מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 11 ברמת בגרות

מהמשוואה הקנונית: $a^2=169k^2$, $b^2=144k^2$, ולכן ($k>0$) $a=13k$, $b=12k$.

באליפסה המוקדים על הציר הראשי, ו-$c^2=a^2-b^2$:

האליפסה חותכת את החלק החיובי של ציר ה-$x$ בקודקוד $(13k,0)$.

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז $F$ לקודקוד: $r=13k-5k=8k$.

טעות נפוצה: לקחת כרדיוס את $a=13k$ (המרחק מראשית הצירים לקודקוד) ולקבל $(x-5k)^2+y^2=169k^2$. מרכז המעגל הוא $F$, ולכן הרדיוס נמדד מ-$F$.

$B$ הוא קודקוד ציר המשנה: $B(0,12k)$.

(זה תמיד כך באליפסה: המרחק מקודקוד ציר המשנה למוקד שווה ל-$a$, כי $b^2+c^2=a^2$.)

$D$ נמצאת על המעגל, ולכן $DF$ הוא רדיוס: $DF=8k$.

$D$ על הקטע $BF$, ולכן $BD=BF-DF=13k-8k=5k$.

טעות נפוצה: לחשב את $BF$ כסכום הניצבים, $12k+5k=17k$, ולקבל $BD=9k$ והיחס $9:8$. $BF$ הוא היתר במשולש ישר-זווית שניצביו $b$ ו-$c$.

$D$ מחלקת את הקטע מ-$B$ ל-$F$ ביחס $5:8$, כלומר $D$ נמצאת $\frac{5}{13}$ מהדרך מ-$B$ ל-$F$:

בדיקה: $\left(\frac{25}{13}k-5k\right)^2+\left(\frac{96}{13}k\right)^2=\frac{1600k^2+9216k^2}{169}=\frac{10816k^2}{169}=64k^2$ - הנקודה על המעגל.

טעות נפוצה: להחליף את המשקלים ולקחת $\frac{8}{13}$ מהדרך מ-$B$, ולקבל $\left(\frac{40}{13}k,\frac{60}{13}k\right)$ - נקודה שמרחקה מ-$F$ הוא $5k$, ולכן אינה על המעגל.

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שיפוע הרדיוס $FD$:

שיפוע המשיק הוא ההופכי והנגדי: $m=\frac{5}{12}$.

כופלים ב-$12\cdot13=156$:

מחלקים ב-13: $-5x+12y-79k=0$.

טעות נפוצה: לכתוב את משוואת הרדיוס $FD$ (שיפוע $-\frac{12}{5}$) במקום את המשיק, ולקבל $12x+5y-60k=0$. המשיק הוא הישר המאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

הצלע הנגדית מקבילה למשיק, ולכן משוואתה מהצורה $-5x+12y+c=0$, והמרחק בין שני הישרים הוא אורך הצלע, 20:

בוחרים לפי הנקודה $B(0,12k)$: היא בתוך הריבוע, ולכן בין המשיק לצלע הנגדית.

נציב את $B$ בביטוי $-5x+12y$: מתקבל $144k$. על המשיק $-5x+12y=79k$, ועל הישר השני $-5x+12y=-c$.

עבור $c=-79k+260$: $-c=79k-260<79k<144k$, ולכן $B$ לא בין הישרים.

עבור $c=-79k-260$: $-c=79k+260$, ו-$79k<144k<79k+260$ כש-$k<4$ - $B$ בין הישרים.

טעות נפוצה: לבחור את הישר שבצד השני של המשיק, $-5x+12y-79k+260=0$, בלי לבדוק באיזה צד נמצאת $B$.

נקודת המפגש של אלכסוני ריבוע היא מרכזו, והמרחק שלה מכל צלע הוא חצי צלע: $\frac{20}{2}=10$.

המרחק של $B(0,12k)$ מהמשיק $-5x+12y-79k=0$:

$k=2<4$, כפי שנדרש בסעיף ד.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-$\sqrt{25+144}=13$ בנוסחת המרחק: $65k=10$, ומתקבל $k=\frac{2}{13}$.

$\overrightarrow{AE}=\frac14\underline w$, ולכן $\overrightarrow{EA}=-\frac14\underline w$.

מ-$E$ יורדים ל-$A$, ומשם הולכים לאורך מקצועות הבסיס:

טעות נפוצה: למדוד את הרבע מ-$S$ ולכתוב $\overrightarrow{EA}=-\frac34\underline w$. מתקבל $\overrightarrow{EB}=\underline u-\frac34\underline w$ ו-$\overrightarrow{ED}=\underline v-\frac34\underline w$, אבל $E$ קרובה ל-$A$: $AE$ הוא רבע מ-$AS$.

$AE=\frac14AS$, ולכן $ES=\frac34AS$ ו-$\overrightarrow{ES}=\frac34\underline w$.

הולכים מ-$E$ ל-$S$ ומשם ל-$M$:

($\frac34-\frac13=\frac9{12}-\frac4{12}=\frac5{12}$.)

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SE}=-\frac34\underline w$ במקום $\overrightarrow{ES}$. אז המקדם של $\underline w$ יוצא $-\frac34-\frac13=-\frac{13}{12}$, ומתקבל $\overrightarrow{EM}=-\frac43\underline u-\frac13\underline v-\frac{13}{12}\underline w$.

מציבים את הביטויים מסעיף א:

$\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ אינם במישור אחד, ולכן ההצגה באמצעותם יחידה. משווים מקדמים לביטוי מסעיף ב:

מקדם $\underline u$: $a=-\frac43$.

מקדם $\underline v$: $b=-\frac13$.

מקדם $\underline w$ (בדיקה): $-\frac{a+b}4=-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac53\right)=\frac5{12}$ - מתאים.

טעות נפוצה: להחליף בין $a$ ל-$b$ ולקבל $a=-\frac13$, $b=-\frac43$. $a$ הוא המקדם של $\overrightarrow{EB}$, שרק בו מופיע $\underline u$, ולכן $a$ נקבע ממקדם $\underline u$.

$\overrightarrow{EB}$ ו-$\overrightarrow{ED}$ הם שני וקטורים לא מקבילים במישור $BDE$, שיוצאים מהנקודה $E$ שבמישור.

לפי ג(1), $\overrightarrow{EM}=-\frac43\overrightarrow{EB}-\frac13\overrightarrow{ED}$ - צירוף לינארי שלהם. לכן $M$ נמצאת במישור $BDE$.

(המקדמים שליליים, ולכן $M$ נמצאת במישור מחוץ למשולש $BDE$, מעבר ל-$E$ ביחס לישר $BD$. זה לא משנה את התשובה.)

טעות נפוצה: לענות "לא" כי $a$ ו-$b$ שליליים. המישור אינסופי: כל צירוף לינארי של $\overrightarrow{EB}$ ו-$\overrightarrow{ED}$, עם מקדמים מכל סימן, מוביל מ-$E$ לנקודה במישור.

וקטור מאונך למישור מאונך לכל וקטור במישור, ובפרט ל-$\overrightarrow{EB}$ ול-$\overrightarrow{ED}$.

$ABCD$ מלבן, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$. $SA$ מאונך לבסיס, ולכן $\underline w\cdot\underline u=\underline w\cdot\underline v=0$. כמו כן $\underline u\cdot\underline u=|\underline u|^2$ וכן הלאה.

$|\underline w|^2=64$: $\frac43|\underline u|^2=\frac{64}{12}=\frac{16}3$, ולכן $|\underline u|^2=4$ ו-$|\underline u|=2$.

$\frac13|\underline v|^2=\frac{16}3$, ולכן $|\underline v|^2=16$ ו-$|\underline v|=4$.

טעות נפוצה: לכתוב $\left(-\frac13\underline w\right)\cdot\left(-\frac14\underline w\right)=\frac1{12}|\underline w|$ בלי ריבוע. אז $\frac43|\underline u|^2=\frac8{12}$ ו-$\frac13|\underline v|^2=\frac8{12}$, ומתקבל $|\underline u|=\frac{\sqrt2}2$, $|\underline v|=\sqrt2$. מכפלה סקלרית של וקטור בעצמו היא ריבוע האורך.

$M$ נמצאת במישור (ג(2)) ו-$SM$ מאונך למישור (נתון), ולכן $M$ היא עקב האנך מ-$S$, והמרחק הוא $|\overrightarrow{SM}|$.

(המכפלות המעורבות מתאפסות.)

טעות נפוצה: לקחת את $SE$ כמרחק, כי $E$ נמצאת במישור: $SE=\frac34\cdot8=6$. אבל $SE$ אינו מאונך למישור $BDE$ (המישור אינו מקביל לבסיס), והמרחק נמדד לאורך האנך $SM$.

$z+\bar z=2x$, ולכן $\frac{z+\bar z}{2}=x$. $|z-2|=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$.

צריך $x+2\ge0$. מעלים בריבוע:

מכאן $x\ge0$, והתנאי מתקיים. זו פרבולה שקודקודה בראשית, מוקדה $(2,0)$ והמדריך שלה $x=-2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{z+\bar z}{2}=y$ (לבלבל בין החלק הממשי לחלק המדומה). אז $(x-2)^2+y^2=(y+2)^2$ ומתקבל $y=\frac{x^2}{4}-x$. $z+\bar z$ מבטל את החלק המדומה ומשאיר $2x$.

$z=\rho\operatorname{cis}\varphi$: $\rho^4\operatorname{cis}(4\varphi)=\frac{16}{r^4}\operatorname{cis}(4\theta)$.

$\rho^4=\frac{16}{r^4}$, ולכן $\rho=\frac2r$.

$4\varphi=4\theta+360^\circ k$, ולכן $\varphi=\theta+90^\circ k$, $k=0,1,2,3$.

טעות נפוצה: לקחת $\rho=\frac{16}{r}$ או $\rho=\frac4r$ - להוציא שורש רק מ-$r^4$. השורש הרביעי חל על כל המודול $\frac{16}{r^4}$.

$w=r\operatorname{cis}\theta$, ו-$-w=r\operatorname{cis}(\theta+180^\circ)$ (כפל ב-$\operatorname{cis}180^\circ$).

טעות נפוצה: לכתוב $\frac2w=2r\operatorname{cis}(-\theta)$. בחילוק מחלקים את המודולים: $\frac{2}{r}$.

האלכסונים של מצולע II הם הקטעים מ-$w$ ל-$-w$ ומ-$\frac2w$ ל-$-\frac2w$. כל אחד מהם נחצה בראשית, ולכן המצולע מקבילית.

מקבילית היא מעוין כשהאלכסונים מאונכים. כיווני האלכסונים $\theta$ ו-$-\theta$, והזווית ביניהם $2\theta$.

$2\theta=90^\circ$, ולכן $\theta=45^\circ$.

טעות נפוצה: לדרוש אלכסונים שווים, $2r=\frac4r$, ולקבל $r=\sqrt2$. זה תנאי למלבן, ואינו קובע את $\theta$.

$\theta=45^\circ$, ולכן $w=\frac{r}{\sqrt2}+\frac{r}{\sqrt2}i$. הצבה ב-$y^2=8x$:

מצולע II: אלכסונים $2r$ ו-$\frac4r$, מאונכים:

מצולע I: ריבוע שקודקודיו במרחק $\frac2r$ מהמרכז, ולכן האלכסון $\frac4r$:

טעות נפוצה: לקחת את $\frac2r$ כצלע הריבוע ($S_I=\frac4{r^2}$, יחס 128). $\frac2r$ הוא מחצית האלכסון.

כלל המכפלה, ו-$\left(e^{-\frac{x^2}a}\right)'=-\frac{2x}ae^{-\frac{x^2}a}$:

בנקודת פיתול $f''=0$, ו-$e^{-\frac{x^2}a}>0$. ב-$x=1$:

בדיקה: $f''=e^{-\frac{x^2}2}(4-4x^2)$ מחליפה סימן ב-$x=1$.

טעות נפוצה: להשוות את $f'(1)$ לאפס (במקום $f''$) - בנקודת פיתול מתאפסת הנגזרת השנייה; $f'(1)=4e^{-\frac1a}$ אינו מתאפס לאף $a$.

$f'(x)=4xe^{-\frac{x^2}2}$. הנגזרת של $-\frac{x^2}2$ היא $-x$, ו-$4x=-4\cdot(-x)$:

$f(0)=-2a=-4$: $-4+C=-4$, ולכן $C=0$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולכתוב $f(x)=4e^{-\frac{x^2}2}+C$ - אז $C=-8$ ומתקבלת פונקציה שהנגזרת שלה היא $-4xe^{-\frac{x^2}2}$, ולא הנתונה.

לכן $f$ זוגית.

טעות נפוצה: לקבוע "אי-זוגית" בגלל המינוס שלפני הביטוי - הסימן הקבוע $-4$ אינו משנה זוגיות; בודקים מה קורה כשמציבים $-x$.

$f$ מוגדרת ורציפה לכל $x$ - אין אסימפטוטה אנכית.

כש-$x\to\pm\infty$: $e^{-\frac{x^2}2}\to0$, ולכן $f(x)\to0$.

האסימפטוטה: $y=0$.

טעות נפוצה: לענות "אין אסימפטוטות" כי $f$ מוגדרת לכל $x$ - חוסר נקודות אי-הגדרה פוסל רק אסימפטוטה אנכית; את האופקית בודקים בגבול באינסוף, ושם $f\to0$.