מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 2 ברמת בגרות

$a^2=25k^2$, $b^2=9k^2$, ולכן $a=5k$, $b=3k$.

האליפסה חותכת את החלק החיובי של ציר ה-$x$ ב-$(5k,0)$, ולכן הרדיוס $r=5k-4k=k$.

טעות נפוצה: לחשב $c^2=a^2+b^2=34k^2$ (כמו בהיפרבולה), כלומר מוקד ב-$(\sqrt{34}k,0)$ ומעגל $(x-\sqrt{34}k)^2+y^2=(\sqrt{34}-5)^2k^2$. באליפסה $c^2=a^2-b^2$.

$B(0,3k)$.

$D$ על המעגל, ולכן $DF=r=k$, ו-$BD=BF-DF=5k-k=4k$.

טעות נפוצה: לחשב את $BF$ כ-$a+c=9k$, ולקבל $BD=8k$ והיחס $8:1$. $BF$ הוא יתר במשולש ישר-זווית עם ניצבים $c$ ו-$b$, ולכן $\sqrt{b^2+c^2}=a=5k$.

$D$ נמצאת $\frac45$ מהדרך מ-$B$ ל-$F$:

בדיקה: $(3.2k-4k)^2+(0.6k)^2=0.64k^2+0.36k^2=k^2$.

טעות נפוצה: לחלק ביחס $\frac14$ מ-$B$ ולקבל $(k,2.25k)$ - היחס $4:1$ אומר ש-$D$ קרובה ל-$F$, ארבע חמישיות מהדרך מ-$B$.

שיפוע הרדיוס $FD$:

המשיק מאונך לרדיוס, ולכן שיפועו $\frac43$:

טעות נפוצה: לכתוב את משוואת הרדיוס $FD$ (שיפוע $-\frac34$) במקום המשיק: $3x+4y-12k=0$. המשיק הוא הישר המאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

הצלע המקבילה: $-4x+3y+c=0$, במרחק 12 מהמשיק:

$B(0,3k)$ בתוך הריבוע, ולכן בין שני הישרים. ב-$B$: $-4x+3y=9k$. על המשיק $-4x+3y=-11k$, ועל הישר השני $-4x+3y=-c$.

עבור $c=11k+60$: $-c=-11k-60<-11k<9k$ - $B$ לא בין הישרים.

עבור $c=11k-60$: $-c=60-11k$, ו-$-11k<9k<60-11k$ כש-$k<3$ - $B$ בין הישרים.

טעות נפוצה: לבחור את הצד הלא נכון של המשיק, $c=11k+60$, ולקבל $-4x+3y+11k+60=0$. בדיקה עם $B(0,3k)$ מראה ש-$B$ אינה בין המשיק לישר הזה.

$B$ היא מרכז הריבוע, ולכן מרחקה מהמשיק הוא חצי צלע: 6.

$k=1.5<3$, כנדרש בסעיף ד.

טעות נפוצה: להשוות את המרחק לצלע כולה, $4k=12$, ולקבל $k=3$ - ואז $B$ הייתה על הצלע הנגדית, לא במרכז.

מישורים שאינם נחתכים הם מקבילים (או מתלכדים), ואז הנורמלים שלהם מקבילים.

$\underline n_1=(k-2,1,k-3)$, $\underline n_2=(k+1,1,1)$. אם $\underline n_1=t\underline n_2$, הרכיב השני נותן $t=1$, והרכיב הראשון:

סתירה. לכן לכל $k$ הנורמלים אינם מקבילים, והמישורים נחתכים בישר.

טעות נפוצה: לבדוק רק את היחס בין הרכיבים הראשונים ולפתור $\frac{k-2}{k+1}=\frac{k-3}{1}$ - צריך שכל שלושת היחסים יהיו שווים, והרכיב השני (1 ו-1) כבר קובע שהיחס הוא 1.

$\ell_1$ מוכל בשני המישורים, ולכן וקטור הכיוון שלו מאונך לשני הנורמלים; וקטור הכיוון של $\ell_2$, $\underline u=(-1,k,k)$, מקביל אליו ולכן מאונך גם הוא לשניהם.

ב-$k=1$ גם הביטוי הזה מתאפס ✓. ($k=2$ מאפס רק את התנאי הראשון ונפסל.)

$k=1$.

טעות נפוצה: לפתור רק $k^2-3k+2=0$ ולהשאיר את $k=2$ - עבורו $\underline u=(-1,2,2)$ ו-$\underline u\cdot\underline n_2=1\ne0$, כלומר הישר אינו מקביל ל-$\pi_2$.

ב-$k=1$: $\pi_1: -x+y-2z+3=0$, $\pi_2: 2x+y+z-9=0$.

כיוון: $(-1,1,1)$ (בדיקה: $1+1-2=0$ ו-$-2+1+1=0$).

נקודה: מציבים $x=0$:

מחסרים את הראשונה מהשנייה: $3z=12$, $z=4$, $y=5$. הנקודה $(0,5,4)$.

טעות נפוצה: לקחת את נקודת המוצא של $\ell_2$, $(2,0,5)$, כנקודה על $\ell_1$ - הישרים מקבילים, לא מתלכדים: $(2,0,5)$ אמנם מקיימת את $\pi_2$ ($4+0+5-9=0$), אבל לא את $\pi_1$ ($-2+0-10+3=-9\ne0$).

$\underline n_1=(-1,1,-2)$, $\underline n_2=(2,1,1)$:

טעות נפוצה: לשכוח את הערך המוחלט ולקבל $\cos\alpha=-\frac12$, כלומר $120^\circ$ - הזווית בין מישורים היא תמיד חדה (או ישרה).

במישור $[yz]$: $x=0$. על $\ell_1$: $-t=0$, $t=0$, ולכן $P(0,5,4)$.

$A$: על ציר ה-$y$, $x=z=0$, ב-$\pi_1$: $y+3=0$, $A(0,-3,0)$.

$B$: $x=z=0$ ב-$\pi_2$: $y-9=0$, $B(0,9,0)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ כדי למצוא חיתוך עם ציר ה-$y$ - על ציר ה-$y$ מתאפסים דווקא $x$ ו-$z$.

שלוש הנקודות עם $x=0$, ולכן המשולש במישור $[yz]$.

$AB=9-(-3)=12$ על ציר ה-$y$, והגובה מ-$P$ לציר ה-$y$ הוא $|z_P|=4$.

טעות נפוצה: לחשב את $AB$ כ-$9-3=6$ - צריך את ההפרש בין השיעורים, $9-(-3)$.

נסמן $w=z-i$: $w^2=3+4i$. נציב $w=x+yi$:

$x^2-y^2=3$, $2xy=4$ (כלומר $xy=2$), ו-$x^2+y^2=|3+4i|=5$.

$2x^2=8$, $x^2=4$; $2y^2=2$, $y^2=1$. $xy>0$, ולכן $w=2+i$ או $w=-2-i$.

$z=w+i$: $z_1=2+2i$, $z_2=-2$.

טעות נפוצה: לשכוח להוסיף את $i$ ולענות $z=\pm(2+i)$ - אלה הערכים של $z-i$.

החלקים הממשיים: $2$ ו-$-2$, ולכן $a_1=-2$, $a_2=2$.

I: $|z-(-2i)|=2$ - מעגל שמרכזו $(0,-2)$ ורדיוסו 2.

II: $|z-2i|=2$ - מעגל שמרכזו $(0,2)$ ורדיוסו 2.

כל מרכז רחוק מהראשית בדיוק רדיוס אחד, ולכן שני המעגלים עוברים בראשית ומשיקים שם לציר הממשי (וזה לזה).

טעות נפוצה: לסרטט מעגלים שמרכזיהם $(-2,0)$ ו-$(2,0)$ על הציר הממשי - המרכזים הם $ia_1=-2i$ ו-$ia_2=2i$.

נקודה על הישר $y=-x$: $z=x-xi$.

מעגל I, $x^2+(y+2)^2=4$: $x^2+(-x+2)^2=4$, $2x^2-4x=0$, ולכן $x=0$ או $x=2$: $2-2i$.

מעגל II, $x^2+(y-2)^2=4$: $x^2+(-x-2)^2=4$, $2x^2+4x=0$, ולכן $x=0$ או $x=-2$: $-2+2i$.

$w\cdot\overline w=|w|^2$, ולשתי הנקודות $|w|^2=4+4=8$. לכן $z^3=8\cdot8=64=64\,\mathrm{cis}\,0^\circ$.

$z_0=4$, $z_1=4\,\mathrm{cis}\,120^\circ=-2+2\sqrt3i$, $z_2=4\,\mathrm{cis}\,240^\circ=-2-2\sqrt3i$.

טעות נפוצה: לכתוב $w\cdot\overline w=|w|=2\sqrt2$, לקבל $z^3=8$ ולענות $z=2\,\mathrm{cis}\,(120^\circ k)$.

אנכית: $1-e^x=0$ כש-$x=0$, והמונה 4 שונה מאפס: $x=0$.

כש-$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ו-$f(x)\to0-\frac41=-4$: אסימפטוטה $y=-4$.

כש-$x\to\infty$: $\frac4{1-e^x}\to0$ ו-$e^x\to\infty$ - אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לכתוב $y=4$ - שוכחים את המינוס שלפני השבר.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום.

ציר ה-$x$: עם $t=e^x$ ($t>0$, $t\ne1$):

הדיסקרימיננטה $1-16<0$ - אין פתרון, ואין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לכפול במכנה ולקבל $t-t^2-4=0$, ואז לטעות בסימן ולכתוב $t^2-t-4=0$ - למשוואה הזאת יש פתרון חיובי, ומתקבלת נקודת חיתוך שאינה קיימת.

הנגזרת של $\frac4{1-e^x}=4(1-e^x)^{-1}$ היא $\frac{4e^x}{(1-e^x)^2}$, ולכן:

$f'(x)=0$ כש-$(1-e^x)^2=4$: $1-e^x=2$ (אז $e^x=-1$, נפסל) או $1-e^x=-2$, כלומר $e^x=3$, $x=\ln3$.

$f'>0$ כש-$|1-e^x|>2$ (כלומר $x>\ln3$), ו-$f'<0$ כש-$|1-e^x|<2$ (כלומר $x<0$ ו-$0<x<\ln3$).

טעות נפוצה: לפתור $(1-e^x)^2=4$ רק כ-$1-e^x=2$ - הפתרון הזה נפסל, ומי שלא בודק גם $1-e^x=-2$ מסיק שאין קיצון.

ענף שמאלי ($x<0$): צמוד ל-$y=-4$ משמאל, יורד, ושואף ל-$-\infty$ כש-$x\to0^-$ (כי $1-e^x\to0^+$).

ענף ימני ($x>0$): מ-$+\infty$ ליד $x=0^+$ (כי $1-e^x\to0^-$) יורד למינימום $(\ln3,5)$, ואחר כך עולה.

אין חיתוך עם הצירים.

טעות נפוצה: לצייר את הענף הימני מתחיל מ-$-\infty$ - ליד $0^+$ המכנה $1-e^x$ שלילי, ולכן $-\frac4{1-e^x}\to+\infty$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>1$ (לבלבל בין $e^x>1$ ל-$x>1$) - $e^x>e^0$ פירושו $x>0$.

הביטויים שווים לכל $x>0$.

טעות נפוצה: לגזור $4\ln(e^x-1)$ כ-$\frac4{e^x-1}$ בלי הנגזרת הפנימית $e^x$.

האנך: $x=\ln3$. עבור $x>0$, $f(x)\ge5>0$, ולכן השטח הוא האינטגרל מ-$\ln3$ עד $\ln b$.

לפי ג(2), $f=e^x+g'$, ולכן פונקציה קדומה: $e^x+g(x)=e^x-4x+4\ln(e^x-1)$.

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם 4 בלוגריתמים כשמאחדים אותם ולכתוב $\ln\frac{3(b-1)}{2b}$ בלבד.

$b=15>3$ - מתאים.

טעות נפוצה: להשוות $\frac{3(b-1)}{2b}=4\cdot1.4$ - המקדם 4 מופיע בשני האגפים ומצטמצם, ולא נכנס לארגומנט.