בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2023 מועד מיוחד

נסמן $\angle DAB=\alpha$.

במקבילית $AD\parallel BC$, ו-$F$ על המשך $AB$ מעבר ל-$B$. לכן $\angle HBF=\angle DAB=\alpha$ (זוויות מתאימות).

$E$ על המשך $AB$ מעבר ל-$A$, ולכן $\angle GAE$ צמודה ל-$\angle DAB$: $\angle GAE=180^\circ-\alpha$.

לזוויות משלימות אותו סינוס: $\sin\angle GAE=\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\sin\angle HBF$.

משפט הסינוסים המורחב, בכל משולש עם הצלע שמול הזווית שבחרנו:

מחלקים את השוויונות: $\frac{R_{HBF}}{R_{GEA}}=\frac45$.

טעות נפוצה: להפוך את סדר היחס ולענות $5:4$ - היחס המבוקש מתחיל ברדיוס של המשולש $HBF$, שהצלע שמול הזווית שלו היא $HF=4$.

$\angle HBF=\angle DAB$ - זוויות מתאימות ($AD\parallel BC$), כמו בסעיף הקודם.

המרובע $ABHD$ חסום במעגל. הנקודות $D$, $H$, $F$ על ישר אחד, ולכן $\angle BHF$ היא זווית חיצונית של המרובע בקודקוד $H$.

זווית חיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה: $\angle BHD+\angle DAB=180^\circ$ (זוויות נגדיות) וגם $\angle BHD+\angle BHF=180^\circ$ (צמודות), ולכן $\angle BHF=\angle DAB$.

מכאן $\angle HBF=\angle BHF$.

נתון $BH=FH$, ולכן במשולש שווה השוקיים $HBF$: $\angle HBF=\angle HFB$ (זוויות הבסיס).

שלוש הזוויות של המשולש $HBF$ שוות, כל אחת $60^\circ$, ולכן הוא שווה צלעות.

טעות נפוצה: לכתוב שזוויות נגדיות במרובע חסום שוות ($\angle BHD=\angle DAB$). אז $\angle BHF=180^\circ-\angle HBF$, וסכום שתי זוויות במשולש $HBF$ כבר $180^\circ$ - סתירה. במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות זו את זו.

כל בחירה היא ניסוי בלתי תלוי; 'הצלחה' = גבר, $p=0.2$.

ביטוי 1: $0.2^4$ היא ההסתברות שכל הארבעה גברים, ו-$0.8^4$ שכל הארבע נשים. $1-0.2^4-0.8^4$ היא ההסתברות של המשלים של 'כולם מאותו מין', כלומר לפחות גבר אחד ולפחות אישה אחת - הסתברות III.

ביטוי 2: לפי נוסחת ברנולי $\binom43\cdot0.2^3\cdot0.8$ היא ההסתברות לבדיוק 3 גברים (ואישה אחת), ו-$0.2^4$ ל-4 גברים. יחד: 3 או 4 גברים מתוך 4, כלומר יותר גברים מנשים - הסתברות I.

(הסתברות II - יותר נשים מגברים - היא $\binom41\cdot0.2\cdot0.8^3+0.8^4$, ואף אחד מהביטויים אינו מחשב אותה.)

טעות נפוצה: לקרוא את $0.2^3\cdot0.8$ כ'שלוש נשים וגבר אחד' ולהתאים את ביטוי 2 להסתברות II - אבל 0.2 היא ההסתברות לגבר, ולכן $0.2^3$ מתאר שלושה גברים.

$f''$ היא הנגזרת של $f'$. לכן בכל נקודת קיצון של $f'$ הנגזרת השנייה מתאפסת ומחליפה סימן, ובתחום שבו $f'$ עולה $f''$ חיובית.

לגרף I נקודות קיצון ב-$x\approx-0.6$ (מינימום), ב-$x\approx0.4$ (מקסימום) וב-$x=1$ (מינימום). גרף II חותך את ציר ה-$x$ בדיוק בשלוש הנקודות האלה.

גם הסימנים מתאימים: משמאל ל-$-0.6$ גרף I יורד וגרף II שלילי; בין $-0.6$ ל-$0.4$ גרף I עולה וגרף II חיובי; בין $0.4$ ל-1 גרף I יורד וגרף II שלילי.

בכיוון ההפוך זה לא מתאים: לגרף II יש קיצון ליד $x\approx-0.2$ וליד $x\approx0.7$, ושם גרף I אינו מתאפס.

לכן גרף I הוא $f'(x)$ וגרף II הוא $f''(x)$.

טעות נפוצה: לחפש את אפסי גרף I (ב-$-1$, ב-0 וב-1) כנקודות קיצון של גרף II, לא למצוא התאמה, ולהסיק בטעות שגרף II הוא $f'$ וגרף I הוא $f''$. הכלל הוא בכיוון ההפוך: קיצון של $f'$ הוא אפס של $f''$.

נסמן ב-$c$ ($c\approx0.4$) את נקודת החיתוך של גרף II עם ציר ה-$x$ בין 0 ל-1.

השטח ברביע הראשון: $S_1=\int_0^c f''(x)\,dx$ (שם $f''\ge0$). השטח ברביע הרביעי: $S_2=-\int_c^1 f''(x)\,dx$ (שם $f''\le0$).

$f'$ היא פונקציה קדומה של $f''$, ולכן:

לפי גרף I (הגרף של $f'$): $f'(0)=0$, כי הגרף עובר בראשית, ו-$f'(1)=0$, כי הגרף משיק לציר ה-$x$ ב-$x=1$.

לכן $S_1-S_2=0$, כלומר $S_1=S_2$.

טעות נפוצה: להציב את גבולות האינטגרל בגרף II עצמו - $f''(1)-f''(0)$, שהוא מספר שלילי (גרף II חיובי ב-0 ומתאפס ב-1) - ולהסיק שהשטחים שונים. את האינטגרל של $f''$ מחשבים לפי ערכי הקדומה שלה, $f'$.

זוויות הראש של המשולשים: $\alpha,\ \frac{\alpha}{2},\ \frac{\alpha}{4},\dots$ - סדרה הנדסית אין-סופית עם $a_1=\alpha$ ו-$q=\frac12$.

$|q|<1$, ולכן הסדרה מתכנסת, וסכומה:

($120^\circ<180^\circ$, ולכן יש משולש עם זווית ראש כזו.)

טעות נפוצה: לסכם רק את שתי הזוויות שבסרטוט, $\alpha+\frac{\alpha}{2}=240^\circ$, ולקבל $\alpha=160^\circ$.

נסמן את רדיוס המעגל ב-$R$. שטח משולש ששוקיו $R$ וזווית הראש שלו $\theta$ הוא $S=\frac12R^2\sin\theta$.

זוויות הראש: $120^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ,\dots$

$\frac{S_2}{S_1}=1$, אבל $\frac{S_3}{S_2}=\frac{1}{\sqrt3}\approx0.577$. המנות של איברים עוקבים אינן שוות, ולכן השטחים אינם סדרה הנדסית.

טעות נפוצה: להסיק שהזווית קטנה פי 2 ולכן גם השטח קטן פי 2, ולענות 'כן, $q=\frac12$' - השטח תלוי ב-$\sin\theta$, שאינו פרופורציוני לזווית.

מחסרים שני איברים עוקבים של B:

ב-A, בין $a_t$ ל-$a_{t+2}$ יש שני הפרשים: $a_{t+2}-a_t=2d$.

לכן $b_{t+1}-b_t=\frac{2d}{2}=d$ - מספר קבוע שאינו תלוי ב-$t$. מכאן ש-B סדרה חשבונית שהפרשה $d$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{t+2}-a_t=d$ (הפרש אחד במקום שניים) ולענות שההפרש של B הוא $\frac{d}{2}$.

סכום סדרה חשבונית הוא מספר האיברים כפול ממוצע האיבר הראשון והאחרון:

$b_1=\frac{a_1+a_2}{2}$ ו-$b_{2n-1}=\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{2}$, ולכן:

בסדרה חשבונית, סכום שני איברים שמרחקם מהקצוות שווה הוא קבוע: $a_2+a_{2n-1}=(a_1+d)+(a_{2n}-d)=a_1+a_{2n}$.

לכן $b_1+b_{2n-1}=a_1+a_{2n}$, ושני הצדדים שווים ל-$\frac{a_1+a_{2n}}{2}$.

טעות נפוצה: לכתוב $b_{2n-1}=\frac{a_{2n}+a_{2n+1}}{2}$ (להזיז את האינדקס) - איבר $a_{2n+1}$ לא קיים בסדרה, ומקבלים $b_1+b_{2n-1}=a_1+a_{2n}+d$, שלא מוביל לשוויון.

$S_A-S_B=220$, ולכן $S_B\ne0$ (אחרת גם $S_A=0$). מחלקים את השוויון שבסעיף ב:

לפי הנתון $\frac{S_A}{S_B}=\frac{66}{65}$:

טעות נפוצה: לזהות את 66 כ-$n$ ולענות $n=66$ - 66 הוא מספר האיברים בסדרה A, כלומר $2n$.

מציבים $S_A=\frac{66}{65}S_B$ במשוואה $S_A-S_B=220$:

ב-A יש 66 איברים, והאמצעיים הם $a_{33}$ ו-$a_{34}$. מרחקם מהקצוות שווה, ולכן $a_{33}+a_{34}=a_1+a_{66}$.

טעות נפוצה: לחלק את $S_A$ במספר האיברים ולענות 220 - זה ממוצע האיברים, כלומר חצי מסכום שני האיברים האמצעיים.

בונים עץ דו-שלבי: במבחן הראשון הצלחה ($P$) או כישלון ($1-P$); ההסתברויות במבחן השני תלויות בתוצאת הראשון.

'בדיוק מבחן אחד' הוא שני מסלולים: הצליח בראשון ונכשל בשני, או נכשל בראשון והצליח בשני:

נתון $P>0.5$, ולכן $P=0.65$. (ההסתברויות במבחן השני: $P+0.1=0.75$, $P-0.4=0.25$.)

טעות נפוצה: בענף של מי שנכשל בראשון לקחת את ההסתברות להיכשל גם בשני, $(1-P)\big(1-(P-0.4)\big)$. אז $P(0.9-P)+(1-P)(1.4-P)=1.4-1.5P=0.25$, ומקבלים $P\approx0.77$.

הצליח בשניהם: $0.65\cdot0.75=0.4875$.

נכשל בשניהם: $0.35\cdot(1-0.25)=0.35\cdot0.75=0.2625$.

הצליח לפחות באחד - המשלים של 'נכשל בשניהם': $1-0.2625=0.7375$.

מי שהתקבל הצליח בשני המבחנים, ובפרט לפחות באחד - המאורע 'התקבל' מוכל במאורע המתנה, והחיתוך הוא 'התקבל' עצמו:

טעות נפוצה: לחשב 'נכשל בשניהם' כ-$0.35^2$, כאילו המבחנים בלתי תלויים - אז 'לפחות אחד' הוא $0.8775$ והתשובה $\frac{0.4875}{0.8775}=\frac59$.

לכל מועמד שלוש תוצאות: התקבל (0.4875), נכשל בשני המבחנים (0.2625), הצליח בדיוק באחד (0.25).

המועמדים בלתי תלויים. סידור אחד, למשל שני הראשונים התקבלו והשלישי נכשל בשניהם: $0.4875^2\cdot0.2625$.

המועמד שנכשל יכול להיות כל אחד מהשלושה - 3 סידורים בעלי אותה הסתברות:

טעות נפוצה: לשכוח את 3 הסידורים ולענות $0.4875^2\cdot0.2625\approx0.0624$.

הסתברות שמועמד התקבל: $0.4875=\frac{39}{80}$; שלא התקבל: $1-\frac{39}{80}=\frac{41}{80}$.

המאורע המשלים ל'לפחות אחד התקבל וגם לפחות אחד לא התקבל' הוא 'כולם התקבלו' או 'אף אחד לא התקבל' (שני מאורעות זרים):

טעות נפוצה: לקחת כ'לא התקבל' את 'נכשל בשני המבחנים' (0.2625) ולכתוב $1-0.4875^n-0.2625^n$ - מי שהצליח רק באחד המבחנים גם לא התקבל.

$AB$ משיק למעגל ב-$F$, ו-$FG$ מיתר. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני שלו: $\angle AFG=\angle FHG$.

$GH\parallel AB$, ו-$FG$ חותך את שני הישרים: $\angle AFG=\angle FGH$ (זוויות מתחלפות).

לכן $\angle FGH=\angle FHG$, ובמשולש $FGH$ מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות: $FG=FH$.

טעות נפוצה: להסתפק בזוויות המתחלפות ($\angle AFG=\angle FGH$) ולהסיק מהן ש-$FG=FH$ - זה נותן רק זווית אחת במשולש $FGH$. את הזווית השנייה נותן משפט הזווית בין משיק למיתר.

לפי סעיף א המיתרים $FG$ ו-$FH$ שווים, ולכן הזוויות ההיקפיות הנשענות עליהם שוות: $\angle GCF=\angle FCH$.

יחד הן הזווית $\angle ACB=90^\circ$, ולכן $\angle ACF=\angle GCF=45^\circ$.

טעות נפוצה: לבלבל בין זווית היקפית לזווית מרכזית - הקשת $GF$ היא רבע מעגל ($90^\circ$, כי $GH$ קוטר ו-$F$ אמצע הקשת $GH$) - ולענות $\angle ACF=90^\circ$. זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת: $45^\circ$.

$\angle GCF=\angle FCB=45^\circ$ (סעיף ב(1)).

$\angle CFB$ היא זווית בין המשיק $FB$ למיתר $FC$. היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $FC$ מהצד השני שלו - מהנקודה $G$: $\angle CFB=\angle CGF$.

(אפשר גם לפרק: $\angle CFB=\angle CFH+\angle HFB$, כאשר $\angle CFH=\angle CGH$ - היקפיות על $CH$, ו-$\angle HFB=\angle HGF$ - משיק ומיתר $FH$; ביחד $\angle CGH+\angle HGF=\angle CGF$.)

שתי זוויות שוות, ולכן $\Delta GFC\sim\Delta FBC$ (ז.ז.), בהתאמה $G\leftrightarrow F$, $F\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: להשוות את $\angle CFB$ לזווית ההיקפית $\angle CHF$ - $H$ נמצאת על הקשת שבתוך הזווית, ובמרובע החסום $\angle CHF=180^\circ-\angle CGF$, כך שהשוויון הזה שגוי.

$FE$ מכיל את הרדיוס לנקודת ההשקה $F$, ולכן $FE\perp AB$: $\angle EFB=90^\circ$.

גם $\angle ECB=\angle ACB=90^\circ$.

הנקודות $F$ ו-$C$ רואות את הקטע $EB$ בזווית ישרה, ולכן שתיהן על המעגל שקוטרו $EB$ (זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר) - המרובע $EFBC$ חסום במעגל.

במעגל הזה $\angle FEB$ ו-$\angle FCB$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $FB$, ולכן $\angle FEB=\angle FCB$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle FEB=\angle FCB$ כי שתיהן 'נשענות על $FB$' במעגל הנתון - $E$ ו-$B$ אינן על המעגל הנתון; צריך קודם להראות שיש מעגל אחר שעובר דרך $E$, $F$, $B$ ו-$C$.

לפי משפט הזווית בין משיק למיתר: הזווית בין המשיק $BD$ למיתר $BA$ שווה לזווית ההיקפית שנשענת על הקשת $AB$ מהצד השני, כלומר $\angle ACB=\angle ABD=\alpha$.

הקרן $BA$ נמצאת בין $BD$ ל-$BC$, ולכן $\angle ABC=\angle DBC-\angle ABD=120^\circ-\alpha$.

סכום הזוויות במשולש $ABC$: $\angle BAC=180^\circ-\alpha-(120^\circ-\alpha)=60^\circ$.

משפט הסינוסים המורחב במשולש $ABC$ (כל צלע שווה ל-$2R$ כפול הסינוס של הזווית שמולה):

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 במשפט הסינוסים המורחב ולכתוב $AB=R\sin\alpha$, $BC=\frac{\sqrt3}{2}R$.

למשולשים $BDC$ ו-$BDA$ יש גובה משותף מהקודקוד $B$ לישר $DC$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים: $\frac{DC}{DA}=1.8$.

המשולשים $DBA$ ו-$DCB$ דומים (ז.ז): הזווית $D$ משותפת, ו-$\angle DBA=\angle DCB=\alpha$ (סעיף א).

מהדמיון: $\frac{DA}{DB}=\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{BC}$. מכפילים את שני היחסים הראשונים:

(זה גם יחס השטחים של שני משולשים דומים - ריבוע יחס הדמיון.)

מציבים: $\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{1}{1.8}=\frac59$, ולכן $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt5}{3}$. לפי סעיף א:

מכאן $\alpha\approx40.20^\circ$ או $\alpha\approx139.80^\circ$. במשולש $BDA$ הזווית $\angle BAD=180^\circ-60^\circ=120^\circ$, ולכן $\alpha<60^\circ$ והפתרון הקהה נפסל.

$\alpha\approx40.20^\circ$.

טעות נפוצה: להשוות את יחס הצלעות $\frac{AB}{BC}$ ישירות ל-$\frac{1}{1.8}$ (בלי ריבוע), ולקבל $\sin\alpha\approx0.481$, כלומר $\alpha\approx28.76^\circ$.

זוויות המשולש $BDA$: $\angle ABD=\alpha\approx40.20^\circ$, $\angle BAD=180^\circ-\angle BAC=120^\circ$, ולכן $\angle BDA=180^\circ-120^\circ-\alpha\approx19.80^\circ$.

$AB=2R\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{3}R\approx1.2910R$. משפט הסינוסים במשולש $BDA$:

שטח המשולש: $S=\frac12\cdot AB\cdot BD\cdot\sin\alpha\approx1.3754R^2$. חצי ההיקף: $p=\frac{AB+BD+AD}{2}\approx3.5263R$.

רדיוס המעגל החסום הוא השטח חלקי חצי ההיקף:

$0.3901R=6$, ולכן $R\approx15.38$.

טעות נפוצה: לחלק את השטח בהיקף כולו במקום בחצי ההיקף, ולקבל $r\approx0.195R$ ו-$R\approx30.76$.