בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2023 מועד ב'

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $\frac A2$, אגף ימין $A\left(1-\frac12\right)=\frac A2$. שווים.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac A2+\ldots+\frac A{2^k}=A\left(1-\frac1{2^k}\right)$.

שלב הצעד: נוכיח עבור $n=k+1$. הסכום עבור $k+1$ הוא הסכום עבור $k$ ועוד האיבר $\frac A{2^{k+1}}$:

$\frac1{2^k}=\frac2{2^{k+1}}$, ולכן:

זו הטענה עבור $n=k+1$. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

(דרך אחרת: זה סכום של סדרה הנדסית עם $a_1=\frac A2$ ו-$q=\frac12$: $S_n=\frac{\frac A2\left(1-\frac1{2^n}\right)}{1-\frac12}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$.)

טעות נפוצה: להוסיף בצעד את $\frac A{2^k}$ (שכבר נמצא בסכום) במקום $\frac A{2^{k+1}}$, לקבל $A\left(1-\frac1{2^k}\right)+\frac A{2^k}=A$, ו"להסיק" שהנוסחה לא נכונה.

$OD$ הוא רדיוס לנקודת ההשקה $D$ של המשיק $CE$, ולכן $OD\perp CE$: $\angle ODE=90^\circ$.

$AE$ משיק למעגל ב-$A$ ו-$OA$ רדיוס, ולכן $\angle OAE=90^\circ$.

במרובע $AODE$ הקודקודים $A$ ו-$D$ נגדיים, וסכום הזוויות בהם $90^\circ+90^\circ=180^\circ$. מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ הוא בר-חסימה.

טעות נפוצה: לחבר זוויות סמוכות, כמו $\angle OAE+\angle AOD$, ולדרוש שסכומן יהיה $180^\circ$ - במרובע $AODE$ הקודקודים הנגדיים הם $A$ ו-$D$ (וגם $O$ ו-$E$).

$AB=2R$ ו-$B$ אמצע $AC$, ולכן $BC=2R$, $OC=3R$, $AC=4R$.

במשולש $ODC$ ($\angle ODC=90^\circ$): $CD=\sqrt{(3R)^2-R^2}=2\sqrt2R$.

$EA$ ו-$ED$ שני משיקים מהנקודה $E$, ולכן $EA=ED$. נסמן $EA=ED=x$; אז $CE=2\sqrt2R+x$.

משפט פיתגורס במשולש $CAE$ ($\angle CAE=90^\circ$):

המעגל החוסם את $AODE$: הזוויות ב-$A$ וב-$D$ ישרות ונשענות על $OE$, ולכן $OE$ קוטר שלו.

הרדיוס: $\frac{\sqrt3}2R$.

טעות נפוצה: לענות $\sqrt3R$ - זה אורך הקוטר $OE$, לא הרדיוס.

תחומי הגדרה: $f$ ו-$k$ מוגדרות עבור $x\ge-2$. $h$: $x(x+2)\ge0$ כאשר $x\le-2$ או $x\ge0$ - שני קטעים נפרדים.

רק בגרף ג יש שני ענפים נפרדים, ולכן $h$ מתוארת בגרף ג.

$f(x)=\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x+2}=|x|\sqrt{x+2}\ge0$ בכל התחום, וחיובית בין $-2$ ל-0. הגרף שאינו יורד מתחת לציר ה-$x$ ויש לו "גבעה" משמאל לראשית: גרף ד.

$k(x)=x\sqrt{x+2}$ שלילית עבור $-2<x<0$ וחיובית עבור $x>0$. השיפוע שלה בראשית: $k'(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}$, $k'(0)=\sqrt2\neq0$ - הגרף חוצה את הראשית באלכסון. זה גרף א (בגרף ב הגרף שטוח בראשית).

טעות נפוצה: לפשט $\sqrt{x^2}=x$, לחשוב ש-$f$ ו-$k$ הן אותה פונקציה, ולשייך את $f$ לגרף א.

הגרף הנותר הוא גרף ב: מוגדר עבור $x\ge-2$, שלילי בקטע $-2<x<0$, חיובי עבור $x>0$, ושטוח (משיק אופקי) בראשית.

$\sqrt{x+2}>0$ עבור $x>-2$, ולכן הסימן של $g(x)$ הוא הסימן של $x^n$. $x^n<0$ עבור $x<0$ רק כאשר $n$ אי-זוגי (כאשר $n$ זוגי $g(x)\ge0$ בכל התחום, כמו בגרף ד).

$g'(x)=nx^{n-1}\sqrt{x+2}+\frac{x^n}{2\sqrt{x+2}}$, ועבור $n\ge2$ מתקיים $g'(0)=0$ - הגרף שטוח בראשית, כמו בגרף ב. (עבור $n=1$ זו הפונקציה $k$ של גרף א, אבל נתון $n>1$.)

לכן הגרף הנותר מתאר את $g(x)$ לכל $n$ אי-זוגי, $n\ge3$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את $n=3$ ולענות "$n=3$" - כל חזקה אי-זוגית $n\ge3$ נותנת גרף מאותה צורה.

לפי הגרף $f$ עולה עבור $x<0$ ויורדת עבור $x>0$, ולכן $f'>0$ עבור $x<0$ ו-$f'<0$ עבור $x>0$.

$f$ קעורה כלפי מעלה בכל התחום, ולכן $f'$ עולה בכל אחד מהקטעים.

כאשר $x\to\pm\infty$ הגרף של $f$ מתקרב לאסימפטוטה $y=2$ ונעשה כמעט אופקי, ולכן $f'\to0$: לגרף של $f'$ אסימפטוטה $y=0$.

ליד $x=0$ הגרף של $f$ תלול מאוד: משמאל הוא עולה ל-$+\infty$ ($f'\to+\infty$), ומימין יורד מ-$+\infty$ ($f'\to-\infty$). $x=0$ אסימפטוטה אנכית של $f'$.

סקיצה (לדוגמה):

טעות נפוצה: לסרטט את $f'$ עם אסימפטוטה $y=2$, כמו של $f$ - השיפוע של $f$ שואף ל-0, ולכן האסימפטוטה האופקית של $f'$ היא $y=0$.

$f$ קעורה כלפי מעלה בכל התחום, כלומר $f''(x)>0$. $f''$ היא הנגזרת של $f'$, ולכן $f'$ עולה בכל אחד מהקטעים $x<0$ ו-$x>0$, ואין לה תחומי ירידה.

(אלה שני קטעים נפרדים: $x=0$ אינו בתחום, ו-$f'$ "קופצת" שם מ-$+\infty$ ל-$-\infty$.)

טעות נפוצה: לכתוב ש-$f'$ יורדת עבור $x>0$ כי $f$ יורדת שם - הירידה של $f$ אומרת ש-$f'<0$, לא ש-$f'$ יורדת.

(3): $\int_a^{a+1}f'(x)dx=f(a+1)-f(a)$. $a>0$ ו-$f$ יורדת עבור $x>0$, ולכן $f(a+1)<f(a)$ - הביטוי (3) שלילי.

$f$ יורדת עבור $x>0$ ומתקרבת ל-2, ולכן $f(x)>2$ לכל $x>0$.

(2): השטח מתחת לגרף בקטע באורך 1 שבו $f>2$ גדול מ-$2\cdot1$: $\int_{a+1}^{a+2}f(x)dx>2$.

(1) לעומת (2): הקטע $[a+1,a+2]$ הוא הקטע $[a,a+1]$ מוזז ימינה ב-1, ו-$f$ יורדת: לכל $x$ בקטע $[a,a+1]$ מתקיים $f(x)>f(x+1)$. לכן השטח מעל $[a,a+1]$ גדול יותר: (1) > (2).

הסדר: $(3)<(4)<(2)<(1)$.

טעות נפוצה: להחליף בין (1) ל-(2), כאילו $f$ עולה עבור $x>0$, ולקבל את הסדר 3, 4, 1, 2.

האיברים האמצעיים הם $a_{n+1},a_{n+2},\ldots,a_{2n}$: לפניהם $n$ איברים ואחריהם $n$ איברים.

גם הם סדרה חשבונית בת $n$ איברים, ולכן:

בסדרה חשבונית, אם סכום המקומות של שני איברים שווה לסכום המקומות של שני איברים אחרים, גם סכומי האיברים שווים. כאן $(n+1)+2n=1+3n$, ולכן $a_{n+1}+a_{2n}=a_1+a_{3n}$.

(בדיקה: $a_{n+1}+a_{2n}=\left(a_1+nd\right)+\left(a_1+(2n-1)d\right)=2a_1+(3n-1)d=a_1+a_{3n}$.)

טעות נפוצה: לקחת כאיברים האמצעיים את $a_n,\ldots,a_{2n-1}$ ולקבל $S_n^*=\frac n2\left(a_n+a_{2n-1}\right)=\frac13S_{3n}-nd$ - לפני $a_n$ יש רק $n-1$ איברים.

לפי סעיף א, $S_{3n}=3S_n^*=3\cdot0=0$.

$a_1>0$, ולכן $a_{3n}<0<a_1$: האיבר האחרון קטן מהאיבר הראשון, ולכן הסדרה יורדת וההפרש שלילי.

(אלגברית: $a_{3n}-a_1=(3n-1)d=-2a_1<0$, ו-$3n-1>0$, ולכן $d<0$.)

טעות נפוצה: להסיק מ-$S_n^*=0$ רק ש-$a_{n+1}=-a_{2n}$, לא לקשר זאת ל-$a_1$, ולענות שאי אפשר לקבוע את סימן ההפרש.

לפי סעיף ב $d<0$, ולכן $|d|=-d$, ו-$a_1=-19d$.

לפי סעיף ב גם $S_{3n}=0$:

מחלקים ב-$d\neq0$: $-38+3n-1=0$, כלומר $3n=39$.

בסדרה 39 איברים.

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה עבור $n$ ולענות 13 - אבל מספר האיברים בסדרה הוא $3n=39$.

בסדרה החדשה המקומות עולים ב-3, ולכן זו סדרה חשבונית שהפרשה $3d$.

לפי סעיף ג $3n=39$, ולכן האיבר האחרון בסדרה החדשה הוא $a_{3n-4}=a_{35}$.

מספר האיברים: המקום של האיבר ה-$k$ בסדרה החדשה הוא $2+3(k-1)$, ו-$2+3(k-1)=35$ נותן $k=12$.

(מתאים לסעיף ב: $d<0$. אז $a_1=57$.)

טעות נפוצה: לספור את האיברים כ-$\frac{35-2}3=11$ (בלי להוסיף 1) ולקבל $\frac{11}2\cdot(-3d)=54$, כלומר $d=-\frac{36}{11}\approx-3.27$.

נסמן: $H$ - המנוי גר בחיפה, $T$ - המנוי גר בתל אביב, $B$ - המנוי קיבל את העיתון בזמן.

$P(H)=p$ ו-$P(B|H)=\frac23$, ולכן $P(H\cap B)=\frac23p$.

נתון $P(H|B)=\frac57$, כלומר $\frac{P(H\cap B)}{P(B)}=\frac57$, ולכן $P(B)=\frac{\frac23p}{\frac57}=\frac{14}{15}p$.

כל מנוי גר בחיפה או בתל אביב, ולכן $P(T\cap B)=P(B)-P(H\cap B)=\frac{14}{15}p-\frac{10}{15}p=\frac4{15}p$.

לפי הנתון $P(T\cap\bar B)=1.5\cdot\frac4{15}p=\frac25p$.

לכן $P(T)=P(T\cap B)+P(T\cap\bar B)=\frac4{15}p+\frac6{15}p=\frac23p$.

מצד שני $P(T)=1-p$, ולכן $1-p=\frac23p$, כלומר $p=\frac35$.

$P(B)=\frac{14}{15}\cdot\frac35=\frac{14}{25}=0.56$, כלומר $56\%$ מן המנויים קיבלו את העיתון בזמן.

$P(\bar B)=1-0.56=0.44$.

$P(H\cap\bar B)=p-\frac23p=\frac13\cdot\frac35=0.2$, ו-$P(T\cap\bar B)=\frac25\cdot\frac35=0.24$.

מבין המנויים שלא קיבלו את העיתון בזמן: $P(T|\bar B)=\frac{0.24}{0.44}=\frac6{11}$ ו-$P(H|\bar B)=\frac{0.2}{0.44}=\frac5{11}$.

מספר המנויים גדול מאוד, ולכן הבחירה של המנוי הראשון כמעט אינה משנה את ההרכב, והבחירות בלתי תלויות:

$P=\frac6{11}\cdot\frac5{11}=\frac{30}{121}\approx0.248$.

כל אחד מ-6 המנויים שהתקשרו לא קיבל את העיתון בזמן, ולכן הוא גר בחיפה בהסתברות $\frac5{11}$. מספר המנויים גדול מאוד, ולכן אפשר להתייחס לכך כאל 6 ניסויי ברנולי בלתי תלויים.

"לכל היותר 4" הוא המשלים של "5 או 6":

$P=1-\binom65\left(\frac5{11}\right)^5\cdot\frac6{11}-\left(\frac5{11}\right)^6=1-\frac{112500}{1771561}-\frac{15625}{1771561}=\frac{1643436}{1771561}\approx0.928$.

$\angle BCE=\angle CDE$: הזווית בין המשיק $BC$ למיתר $CE$ שווה לזווית ההיקפית $CDE$ שנשענת על אותה קשת $CE$.

$\angle CEB=\angle DCE$: זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים $CD$ ו-$EB$ (הישר $EB$ הוא הישר $EA$), עם החותך $CE$.

לכן $\Delta CEB\sim\Delta DCE$ (ז.ז.), בהתאמה $C\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לנמק את $\angle BCE=\angle CDE$ כ"זוויות מתחלפות" - $BC$ אינו מקביל ל-$DE$; השוויון נובע מהמשפט על זווית בין משיק למיתר.

טרפז החסום במעגל הוא שווה-שוקיים (מיתרים מקבילים חוסמים קשתות שוות, $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DA}$, ולכן $CE=DA$). לכן $CDAE$ טרפז שווה-שוקיים.

$\angle KEA=\angle DEA$ ו-$\angle KAE=\angle CAE$ הן זוויות היקפיות על הקשתות השוות $DA$ ו-$CE$, ולכן הן שוות, והמשולש $KEA$ שווה-שוקיים: $KE=KA=3$.

$KD=ED-KE=7-3=4$.

למשולשים $CKD$ ו-$CKE$ קודקוד משותף $C$, והבסיסים $KD$ ו-$KE$ על אותו ישר $ED$ - יש להם אותו גובה מ-$C$. לכן:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\frac{KE}{KD}$, ולקבל $\frac34S$.

לפי סעיף א $\Delta CEB\sim\Delta DCE$, והצלע $CB$ מתאימה לצלע $DE$. יחס הדמיון:

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\frac{25}{32}$.

$S_{DCE}=S_{CKE}+S_{CKD}=S+\frac43S=\frac73S$.

טעות נפוצה: להכפיל ביחס הדמיון עצמו ולא בריבועו: $\frac5{\sqrt{32}}\cdot\frac73S\approx2.06S$.

$\angle CKE$ היא זווית חיצונית למשולש $KEA$, ולכן $\angle CKE=\angle KEA+\angle KAE$.

לפי סעיף ב $\angle KEA=\angle KAE=\angle CAE$, ולכן $\angle CKE=2\angle CAE$.

$\angle COE$ היא זווית מרכזית ו-$\angle CAE$ זווית היקפית, ושתיהן נשענות על הקשת $CE$, ולכן $\angle COE=2\angle CAE$.

מכאן $\angle COE=\angle CKE$.

(דרך אחרת: $\angle CKE=\frac12\left(\overset{\frown}{CE}+\overset{\frown}{DA}\right)$, והקשתות שוות כי $CD\parallel EA$; לכן $\angle CKE$ שווה לקשת $CE$, כמו הזווית המרכזית.)

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\angle CKE$ היא "זווית היקפית" על הקשת $CE$ ולכתוב $\angle CKE=\frac12\angle COE$ - הקודקוד $K$ נמצא בתוך המעגל, לא עליו.

$\angle COE=2\angle CAE=90^\circ$ (זווית מרכזית והיקפית על הקשת $CE$), ולפי סעיף ד גם $\angle CKE=90^\circ$.

הנקודות $O$ ו-$K$ "רואות" את הקטע $CE$ בזווית ישרה. קודקוד של זווית ישרה שנשענת על קטע נמצא על המעגל שהקטע הוא קוטר שלו.

לכן $O$ ו-$K$ נמצאות על המעגל שקוטרו $CE$, וכך גם $C$ ו-$E$: ארבע הנקודות על מעגל אחד.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle COE=\angle CAE=45^\circ$ (לשכוח שהזווית המרכזית כפולה מההיקפית) - ואז הנימוק של זווית ישרה לא עובד.

$\angle CDE$ היא זווית חיצונית למרובע החסום ABCD, ולכן היא שווה לזווית הפנימית שמולה: $\angle ABC=\alpha$.

טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים, ולכן גם $\angle DAB=\angle ABC=\alpha$.

במשולש ABC: $\angle CAB=180^\circ-\alpha-60^\circ=120^\circ-\alpha$.

הנקודות B, C, E על ישר אחד, ולכן $\angle ACE$ צמודה ל-$\angle ACB$: $\angle ACE=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

סכום הזוויות במשולש ACE:

(בדיקה: במשולש ABE שתי זוויות הבסיס שוות $\alpha$, ולכן גם משם $\angle E=180^\circ-2\alpha$.)

טעות נפוצה: להפעיל את המשפט "זוויות נגדיות במרובע חסום משלימות" על הזווית החיצונית ולכתוב $\angle ABC=180^\circ-\alpha$; אז $\angle CAB=\alpha-60^\circ$ ומקבלים $\angle EAC=240^\circ-2\alpha$.

במשולש ABC, לפי משפט הסינוסים (הזווית שמול AC היא $\angle ABC=\alpha$):