מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 17 ברמת בגרות

$K(4,1)$ ורדיוס $2$; $L(-2,4)$ ורדיוס $1$.

הרדיוס ניצב למשיק בנקודת ההשקה, ולכן לפי פיתגורס: $MA^2=MK^2-4$ ו-$MB^2=ML^2-1$.

עבור $M(x,y)$, $MA=MB$ שקול ל-$MA^2=MB^2$:

$x^2$ ו-$y^2$ מתבטלים:

משוואה ממעלה ראשונה - המקום הגאומטרי הוא ישר.

טעות נפוצה: להשוות $MK=ML$ (מרחקים מהמרכזים) במקום את אורכי המשיקים. כך מקבלים את האנך האמצעי ל-$KL$, שאינו המקום המבוקש כי הרדיוסים שונים.

שיפוע הישר מסעיף א הוא $2$.

$2\cdot\left(-\frac12\right)=-1$, ולכן הישרים מאונכים.

טעות נפוצה: לבדוק אם השיפועים "הפוכים" ($2$ ו-$\frac12$) ולשכוח את הסימן. בישרים מאונכים מכפלת השיפועים היא $-1$, ולכן השיפועים הפוכים וגם נגדיים.

כל נקודה $M$ על המקום הגאומטרי מקיימת $MK^2-4=ML^2-1$, כלומר $MK^2-ML^2=3$.

אם גם $ML=MK$, אז $MK^2-ML^2=0$, ומתקבל $0=3$ - סתירה.

לכן אין נקודה $M$ כזאת.

טעות נפוצה: לענות "כן, נקודת החיתוך של הישר מסעיף א עם $KL$". בנקודה זו הישר אכן חותך את $KL$, אבל היא אינה אמצע הקטע: הישר מסעיף א אינו האנך האמצעי, כי הרדיוסים שונים.

משוואת $KL$: $y-1=-\frac12(x-4)$, כלומר $x+2y-6=0$.

$M$ על הישר מסעיף א: $M(t,2t+1)$. המרחק שלה מ-$KL$:

$t=2$ או $t=-0.4$.

$t=2$: $M(2,5)$; על $KL$ ב-$x=2$: $y=\frac{6-2}2=2<5$ - מעל הישר.

$t=-0.4$: $M(-0.4,0.2)$; על $KL$: $y=3.2>0.2$ - מתחת לישר, נפסלת.

$M(2,5)$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\frac12$ בנוסחת שטח המשולש ולקבל $|5t-4|=3$, כלומר נקודה אחרת על הישר.

מציבים $M(2,5)$: $25=2p\cdot2$, ולכן $p=\frac{25}4$.

משיק ל-$y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$: $yy_1=p(x+x_1)$.

כופלים ב-4 ומחלקים ב-5: $4y=5x+10$.

טעות נפוצה: לכתוב את המשיק כ-$yy_1=2p(x+x_1)$ (להעתיק את $2p$ מהמשוואה). בנוסחת המשיק המקדם הוא $p$, אחרת השיפוע כפול.

$E$ אמצע $BC$, ולכן $\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{EB}=-\underline{u}$.

מבטאים את שני הווקטורים דרך $E$:

המכפלה הסקלרית 0 ושני הווקטורים שונים מאפס, ולכן $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$: הזווית $BAC$ ישרה.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{EC}=\underline{u}$ (לשכוח שהכיוון מ-$E$ אל $C$ הפוך לכיוון אל $B$). אז יוצא $\overrightarrow{AC}=\underline{u}-\underline{v}=\overrightarrow{AB}$, כאילו $B=C$, והמכפלה $|\underline{u}-\underline{v}|^2$ אינה אפס.

נסמן $C(0,c,0)$. לפי סעיף א, $AB\perp AC$:

$C(0,12,0)$.

בסיס הפירמידה $ABC$ נמצא במישור $z=0$, והגובה $SE$ מאונך לבסיס - כלומר מקביל לציר ה-$z$. לכן $S$ נמצא בדיוק מעל $E$, בגובה 9 (שיעור $z$ חיובי):

(בדיקה: $|\overrightarrow{EA}|=|(6,-3,0)|=\sqrt{45}$ ו-$|\overrightarrow{EB}|=|(3,-6,0)|=\sqrt{45}$, כנתון.)

טעות נפוצה: לשים את הזווית הישרה ב-$B$ ולפתור $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(3,3,0)\cdot(-6,c,0)=0$. מתקבל $c=6$, ואז $C(0,6,0)$, $E(3,3,0)$ ו-$S(3,3,9)$. לפי סעיף א הזווית הישרה היא ב-$A$, מול הצלע $BC$.

$\overrightarrow{SC}=C-S=(0,12,0)-(3,6,9)=(-3,6,-9)$.

כיוון הישר $BC$: $\overrightarrow{BC}=(-6,12,0)$, או בקיצור $(-1,2,0)$.

טעות נפוצה: לחשב את $F$ כ-$C+\frac13\overrightarrow{CS}=(1,10,3)$ - היחס $\frac13$ נמדד מ-$S$, ולכן יוצאים מ-$S$.

משוואת המישור $SAB$: שני וקטורים במישור הם $\overrightarrow{BA}=(3,3,0)$ ו-$\overrightarrow{BS}=(-3,6,9)$ (אפשר לצמצם: $(1,1,0)$ ו-$(-1,2,3)$). נחפש נורמל $\underline{n}=(a,b,c)$ שמאונך לשניהם:

$b=-a$. נבחר $a=1$: $b=-1$, ואז $-1-2+3c=0$, $c=1$. הנורמל $(1,-1,1)$.

המישור עובר דרך $B(6,0,0)$:

(בדיקה: $A$: $9-3+0-6=0$; $S$: $3-6+9-6=0$.)

מציבים את הנקודה הכללית של הישר $(2-t,\ 8+2t,\ 6)$:

טעות נפוצה: לבחור נורמל שמאונך רק ל-$\overrightarrow{BA}$, למשל $(1,-1,0)$, ולקבל את המישור $x-y-6=0$. אז $t=-4$ ו-$M=(6,0,6)$ - נקודה שאינה במישור $SAB$ ($6-0+6-6\neq0$).

הבסיסים של שתי הפירמידות ($ABC$ ו-$AEC$) נמצאים במישור $z=0$, ולכן הגובה של כל אחת הוא שיעור ה-$z$ של הקודקוד הרביעי: $S$ בגובה 9, ו-$M$ בגובה 6 (כמו $F$, כי הישר $FM$ מקביל ל-$BC$ שבמישור $z=0$).

$AE$ תיכון במשולש $ABC$, ותיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח: $S_{AEC}=\frac12S_{ABC}$.

נפח $SABC$ גדול פי 3.

טעות נפוצה: להשוות רק את הבסיסים ולענות "פי 2", כאילו לשתי הפירמידות אותו גובה. כאן $M$ נמוכה מ-$S$: 6 לעומת 9.

$z^6=-64=64\,cis180^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $-64=64\,cis0^\circ$ ולמצוא את שורשי $z^6=64$. מספר ממשי שלילי נמצא על החלק השלילי של הציר הממשי: ארגומנט $180^\circ$.

המכנה מתאפס כאשר $z^2=-4$, כלומר $z=2i=2cis90^\circ$ או $z=-2i=2cis270^\circ$.

שני אלה פוסלים מבין ששת הפתרונות של המונה. נשארים: $2cis30^\circ$, $2cis150^\circ$, $2cis210^\circ$, $2cis330^\circ$.

טעות נפוצה: לפסול את $\pm2$ (פתרונות $z^2=4$). המכנה הוא $z^2+4$, ומתאפס במספרים המדומים $\pm2i$.

$210^\circ=30^\circ+180^\circ$ ו-$330^\circ=150^\circ+180^\circ$: האלכסונים הם קטרים של המעגל ברדיוס 2, ולכן המרובע מלבן.

בין $150^\circ$ ל-$210^\circ$ זווית מרכזית $60^\circ$: צלע $2$.

בין $30^\circ$ ל-$150^\circ$ זווית מרכזית $120^\circ$:

טעות נפוצה: לקחת את אורך האלכסון (4) כצלע. האלכסון הוא הקוטר; הצלעות הן המיתרים של $60^\circ$ ו-$120^\circ$.

הסיבוב מכפיל כל קודקוד ב-$cis\alpha$. המכפלה:

עבור $\alpha=135^\circ$: $16\,cis540^\circ=16\,cis180^\circ=-16$.

טעות נפוצה: להכפיל את המודולים ב-4 במקום להעלות בחזקה ($2\cdot4=8$). במכפלה של ארבעה מספרים המודול הוא $2^4=16$.

המכפלה $16\,cis(4\alpha)$ מדומה טהורה כאשר $4\alpha=90^\circ+180^\circ k$, כלומר $\alpha=22.5^\circ+45^\circ k$.

בתחום $90^\circ<\alpha<180^\circ$: $k=2$ נותן $112.5^\circ$, ו-$k=3$ נותן $157.5^\circ$.

טעות נפוצה: לתת $22.5^\circ$ ו-$67.5^\circ$ בלי לבדוק את התחום הנתון. הסיבוב כאן בין $90^\circ$ ל-$180^\circ$.

$\alpha=112.5^\circ$: $16\,cis450^\circ=16\,cis90^\circ=16i$.

$\alpha=157.5^\circ$: $16\,cis630^\circ=16\,cis270^\circ=-16i$.

טעות נפוצה: לקחת את הארגומנט $\alpha$ במקום $4\alpha$ ולקבל $16\,cis112.5^\circ$ ו-$16\,cis157.5^\circ$ - מספרים שאינם מדומים טהורים. כל אחד מארבעת הקודקודים מסתובב, ולכן המכפלה היא $16\,cis(4\alpha)$.

המכנה חייב להיות שונה מ-0: $e^{2x}\neq a$.

$a>0$: $e^{2x}=a\ \Rightarrow\ 2x=\ln a\ \Rightarrow\ x=\frac12\ln a$. התחום: $x\neq\frac12\ln a$.

$a<0$: $e^{2x}>0>a$ תמיד, ולכן המכנה לא מתאפס - התחום: כל $x$.

טעות נפוצה: לפתור $e^{2x}=a$ כ-$x=\ln\frac a2$ (לחלק את $a$ ב-2 לפני הלוגריתם) ולקבל עבור $a>0$ את התחום השגוי $x\ne\ln\frac a2$.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$ ו-$e^{2x}\to0$, ולכן $f(x)\to\frac{0}{0-a}=0$.

$x\to+\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^{2x}$:

לכן יש אסימפטוטה אופקית אחת, $y=0$, בשני הכיוונים - גם עבור $a>0$ וגם עבור $a<0$.

טעות נפוצה: לחשוב שכאשר $x\to\infty$ מנה של שני ביטויים מעריכיים שואפת ל-1 (כמו $\frac{e^x}{e^x-a}$) ולקבוע אסימפטוטה $y=1$ מימין. המכנה $e^{2x}$ גדל מהר בהרבה מהמונה $e^x$.

נגזרת של מנה, עם $(e^{2x}-a)'=2e^{2x}$:

$e^x>0$ והמכנה ריבוע חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הפוך לסימן של $e^{2x}+a$.

$a>0$: $e^{2x}+a>0$, ולכן $f'<0$ - הפונקציה יורדת בכל אחד מהתחומים $x<\frac12\ln a$ ו-$x>\frac12\ln a$.

$a<0$: $e^{2x}+a=0$ כש-$e^{2x}=-a$, כלומר $x=\frac12\ln(-a)$. עבור $x<\frac12\ln(-a)$: $e^{2x}+a<0$ ו-$f'>0$ (עולה); עבור $x>\frac12\ln(-a)$: $f'<0$ (יורדת). ב-$x=\frac12\ln(-a)$ יש מקסימום.

טעות נפוצה: לגזור את המכנה $e^{2x}-a$ כ-$e^{2x}$, בלי המקדם 2. אז המונה יוצא $-ae^x$, הסימן נקבע לפי $a$ בלבד, ומתקבל 'עבור $a<0$ עולה לכל $x$' - בלי המקסימום.

$a=2$: אסימפטוטה אנכית ב-$x=\frac12\ln2>0$, והפונקציה יורדת בשני התחומים. משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי ולכן $f<0$; מימינה $f>0$. בגרף II האסימפטוטה במקום הנכון, אבל הענפים עולים. גרף IV: שני ענפים יורדים, השמאלי מתחת לציר והימני מעליו - מתאים.

$a=-2$: אין אסימפטוטה אנכית, $f>0$ לכל $x$ (מונה ומכנה חיוביים), ויש מקסימום ב-$x=\frac12\ln2$. גרף III כולו מתחת לציר ה-$x$; גרף I חיובי, עולה ואחר כך יורד, ומתקרב ל-$y=0$ משני הצדדים - מתאים.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II עבור $a=2$ כי האסימפטוטה בו במקום הנכון. צריך לבדוק גם את כיוון הענפים: עבור $a>0$ הפונקציה יורדת.

$g$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ($x\neq\frac12\ln2$) וגם $f(x)+1\neq0$.

$e^x=-2$ נפסל, ולכן $e^x=1$, $x=0$.

התחום: $x\neq0$, $x\neq\frac12\ln2$.

טעות נפוצה: לפתור $f(x)=1$ במקום $f(x)=-1$: מתקבל $e^{2x}-e^x-2=0$, $e^x=2$, והתחום השגוי $x\ne\ln2$, $x\ne\frac12\ln2$.

אנכית: ב-$x=0$ המכנה $f(x)+1\to0$ והמונה 1, ולכן $g\to\pm\infty$: אסימפטוטה $x=0$.