצלע השלישית $DB$ ושווה $2x$.

$CD=\frac34DB=3x$ ו-$AD=DB=4x$.

במשולש ישר הזווית $ACD$: $\cos\sphericalangle ADC=\frac{CD}{AD}=\frac{3x}{4x}=\frac34$, ולכן $\sphericalangle ADC\approx41.41^\circ$.

המשולש $ADB$ שווה שוקיים ($AD=DB$), ולכן $\sphericalangle DAB=\sphericalangle ABC$. $\sphericalangle ADC$ היא זווית חיצונית שלו, ולכן שווה לסכום שתי הזוויות שאינן צמודות לה:

טעות נפוצה: לבלבל בין הניצב שליד הזווית לניצב שמולה ולכתוב $\sin\sphericalangle ADC=\frac34$, ומקבלים $\sphericalangle ADC\approx48.59^\circ$ ו-$\sphericalangle ABC\approx24.30^\circ$.

המשולש $ADB$ שווה שוקיים ו-$DE$ תיכון לבסיס $AB$, ולכן הוא גם גובה: $DE\perp AB$, כלומר $\sphericalangle AED=90^\circ$.

$\sphericalangle ACD=90^\circ$ (נתון).

במרובע $ACDE$ הזוויות הנגדיות $C$ ו-$E$ משלימות ל-$180^\circ$, ולכן הוא בר חסימה במעגל. הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לבדוק את סכום הזוויות הסמוכות $C$ ו-$D$ במקום הנגדיות: $\sphericalangle ACD+\sphericalangle CDE\approx90^\circ+110.70^\circ=200.70^\circ\neq180^\circ$, ולהסיק שהמרובע לא בר חסימה.

במרובע קמור ניתן לחסום מעגל אם ורק אם סכומי זוגות הצלעות הנגדיות שווים.

$CM=ME=\frac{4x}{2}=2x$ (סעיף א), $DC=3x$.

$AC=\sqrt{(4x)^2-(3x)^2}=\sqrt7x$, $BC=7x$, $AB=\sqrt{7x^2+49x^2}=\sqrt{56}x$, ולכן $EB=\frac{\sqrt{56}}{2}x=\sqrt{14}x$.

במשולש ישר הזווית $DEB$: $ED=\sqrt{(4x)^2-14x^2}=\sqrt2x$.

$CM+ED=(2+\sqrt2)x\approx3.41x$, ואילו $ME+DC=2x+3x=5x$. הסכומים שונים, ולכן אי אפשר לחסום מעגל במרובע $CMED$. הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: לנמק "$CM=ME$, ולכן $CMED$ דלתון, ובכל דלתון אפשר לחסום מעגל" ולענות שהטענה נכונה - בדלתון צריך גם $ED=DC$, וכאן $\sqrt2x\neq3x$.

$AC=\sqrt7x$, $BC=CD+DB=7x$.

$DB=4x=6$.

$S_{ADB}=\frac{DB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot\frac32\sqrt7}{2}=\frac{9\sqrt7}{2}\approx11.91$ (הגובה מ-$A$ לבסיס $DB$ הוא $AC$).

טעות נפוצה: לשכוח את החצי בנוסחת השטח: $\sqrt7x\cdot7x=\frac{63\sqrt7}{8}$, ומקבלים $x^2=\frac98$ ו-$DB=4x=3\sqrt2\approx4.24$.

נסמן: $S$ - האדם חולה, $+$ - הבדיקה מאבחנת אותו כחולה. $P(S)=0.001$, $P(+|S)=0.98$, $P(+|\bar S)=0.04$.

$P(S\cap+)=0.001\cdot0.98=0.00098$.

$P(\bar S\cap+)=0.999\cdot0.04=0.03996$.

$P(+)=0.00098+0.03996=0.04094$.

כלומר רק כ-$2.4\%$ מהמאובחנים כחולים אכן חולים - רוב התוצאות החיוביות הן טעויות אצל בריאים, כי הבריאים רבים מאוד.

טעות נפוצה: לענות $0.98$ - זו ההסתברות שחולה יאובחן כחולה, $P(+|S)$, ולא ההסתברות שמי שאובחן כחולה אכן חולה, $P(S|+)$.

כל אחד מהנבדקים בריא בהסתברות $0.999$, באופן בלתי תלוי באחרים.

טעות נפוצה: לחשב את המאורע המשלים "לפחות אחד חולה": $1-0.999^5\approx0.00499$ - השאלה היא על כך שכולם בריאים.

אדם מאובחן כבריא אם הוא בריא והבדיקה צודקת, או חולה והבדיקה מחטיאה:

חמישה נבדקים בלתי תלויים: $P=0.95906^5\approx0.8114$.

טעות נפוצה: לקחת רק את הבריאים שאובחנו נכון ולחשב $0.96^5\approx0.8154$ - זה מתעלם מכך שהנבדקים אינם בהכרח בריאים (ולכן צריך $0.999\cdot0.96$), וגם מהחולים שהבדיקה מחטיאה.

באוכלוסייה כזו $P(S)=0$, ולכן $P(S\cap+)=0$.

כל אבחון חיובי הוא טעות של הבדיקה אצל אדם בריא ($P(+)=0.04>0$).

טעות נפוצה: לענות $0.04$ - זו ההסתברות שבריא יאובחן כחולה, $P(+|\bar S)$; ההסתברות שהמאובחן חולה היא 0, כי אין בכלל חולים.

$f$ זוגית, ולכן הגרף שלה בתחום $0<x<7$ הוא שיקוף ביחס לציר ה-$y$: אפסים ב-$x=\pm1$ ו-$x=\pm5$, מקסימום ב-$(\pm3,4)$, מינימום ב-$(0,-1)$, ו-$f(\pm7)=-4$. גם $\frac1f$ זוגית.

אסימפטוטות אנכיות: איפה ש-$f=0$ - $x=-5$, $x=-1$, $x=1$, $x=5$.

סימן: $\frac1f$ באותו סימן כמו $f$: שלילית ב-$(-7,-5)$, $(-1,1)$, $(5,7)$ וחיובית ב-$(-5,-1)$, $(1,5)$.

מונוטוניות הפוכה ל-$f$ (בכל קטע שבו $f\neq0$): כש-$f$ עולה, $\frac1f$ יורדת, ולהפך.

ב-$x=\pm3$ ל-$f$ מקסימום חיובי $4$, ולכן ל-$\frac1f$ מינימום: $\left(\pm3,\frac14\right)$.

ב-$x=0$ ל-$f$ מינימום שלילי $-1$, ולכן ל-$\frac1f$ מקסימום: $(0,-1)$.

התנהגות: ב-$(-7,-5)$ $\frac1f$ יורדת מ-$-\frac14$ (ליד $x=-7$) אל $-\infty$; ב-$(-5,-3)$ יורדת מ-$+\infty$ אל $\frac14$; ב-$(-3,-1)$ עולה מ-$\frac14$ אל $+\infty$; ב-$(-1,0)$ עולה מ-$-\infty$ אל $-1$; ובאופן סימטרי ל-$x>0$.

התחום חסום, ולכן אין אסימפטוטות אופקיות.

טעות נפוצה: להעתיק את סוג הקיצון מ-$f$ ולכתוב שב-$\left(-3,\frac14\right)$ יש מקסימום - כשמחלקים 1 במספר חיובי, ערך גדול של $f$ נותן ערך קטן של $\frac1f$, ולכן המקסימום של $f$ הוא מינימום של $\frac1f$.