מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 1 ברמת בגרות

המוקדים על ציר ה-$x$: $a^2=16$, $a=4$, ו-$c^2=16-b^2$. המוקדים $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$, והנקודה $D_1(0,b)$.

צלעות המשולש: $F_1F_2=2c$, ו-$D_1F_1=D_1F_2=\sqrt{c^2+b^2}$.

$c^2+b^2=a^2$, ולכן $D_1F_1=a=4$ (זה נכון בכל אליפסה: הקודקוד שעל הציר הקטן נמצא במרחק $a$ מכל מוקד).

משולש שווה-צלעות:

טעות נפוצה: להשוות $F_1F_2$ ל-$D_1D_2$ (כלומר $c=b$) - זה תנאי לריבוע, לא למשולש שווה-צלעות. כאן משווים את הבסיס $2c$ לשוק $D_1F_1$.

האלכסונים של המרובע הם $F_1F_2$ (על ציר ה-$x$) ו-$D_1D_2$ (על ציר ה-$y$); הם מאונכים, ולכן השטח הוא מחצית מכפלתם.

$F_1F_2=2c=4$, $D_1D_2=2b=4\sqrt3$:

בדיקה: המרובע מורכב משני משולשים שווי-צלעות בעלי צלע 4: $2\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot16=8\sqrt3$.

טעות נפוצה: לכתוב $D_1D_2=b$ במקום $2b$ - הנקודות $(0,b)$ ו-$(0,-b)$ רחוקות זו מזו $2b$.

האליפסה: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$, $a=4$, $c=2$, $F_1(-2,0)$.

$E$ נמצאת בין $F_1$ ל-$M$ על אותו ישר, ולכן:

(השתמשנו בנתון $EM=EF_2$.) לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים מהמוקדים קבוע:

כל נקודה $M$ נמצאת במרחק 8 מ-$F_1$, ולהפך - לכל נקודה במרחק 8 מ-$F_1$ הקרן מ-$F_1$ חותכת את האליפסה ב-$E$ שמקיימת $EM=8-EF_1=EF_2$. המקום הגאומטרי הוא המעגל:

טעות נפוצה: לכתוב $(x-2)^2+y^2=64$ - המרכז הוא המוקד השמאלי $F_1(-2,0)$, ובמשוואה מופיע $x-(-2)=x+2$.

הזזה ימינה ב-2 מביאה את המרכז $(-2,0)$ לראשית:

כפל שיעור ה-$y$ ב-$\frac34$: נקודה $(x_0,y_0)$ עוברת ל-$(X,Y)$ עם $X=x_0$, $Y=\frac34y_0$, ולכן $y_0=\frac43Y$.

מציבים במשוואת המעגל:

מחלקים ב-64:

העקום החדש הוא אליפסה שמרכזה בראשית, $a=8$ על ציר ה-$x$ ו-$b=6$ על ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: להכפיל את $y$ במשוואה ב-$\frac34$ ($x^2+\frac{9}{16}y^2=64$) - כך מתקבלת אליפסה שנמתחה ל-$b=\frac{32}{3}$ במקום שתתכווץ ל-6.

נקודות החיתוך של $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ עם ציר ה-$y$: $(0,6)$ ו-$(0,-6)$. הבסיס קבוע, ואורכו 12.

הבסיס נמצא על ציר ה-$y$, ולכן הגובה מהקודקוד השלישי $(x_0,y_0)$ הוא המרחק שלו מציר ה-$y$, $|x_0|$:

על האליפסה $x_0^2=64\left(1-\frac{y_0^2}{36}\right)\le64$, ולכן $|x_0|\le8$, עם שוויון בקודקודים $(\pm8,0)$.

טעות נפוצה: לקחת את הגובה כ-$|y_0|$ כמו כשהבסיס על ציר ה-$x$ - כשהבסיס אנכי, הגובה הוא המרחק האופקי $|x_0|$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{ON}=\frac45\overrightarrow{AE}$ בלי $\overrightarrow{OA}$ - זה הווקטור מ-$A$ ל-$N$, ולא מ-$O$.

נחפש $\lambda$ כך ש-$\vec{O'K}=\lambda\vec{O'N}$: מהמקדם של $\underline u$, $\frac12=\frac{\lambda}{5}$, ולכן $\lambda=\frac52$. בדיקה במקדם של $\underline w$: $\frac52\cdot\left(-\frac25\right)=-1$ ✓.

הווקטורים מקבילים ויוצאים מאותה נקודה $O'$, ולכן $K$, $N$, $O'$ על ישר אחד, ו-$O'K:O'N=5:2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{O'K}=\frac12\underline u+\frac12\underline v$ (לשכוח את $-\vec{OO'}$): אז במקדם של $\underline w$ מתקבל $0\neq\frac52\cdot\left(-\frac25\right)$, ומסיקים בטעות שהנקודות אינן על ישר אחד.

$B(0,b,0)$, $O'(0,0,h)$:

$\underline u=(8,0,0)$, $\underline v=(0,6,0)$, $\underline w=(0,0,8)$, ולפי $\overrightarrow{ON}=\frac15\underline u+\frac15\underline v+\frac35\underline w$:

טעות נפוצה: להציב $\frac b4=6$ ו-$\frac{3h}4=1.5$ (לערבב בין השיעורים): $b=24$, $h=2$, ומתקבלים $B(0,24,0)$ ו-$N(1.6,\ 4.8,\ 1.2)$. השיעור השני של $E$ קשור ל-$B$, והשלישי ל-$O'$.

$A'(8,0,8)$, $B'(0,6,8)$, $K(4,3,0)$.

$\vec{A'B'}=(-8,6,0)$, $\vec{A'K}=(-4,3,-8)$. נורמל $(p,q,r)$: $-8p+6q=0$ ו-$-4p+3q-8r=0$.

מהראשונה $q=\frac43p$, ואז $-4p+4p-8r=0\Rightarrow r=0$. $\underline n=(3,4,0)$.

$3x+4y+d=0$ דרך $A'$: $24+d=0$.

טעות נפוצה: להציב את $O'(0,0,8)$ במקום $B'$: מ-$\vec{A'O'}=(-8,0,0)$ ו-$\vec{A'K}$ מתקבל המישור $8y+3z-24=0$. הקודקוד $B'$ הוא $(0,6,8)$, מעל $B$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$\sqrt{3+4}$ ולקבל $\frac{14.4}{\sqrt7}\approx5.44$. המכנה הוא אורך הנורמל, $\sqrt{3^2+4^2}=5$.

$A'B'=\sqrt{64+36}=10$. אמצע $A'B'$ הוא $(4,3,8)$, ו-$K(4,3,0)$ בדיוק מתחתיו, לכן הגובה מ-$K$ ל-$A'B'$ הוא 8.

טעות נפוצה: לקחת את $KA'=\sqrt{89}$ כגובה המשולש: $S=5\sqrt{89}$ ו-$V=4.8\sqrt{89}\approx45.28$. $KA'$ אינו מאונך ל-$A'B'$; הגובה יורד מ-$K$ לאמצע $A'B'$ כי המשולש שווה-שוקיים.

$1=cis\,0^\circ$, ובחילוק מחלקים מודולים ומחסרים ארגומנטים:

טעות נפוצה: לכתוב את המודול $r$ במקום $\frac1r$ (כלומר לחשב את $\bar w$) - הצמוד הופך רק את הארגומנט, וההופכי הופך גם את המודול.

$OA=r$, $OB=\frac1r$, ולכן $OA\cdot OB=1$.

$A$ ברביע הרביעי (ארגומנט $\theta$), ו-$B$ ברביע הראשון (ארגומנט $360^\circ-\theta$, בין $0^\circ$ ל-$90^\circ$). שתי הנקודות סימטריות ביחס לכיוון החיובי של הציר הממשי, וכל אחת במרחק זוויתי $360^\circ-\theta$ ממנו:

$\angle AOB=60^\circ$ או $120^\circ$; הזווית חדה, ולכן $60^\circ$:

טעות נפוצה: לבחור את $120^\circ$ ולקבל $\theta=300^\circ$ - גם הוא בתחום, ולכן רק הנתון על הזווית החדה מכריע.

משוואה I: $w^6=r^6\,cis(6\theta)$, ולכן:

עם $\theta=330^\circ$ הארגומנטים: $330^\circ,30^\circ,90^\circ,150^\circ,210^\circ,270^\circ$ - כולם מהצורה $30^\circ+60^\circ m$.

משוואה II: $w\bar w=|w|^2=r^2$, ולכן $z^6=r^6$:

אין ארגומנט משותף, ולכן יש $6+6=12$ קודקודים.

טעות נפוצה: לחלק את $360^\circ$ ב-12 כבר בשלב פתרון משוואה אחת - כל משוואה ממעלה 6 נותנת 6 פתרונות במרווחים של $60^\circ$.

לפתרונות של I מודול $\sqrt[6]{r^6}=r$, ולפתרונות של II מודול $\sqrt[6]{(r^2)^3}=r$.

כולם במרחק $r$ מהראשית - על המעגל $|z|=r$.

טעות נפוצה: לחשב את המודול של פתרונות II כ-$\sqrt[6]{r^2}$ - צריך להעלות קודם בחזקה 3: $(r^2)^3=r^6$.

הארגומנטים של 12 הקודקודים הם כל הכפולות של $30^\circ$, והם על מעגל ברדיוס $r$ - מצולע משוכלל בן 12 צלעות.

12 משולשים מרכזיים, בכל אחד שתי צלעות $r$ וזווית $30^\circ$:

טעות נפוצה: לחשב שטח של משושה (6 משולשים עם זווית $60^\circ$) - כך מתעלמים מפתרונות אחת המשוואות.

$e^x$ ו-$e^{2x}$ מוגדרות לכל $x$, ולכן $f$ מוגדרת לכל $x$.

טעות נפוצה: לענות $x>0$ - זה תחום של $\ln x$, לא של $e^x$.

כאשר $x\to\infty$, $f\to\infty$. כאשר $x\to-\infty$, $f\to\frac m6$.

לכן $\frac m6=-2$, ו-$m=-12$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$: $\frac{1-4+m}{6}=-2$ ולקבל $m=-9$.

$f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x-12}{6}$. $f(0)=\frac{1-4-12}{6}=-\frac52$.

$u=e^x$: $u^2-4u-12=0$, $(u-6)(u+2)=0$; $u=-2$ נפסל, $e^x=6$, $x=\ln6$.

הנקודות: $\left(0,-\frac52\right)$, $(\ln6,0)$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $f(0)=-2$, כלומר $(0,-2)$.

$f'=0$ כאשר $e^x=2$, $x=\ln2$; משמאל $f'<0$, מימין $f'>0$ - מינימום.

$f(\ln2)=\frac{4-8-12}{6}=-\frac83$.

טעות נפוצה: לפתור $2e^x=4$ כ-$e^x=\frac12$ ולקבל נקודה $\left(-\ln2,-\frac{55}{24}\right)$.

$f(x)+2=\frac{e^{2x}-4e^x}{6}=\frac{e^x(e^x-4)}{6}<0$ עבור $x<\ln4$: משמאל הגרף מתחת ל-$y=-2$.

$0<\ln2\approx0.69$, ולכן $\left(0,-2.5\right)$ על החלק היורד. אחרי המינימום $(0.69,-2.67)$ הגרף עולה, חוצה את $y=-2$ ב-$\ln4$, את ציר ה-$x$ ב-$\ln6\approx1.79$, ועולה לאינסוף.

טעות נפוצה: לשרטט את הענף השמאלי מעל $y=-2$ - הביטוי $f+2$ שלילי שם.

$g$ מוגדרת כאשר $f(x)\ne0$, כלומר $x\ne\ln6$.

טעות נפוצה: לענות "כל $x$" ולשכוח שהמכנה $f(x)$ מתאפס.

אנכית: $x=\ln6$, שם $f\to0$.

$x\to-\infty$: $g\to\frac1{-2}+\frac12=0$: $y=0$.

$x\to\infty$: $\frac1f\to0$, $g\to\frac12$: $y=\frac12$.

טעות נפוצה: לכתוב בצד $-\infty$ את $y=\frac{1}{-2}=-\frac12$, בלי להוסיף את $\frac12$.

$g'=-\frac{f'}{f^2}$: $g$ עולה ב-$x<\ln2$, יורדת ב-$\ln2<x<\ln6$ וב-$x>\ln6$.

מקסימום: $g(\ln2)=-\frac38+\frac12=\frac18$. $g(0)=-\frac25+\frac12=\frac1{10}$.

$g=0\iff f=-2\iff e^x(e^x-4)=0\iff x=\ln4$.

$x\to-\infty$: $f<-2$, ולכן $g\to0$ מלמעלה. ליד $\ln6$: משמאל $g\to-\infty$, מימין $g\to+\infty$. כאשר $x\to\infty$, $g\to\frac12$ מלמעלה.