מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 15 ברמת בגרות

$a^2=100$ (המכנה הגדול, מתחת ל-$x^2$), $b^2=100-k^2$.

$F_1(k,0)$, $F_2(-k,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $c=k^2$ - צריך להוציא שורש: $c^2=k^2$, ולכן $c=k$.

בפרבולה קנונית $y^2=2px$ המוקד הוא $\left(\frac p2,0\right)$ והמדריך $x=-\frac p2$.

$\frac p2=k$, ולכן המדריך הוא $x=-k$ ומשוואת הפרבולה $y^2=4kx$.

טעות נפוצה: לשים את המדריך במרחק $k$ משמאל למוקד, $x=0$ - המרחק בין המוקד למדריך הוא $p=2k$, והמדריך סימטרי למוקד ביחס לקודקוד (הראשית): $x=-k$.

מרחק A מהמוקד שווה למרחקה מהמדריך $x=-k$:

$y_A^2=4k\cdot9k=36k^2$, ו-A ברביע הראשון: $y_A=6k$.

טעות נפוצה: להציב $x_A=10k$ (המרחק מהמוקד) ישירות במשוואת הפרבולה - $10k$ הוא מרחק, לא שיעור ה-$x$.

מרכז המעגל - אמצע $AF_1$: $M\left(\frac{9k+k}{2},\frac{6k}{2}\right)=M(5k,3k)$; הרדיוס $R=\frac{10k}{2}=5k$.

תנאי ההשקה - מרחק המרכז מהישר שווה לרדיוס:

$75k-280=65k$ נותן $k=28$ - נפסל ($0<k<10$).

$75k-280=-65k$ נותן $140k=280$, כלומר $k=2$.

טעות נפוצה: לקחת לרדיוס את $10k$ (אורך הקוטר כולו): $\frac{|75k-280|}{13}=10k$, כלומר $|75k-280|=130k$, ומתקבל $k=\frac{56}{41}\approx1.37$ - הרדיוס הוא חצי הקוטר, $5k$.

עבור $k=2$: $a=10$, $c=2$, $F_1(2,0)$, $F_2(-2,0)$, $A(18,12)$.

לכל D על האליפסה $DF_1+DF_2=2a=20$, ולכן:

במשולש $F_1AF_2$: $AF_1=10k=20$, $AF_2=\sqrt{(18+2)^2+12^2}=\sqrt{544}\approx23.32$, $F_1F_2=4$:

היקף המשולש $F_1AF_2$ גדול יותר. (A מחוץ לאליפסה: $\frac{18^2}{100}>1$.)

טעות נפוצה: לקחת את סכום המרחקים של $D$ מהמוקדים כ-$a^2=100$ במקום $2a=20$ - ההיקף "יוצא" $104$, ומתקבלת התשובה "קטן"; הסכום הקבוע הוא אורך הציר הגדול, $2a=20$, וההיקף $24$.

מבטאים כל נקודה בעזרת וקטור שיוצא מ-$A$, ואז מחסרים.

$\vec{BB'}=\vec{AA'}=\underline w$, ולכן:

אלכסון התיבה: $\vec{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\vec{CC'}=\underline u+\underline v+\underline w$, ולכן:

טעות נפוצה: למדוד את הרבע מ-$B'$ ולכתוב $\overrightarrow{AE}=\underline u+\frac34\underline w$. מתקבל $\overrightarrow{EN}=(k-1)\underline u+k\underline v+\left(k-\frac34\right)\underline w$, אבל $E$ קרובה ל-$B$.

נסמן $a=|\underline u|$. הבסיס ריבוע, ולכן $|\underline v|=a$, ו-$|\underline w|=2a$.

מקצועות התיבה ניצבים זה לזה, ולכן כל המכפלות המעורבות מתאפסות ונשארים רק הריבועים:

(פירוט: $k^2-2k+1+k^2+4k^2-2k+\frac14$.)

משווים ל-$\frac{21}{36}a^2=\frac7{12}a^2$ ומחלקים ב-$a^2$:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$|\underline w|=2a$ ולחשב כאילו התיבה היא קובייה: $3k^2-\frac52k+\frac{17}{16}=\frac7{12}$, ומתקבלים שני ערכים $k=\frac{5\pm\sqrt2}{12}$ (בערך $0.53$ או $0.30$).

צלע הריבוע $AB=6$, ולכן $D(0,6,0)$. $AA'=2\cdot6=12$, ולכן $A'(0,0,12)$.

$C'=A+\underline u+\underline v+\underline w=(6,6,12)$.

$k=\frac13$:

$\vec{BB'}=(0,0,12)$:

טעות נפוצה: למדוד את השליש מ-$C'$: $C'+\frac13\vec{C'A}=(4,4,8)$ - זו נקודה אחרת על האלכסון, קרובה ל-$C'$, ולא $N$.

שני וקטורים במישור: $\overrightarrow{DE}=(6,-6,3)$, $\overrightarrow{DN}=(2,-4,4)$. אפשר לצמצם: $(2,-2,1)$ ו-$(1,-2,2)$.

נורמל $(a,b,c)$ מאונך לשניהם:

מחסרים מהראשונה פעמיים את השנייה: $2b-3c=0$. בוחרים $c=2$, $b=3$, ואז מהשנייה $a=2b-2c=2$. הנורמל $(2,3,2)$.

$2x+3y+2z+d=0$, ומציבים $D(0,6,0)$: $18+d=0$, $d=-18$.

בדיקה: $E$: $12+0+6-18=0$; $N$: $4+6+8-18=0$.

טעות נפוצה: לחלץ מהמשוואה השנייה $a=2b+2c$ (טעות סימן) ולקבל $a=10$, כלומר $10x+3y+2z-18=0$ - מישור שאינו עובר דרך $E$ ($60+6-18\ne0$). תמיד מציבים את שלוש הנקודות לבדיקה.

לשתי הפירמידות אותו בסיס - המשולש $END$. לפי $V=\frac13S_{\text{בסיס}}\cdot h$, היחס בין הנפחים שווה ליחס בין הגבהים, כלומר בין המרחקים של $A$ ושל $C'$ מהמישור $END$.

$d_A<d_{C'}$, ולכן $V_{AEND}<V_{C'END}$, והיחס $18:36=1:2$.

(זה מתאים לכך ש-$N$, שנמצאת במישור, מחלקת את האלכסון $AC'$ ביחס $AN:NC'=1:2$.)

טעות נפוצה: לנמק ש-$N$ נמצאת במישור ועל הישר $AC'$, ולכן $A$ ו-$C'$ "באותו מרחק" מהמישור, ולענות שהנפחים שווים. זה נכון רק כש-$N$ אמצע $AC'$. כאן $AN:NC'=1:2$, ולכן גם המרחקים ביחס $1:2$.

מעבירים את אגף ימין להצגה קוטבית: $|2-2i|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$.

הנקודה $(2,-2)$ ברביע הרביעי, על הישר $y=-x$, ולכן הארגומנט הוא $315^\circ$: $2-2i=2\sqrt2\operatorname{cis}315^\circ$.

לפי נוסחת השורשים, לפתרונות מודול $\sqrt[3]{2\sqrt2}=\sqrt2$ (כי $(\sqrt2)^3=2\sqrt2$) וארגומנט $\frac{315^\circ+360^\circ k}{3}$:

טעות נפוצה: לקחת את הארגומנט של $2-2i$ כ-$45^\circ$ בלי לבדוק את הרביע, ולקבל $\sqrt2\operatorname{cis}15^\circ$, $\sqrt2\operatorname{cis}135^\circ$, $\sqrt2\operatorname{cis}255^\circ$ - אלה הפתרונות של $z^3=2+2i$.

מביעים את $w_2$ בהצגה קוטבית. לפי דה-מואבר $w_1^3=r^3\operatorname{cis}3\alpha$, ו-$2i=2\operatorname{cis}90^\circ$.

בכפל מכפילים מודולים ומחברים ארגומנטים:

שתי נקודות (שונות מ-$O$) נמצאות על ישר אחד שעובר דרך $O$ אם ורק אם הפרש הארגומנטים הוא כפולה של $180^\circ$ (אותה קרן או קרניים הפוכות):

הערכים האפשריים: $45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ$. בתחום $100^\circ<\alpha<240^\circ$: $\alpha=135^\circ$ או $\alpha=225^\circ$.

(ב-$\alpha=135^\circ$ הפרש הארגומנטים $360^\circ$ - אותה קרן; ב-$\alpha=225^\circ$ ההפרש $540^\circ$ - קרניים הפוכות.)

טעות נפוצה: לדרוש ארגומנטים שווים בלבד ($2\alpha+90^\circ=360^\circ k$) ולקבל רק $\alpha=135^\circ$ - נקודות משני צדי $O$ גם הן על ישר שעובר דרך $O$.

$w_1=r\operatorname{cis}\alpha$ שווה לאחד הפתרונות $\sqrt2\operatorname{cis}105^\circ$, $\sqrt2\operatorname{cis}225^\circ$, $\sqrt2\operatorname{cis}345^\circ$.

שני מרוכבים בהצגה קוטבית שווים כשהמודולים שווים והארגומנטים שווים (עד כדי $360^\circ$): $r=\sqrt2$, ו-$\alpha$ הוא $105^\circ$, $225^\circ$ או $345^\circ$.

לפי סעיף ב, $\alpha$ הוא $135^\circ$ או $225^\circ$. הערך המשותף: $\alpha=225^\circ$.

כלומר $w_1=\sqrt2\operatorname{cis}225^\circ=-1-i$.

טעות נפוצה: לקחת את המודול של אגף ימין, $|2-2i|=2\sqrt2$, ולענות $r=2\sqrt2$ - המודול של כל פתרון הוא השורש השלישי שלו, $\sqrt2$.

$A$: $w_1=\sqrt2\operatorname{cis}225^\circ=-1-i$.

$C$: $w_1$ הוא פתרון של המשוואה, ולכן $w_1^3=2-2i$, ו-$w_2=2i(2-2i)=4i-4i^2=4+4i=4\sqrt2\operatorname{cis}45^\circ$.

$B$: $w_3=5$. $D$: כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, $1+2i$:

$A$ ו-$C$ על קרניים הפוכות מ-$O$ ($225^\circ-45^\circ=180^\circ$), ולכן $O$ על האלכסון $AC$ ו-$AC=\sqrt2+4\sqrt2=5\sqrt2$.

$B$ ו-$D$ על הציר הממשי משני צדי $O$, ולכן $O$ על האלכסון $BD$ ו-$BD=5+3=8$.

האלכסונים נחתכים ב-$O$, והזווית ביניהם היא הזווית בין הקרן $OC$ ($45^\circ$) לקרן $OB$ ($0^\circ$): $45^\circ$.

שטח מרובע קמור לפי האלכסונים והזווית ביניהם:

טעות נפוצה: להניח שהאלכסונים מאונכים ולחשב $S=\frac12\cdot5\sqrt2\cdot8=20\sqrt2$ - הזווית בין האלכסונים היא $45^\circ$, לא $90^\circ$.

$OB$ בזווית $0^\circ$ ו-$OC$ בזווית $45^\circ$, ולכן חוצה הזווית $BOC$ ברביע הראשון הוא הקרן בזווית $22.5^\circ$ (בלי התנאי על הרביע גם הקרן ההפוכה, בזווית $202.5^\circ$, הייתה מתאימה, ועליה $u=0.5\operatorname{cis}202.5^\circ$ מקיים את המשוואה): $u=\rho\operatorname{cis}22.5^\circ$, $\rho=|u|>0$.

הצמוד: $\bar u=\rho\operatorname{cis}(-22.5^\circ)=\rho\operatorname{cis}337.5^\circ$. ההופכי: $\frac1u=\frac1\rho\operatorname{cis}(-22.5^\circ)=\frac1\rho\operatorname{cis}337.5^\circ$.

לשניהם אותו ארגומנט, ולכן:

(אילו $\rho-\frac1\rho$ היה שלילי, הארגומנט של אגף שמאל היה $157.5^\circ$; לכן המקדם שווה בדיוק ל-$1.5$.)

$\rho=2$ או $\rho=-0.5$; מודול הוא מספר חיובי, ולכן $\rho=2$ ו-$u=2\operatorname{cis}22.5^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $337.5^\circ$ כארגומנט של $u$ עצמו ולענות $u=2\operatorname{cis}337.5^\circ$ - זה הארגומנט של $\bar u$, ו-$E$ צריכה להיות על חוצה הזווית $BOC$.

$f$ עולה בכל תחום, ולכן $f'(x)\ge0$, ועם $f'(x)\ne0$: $f'(x)>0$ לכל $x\ne0$.

$e^{f(x)}>0$ תמיד.

$g(x)$ מכפלה של שני מספרים חיוביים, ולכן $g(x)>0$ לכל $x\ne0$. אין תחומי שליליות.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$g$ משנה סימן ב-$x=0$ כמו $f$. $x=0$ אינו בתחום, ובכל אחד מהתחומים הסימן נקבע לפי $f'$, שחיובית בשניהם.

$f'(x)=\frac2{x^2}$, ולכן $g(x)=\frac{2e^{-\frac2x}}{x^2}$.

$x\to0^-$: $-\frac2x\to+\infty$, ולכן $e^{-\frac2x}\to\infty$ ו-$\frac2{x^2}\to\infty$: $g\to+\infty$. $x=0$ אסימפטוטה אנכית.

$x\to0^+$: עם $u=\frac1x\to+\infty$, $g=2u^2e^{-2u}\to0$ - המעריכית דועכת מהר יותר. הגרף מתקרב לראשית מימין.

$x\to\pm\infty$: $e^{-\frac2x}\to1$ ו-$\frac2{x^2}\to0$, ולכן $g\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$g\to+\infty$ משני צדי $x=0$ "כי המכנה מתאפס". מימין $e^{-\frac2x}\to0$ ומנצח את המכנה.

$g(x)=2x^{-2}e^{-\frac2x}$, ו-$\left(e^{-\frac2x}\right)'=e^{-\frac2x}\cdot\frac2{x^2}$:

הסימן נקבע לפי $1-x$: חיובי עבור $x<1$ ($x\ne0$) ושלילי עבור $x>1$. $g'(1)=0$.