מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 16 ברמת בגרות

משוואה קנונית: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, מוקדים $(\pm c,0)$, ו-$a^2=b^2+c^2$.

מהמוקד: $c^2=52$, ולכן $a^2=b^2+52$.

$A(4,3)$ על האליפסה: $\frac{16}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$.

נסמן $t=b^2$:

נכפול ב-$t(t+52)$:

$t=12$ או $t=-39$. $b^2>0$, ולכן $b^2=12$ ו-$a^2=12+52=64$.

משוואת האליפסה: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{12}=1$. בדיקה: $\frac{16}{64}+\frac{9}{12}=0.25+0.75=1$.

טעות נפוצה: לכתוב $b^2=a^2+52$ (להחליף בין $a$ ל-$b$). אז $\frac{16}{t}+\frac{9}{t+52}=1$ עם $t=a^2$, ומתקבל $a^2\approx18.3$, $b^2\approx70.3$ - אליפסה שהציר הגדול שלה על ציר ה-$y$, בסתירה למוקד הנתון על ציר ה-$x$.

B: מציבים $y=0$: $x^2=64$, $x=8$. $B(8,0)$.

שיפוע AO: $\frac{3}{4}$, ולכן $y=0.75x$. נקודה כללית על הישר: $C(t,0.75t)$.

אמצע BC:

$x=\frac{8+t}{2}$, ולכן $t=2x-8$. מציבים בשיעור ה-$y$:

המקום הגאומטרי: הישר $y=0.75x-3$, המקביל ל-AO.

טעות נפוצה: לחלק ב-2 רק את שיעור ה-$x$: $P\left(\frac{8+t}{2},0.75t\right)$. אז $y=0.75(2x-8)=1.5x-6$ - ישר שאינו מקביל ל-AO.

הישרים $3x-4y=0$ (AO) ו-$3x-4y-12=0$ (המקום הגאומטרי) מקבילים, והמרחק ביניהם הוא קוטר המעגל:

הרדיוס $R=1.2$, $R^2=1.44$.

המעגל משיק ל-AO ב-O, ולכן המרכז על הניצב ל-AO דרך O: שיפוע $-\frac43$, הישר $y=-\frac43x$.

מרכז $M\left(m,-\frac{4m}{3}\right)$ במרחק $1.2$ מ-O:

המרכז בין הישרים: עבור $m=0.72$, $M(0.72,-0.96)$ ומרחקו מ-$3x-4y-12=0$ הוא $\frac{|2.16+3.84-12|}{5}=1.2=R$. עבור $m=-0.72$ המרכז בצד השני של AO - נפסל.

משוואת המעגל: $(x-0.72)^2+(y+0.96)^2=1.44$.

טעות נפוצה: להשאיר את שתי האפשרויות למרכז. המרכז $(-0.72,0.96)$ נותן מעגל המשיק ל-AO ב-O, אבל הוא בצד השני של AO ולא נוגע בישר המקביל.

נקודה על $\ell_1$: $(t,\,-2t,\,0)$; נקודה על $\ell_2$: $(2+mk,\,-4,\,m)$.

$m=0$, ואז $t=2$; בדיקה ברכיב השני: $-2\cdot2=-4$ ✓.

$A(2,-4,0)$.

טעות נפוצה: להשתמש באותו פרמטר לשני הישרים, $(t,-2t,0)=(2+tk,-4,t)$: מהרכיב השלישי $t=0$, ואז ברכיב השני $0=-4$, ומסיקים בטעות שהישרים אינם נחתכים. לכל ישר פרמטר משלו ($t$ ו-$m$).

משווים ל-$\frac25$ ומעלים בריבוע:

$k=2$ או $k=-2$.

טעות נפוצה: לחשב את אורך $(k,0,1)$ כ-$k+1$ במקום $\sqrt{k^2+1}$. אורך וקטור הוא שורש סכום ריבועי הרכיבים.

וקטורי הכיוון: $(1,-2,0)$ ו-$(2,0,1)$. נורמל $(a,b,c)$:

$b=1$: $a=2$, $c=-4$. הנורמל $(2,1,-4)$.

הראשית על $\ell_1$, ולכן $d=0$:

בדיקה: $A(2,-4,0)$: $4-4-0=0$ ✓.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$(2,-4,0)$ (נקודת המוצא של $\ell_2$) כווקטור כיוון שני. היא נקודה, ובנוסף היא מקבילה ל-$(1,-2,0)$ - שני כיוונים מקבילים לא קובעים מישור.

$O$ על $\ell_1$ ($t=0$); $A$ על שני הישרים; $B$ על $\ell_2$.

שני הישרים מוכלים ב-$\pi$, ולכן שלושת הקודקודים ב-$\pi$, וכך גם כל המשולש.

טעות נפוצה: לבדוק רק ש-$O$ מקיימת את משוואת המישור ולהסתפק בכך. צריך שכל שלושת הקודקודים יהיו במישור; $B$ לא נתונה בשיעורים, ולכן מנמקים דרך הישר $\ell_2$.

$AO=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$, ולכן $AB=\sqrt{20}$.

הזווית $OAB$ היא $\alpha$ או משלימתה, והסינוס זהה:

הנורמל $(2,1,-4)$ אורכו $\sqrt{21}$ - בדיוק $AS$. לכן:

$S(4,-3,-4)$ או $S(0,-5,4)$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\cos\alpha$ במקום ב-$\sin\alpha$ בנוסחת שטח המשולש. שטח משולש לפי שתי צלעות הוא $\frac12ab\sin\gamma$.

לכן $z^2-6=(x^2-y^2-6)+2xyi$ ו-$z^2+2=(x^2-y^2+2)+2xyi$.

משווים את ריבועי הערכים המוחלטים:

החלק המדומה מצטמצם. נסמן $u=x^2-y^2$: $(u-6)^2=(u+2)^2$.

$u-6=u+2$ בלתי אפשרי, ולכן $u-6=-(u+2)$, כלומר $2u=4$:

טעות נפוצה: לכתוב $z^2=x^2+y^2+2xyi$ (לשכוח ש-$i^2=-1$) - אז מתקבל $x^2+y^2=2$, מעגל, במקום ההיפרבולה $x^2-y^2=2$.

בוחרים $y=0$: $x^2=2$, למשל $x=\sqrt2$. המספר $z=\sqrt2$.

בדיקה: $z^2=2$, $|2-6|=4=|2+2|$.

(גם $z=2+\sqrt2\,i$ מתאים: $4-2=2$.)

טעות נפוצה: לבחור $z=2$ כי "$x^2-y^2=2$" נראה כמו $x=2$ - אז $x^2-y^2=4$, והמספר אינו על המקום הגאומטרי.

$8=8\,\text{cis}0^\circ$. עבור $z=r\,\text{cis}\theta$: $z^3=r^3\text{cis}3\theta$.

$r^3=8$, ולכן $r=2$; $3\theta=360^\circ k$, ולכן $\theta=120^\circ k$, $k=0,1,2$.

הפתרונות: $2\text{cis}0^\circ$, $2\text{cis}120^\circ$, $2\text{cis}240^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב את המודול כ-$8$ או כ-$\frac83$ - המודול של כל פתרון הוא $\sqrt[3]8=2$.

מודול כל הקודקודים 2, ולכן המעגל החוסם הוא $x^2+y^2=4$.

פותרים יחד עם $x^2-y^2=2$. חיבור המשוואות: $2x^2=6$, $x^2=3$; חיסור: $2y^2=2$, $y^2=1$.

ברביע הראשון $x>0$, $y>0$:

טעות נפוצה: להשתמש במעגל היחידה $x^2+y^2=1$ כמו בשורשי היחידה - הרדיוס של המעגל החוסם הוא המודול של הקודקודים, כאן 2.

הצגה קוטבית של A: $|A|=\sqrt{3+1}=2$, ו-$\tan\theta=\frac1{\sqrt3}$ ברביע הראשון, $\theta=30^\circ$. כלומר $A=2\text{cis}30^\circ$.

מצולע II הוא משולש שווה-צלעות, והזווית בין קודקודים סמוכים $\frac{360^\circ}3=120^\circ$:

(הקודקוד השלישי הוא $2\text{cis}270^\circ=-2i$.)

טעות נפוצה: לכתוב $A=\text{cis}30^\circ$ ולשכוח את המודול 2 - הקודקודים נמצאים על מעגל ברדיוס 2.

כפל ב-$w$ מסובב בזווית $\alpha$ ומותח פי $r$.

שני המשולשים חסומים באותו מעגל, ולכן $r=1$.

הקודקוד $2\text{cis}0^\circ$ צריך לעבור לאחד הקודקודים $30^\circ$, $150^\circ$, $270^\circ$. בתחום $0<\alpha<120^\circ$ רק $\alpha=30^\circ$.

בדיקה: $2\text{cis}(120^\circ k)\cdot\text{cis}30^\circ=2\text{cis}(30^\circ+120^\circ k)$.

טעות נפוצה: לחלק בכיוון ההפוך, $w=\frac{2}{A}=\frac{2}{2\text{cis}30^\circ}=\text{cis}(-30^\circ)$ - זה מעביר את מצולע II על מצולע I ולא להפך, והזווית $-30^\circ$ אינה בתחום $0<\alpha<120^\circ$.

המכנים חייבים להיות שונים מ-0:

$e^{2x}-3=0\ \Rightarrow\ 2x=\ln3\ \Rightarrow\ x=\frac12\ln3$.

$e^x-4=0\ \Rightarrow\ x=\ln4$.

תחום ההגדרה: $x\neq\frac12\ln3$, $x\neq\ln4$.

טעות נפוצה: לפתור $e^{2x}=3$ כ-$x=\ln\frac32$ (לחלק ב-2 את 3 במקום את $\ln3$) - מתקבל התחום השגוי $x\ne\ln1.5$, $x\ne\ln4$.

אנכיות: בנקודות שמחוץ לתחום המונה של השבר שמכנהו מתאפס הוא 6 או 4 (שונה מ-0), ולכן $f\to\pm\infty$: $x=\frac12\ln3$ ו-$x=\ln4$.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$ ו-$e^{2x}\to0$, ולכן:

$x\to\infty$: המכנים שואפים ל-$\infty$, שני השברים שואפים ל-0, ו-$f(x)\to a$.

אסימפטוטות אופקיות: $y=a-3$ (משמאל), $y=a$ (מימין).

טעות נפוצה: לקבוע שגם כאשר $x\to-\infty$ השברים שואפים ל-0 (כמו ב-$+\infty$) ולקבל אסימפטוטה אופקית אחת, $y=a$. כאשר $x\to-\infty$ דווקא $e^x\to0$, והמכנים שואפים ל-$-3$ ול-$-4$.

גוזרים כל שבר לפי כלל השרשרת: $\left(\frac{c}{u}\right)'=-\frac{c\cdot u'}{u^2}$, עם $(e^{2x}-3)'=2e^{2x}$ ו-$(e^x-4)'=e^x$:

בכל מחובר המונה חיובי ($e^{2x}>0$, $e^x>0$) והמכנה ריבוע חיובי בתחום, ולפני כל מחובר יש מינוס. לכן כל מחובר שלילי, וסכומם שלילי לכל $x$ בתחום (הפרמטר $a$ נעלם בגזירה).

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנגזרת של $\frac cu$ ולקבל $f'(x)=\frac{12e^{2x}}{(e^{2x}-3)^2}+\frac{4e^x}{(e^x-4)^2}>0$ - כלומר להסיק בטעות שהפונקציה עולה בכל תחום.

לפי סעיף א(2) האסימפטוטות האופקיות הן $y=a$ ו-$y=a-3$. הישר $y=3$ יכול להיות כל אחת מהן:

שני הערכים האפשריים: $a=3$ או $a=6$.

טעות נפוצה: לחשב את הגבול השמאלי כ-$\frac6{3}+\frac4{4}+a=a+3$ (לשכוח שהמכנים שליליים) ולקבל מ-$a+3=3$ את הערך השגוי $a=0$ במקום $a=6$.

המכנה המשותף: $(e^{2x}-3)(e^x-4)=e^{3x}-4e^{2x}-3e^x+12$.

פותחים את המונה: $6e^x-24+4e^{2x}-12+3e^{3x}-12e^{2x}-9e^x+36=3e^{3x}-8e^{2x}-3e^x$.

טעות נפוצה: לכפול את 3 רק באיבר הראשון של המכנה המשותף ($3e^{3x}$ במקום $3(e^{3x}-4e^{2x}-3e^x+12)$) - המונה יוצא $3e^{3x}+4e^{2x}+6e^x-36$, ולא מתקבל הביטוי הנדרש.

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס (והמכנה לא). נציב $t=e^x>0$:

$t=0$ ו-$t=-\frac13$ נפסלים ($e^x>0$). נשאר $e^x=3$, כלומר $x=\ln3$. שם המכנה $(9-3)(3-4)=-6\neq0$.

נקודת החיתוך: $(\ln3,0)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בנוסחת השורשים, $t=\frac{-8\pm10}{6}$, ולקבל $t=\frac13$, כלומר $x=-\ln3$. שם $f(-\ln3)\approx-0.17\ne0$.

עם $a=3$: אסימפטוטות $x=\frac12\ln3\approx0.55$, $x=\ln4\approx1.39$, $y=0$ (משמאל), $y=3$ (מימין). $f$ יורדת בכל אחד מהתחומים (סעיף ב).

$x<\frac12\ln3$: יורדת מ-0 (האסימפטוטה $y=0$), ולכן שלילית. משמאל ל-$\frac12\ln3$: $e^{2x}-3\to0^-$, ולכן $\frac6{e^{2x}-3}\to-\infty$.

$\frac12\ln3<x<\ln4$: מימין ל-$\frac12\ln3$: $\frac6{e^{2x}-3}\to+\infty$; משמאל ל-$\ln4$: $\frac4{e^x-4}\to-\infty$. הענף יורד מ-$+\infty$ אל $-\infty$ וחותך את ציר ה-$x$ ב-$(\ln3,0)$.

$x>\ln4$: יורדת מ-$+\infty$ אל האסימפטוטה $y=3$ (מעליה).

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$. הוא יורד מהאסימפטוטה $y=0$, ולכן כולו מתחתיה (למשל $f(0)=\frac6{-2}+\frac4{-3}+3=-\frac43$).

$\ln2\approx0.69$ נמצא בענף האמצעי, בין האסימפטוטה $x=\frac12\ln3\approx0.55$ לנקודת החיתוך $x=\ln3$. בקטע $\ln2\le x\le\ln3$ הפונקציה חיובית, ולכן:

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה: $\left(e^{3x}-4e^{2x}-3e^x+12\right)'=3e^{3x}-8e^{2x}-3e^x$. לכן הקדומה היא $\ln\left|e^{3x}-4e^{2x}-3e^x+12\right|=\ln\left|(e^{2x}-3)(e^x-4)\right|$.

בקטע המכנה שלילי ($e^{2x}>3$ אבל $e^x<4$), ולכן הערך המוחלט חשוב:

טעות נפוצה: לחשב $e^{2\ln3}=2\cdot3=6$ במקום $e^{2\ln3}=\left(e^{\ln3}\right)^2=9$. אז בגבול העליון $|(6-3)(3-4)|=3$, ומתקבל $S=\ln3-\ln2=\ln1.5\approx0.405$.