מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 10 בדרך לבגרות

$A$ היא נקודת ההשקה, ורדיוס המעגל ניצב למשיק בנקודת ההשקה. לכן $KA\perp MA$, והמשולש $MAK$ ישר-זווית ב-$A$.

היתר הוא $MK$, והניצבים הם $MA$ ו-$KA$. לפי משפט פיתגורס:

$K(0,3)$, ולכן $MK^2=x^2+(y-3)^2$; הרדיוס $KA=3$, ולכן $KA^2=9$:

טעות נפוצה: לזהות את $MA$ כיתר ולכתוב $MA^2=MK^2+9$. הזווית הישרה נמצאת ב-$A$, ולכן היתר הוא הצלע שמולה - $MK$.

באותו אופן, במשולש $MBL$ (ישר-זווית ב-$B$, רדיוס 1):

$MA=MB$ שקול ל-$MA^2=MB^2$:

$x^2$ ו-$y^2$ מתבטלים משני האגפים:

טעות נפוצה: לשכוח להוריד את ריבוע הרדיוס של אחד המעגלים (למשל לכתוב $MB^2=(x-4)^2+(y-1)^2$). כך מתקבל ישר מקביל אחר, $y=2x-4.25$.

מציבים $x=4$ בישר: $y=2\cdot4-4=4$, ולכן $M(4,4)$.

האורכים שווים, כפי שצפוי מנקודה על המקום הגאומטרי.

טעות נפוצה: לחשב את $MK$ ($\sqrt{17}$) ולהציג אותו כאורך המשיק. $MK$ הוא המרחק למרכז; אורך המשיק קצר ממנו.

מציבים $M(4,4)$: $16=2p\cdot4$, ולכן $p=2$. הפרבולה: $y^2=4x$.

משיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$: $yy_1=p(x+x_1)$.

בדיקה: ב-$x=4$, $y=2+2=4$ - המשיק עובר דרך $M$.

טעות נפוצה: לגזור את $y^2=4x$ כאילו $y=4x$, לקחת שיפוע 4 ולקבל את המשיק $y=4x-12$. כאן $y$ אינו מבודד: $2yy'=4$, ולכן $y'=\frac2y=\frac12$ ב-$M$.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ - מקבילית.

$\overrightarrow{BC}=(-2,-1,2)$:

מקבילית עם צלעות סמוכות שוות וזווית ישרה - ריבוע.

טעות נפוצה: להשוות את $\overrightarrow{AB}$ ל-$\overrightarrow{CD}$ במקום ל-$\overrightarrow{DC}$ - במקבילית ABCD הצלע הנגדית ל-AB באותו כיוון היא DC.

נורמל $\vec n=(a,b,c)$ המאונך ל-$\overrightarrow{AB}=(1,2,2)$ ול-$\overrightarrow{BC}=(-2,-1,2)$:

מחסרים: $3a+3b=0$, כלומר $b=-a$, ואז $a-2a+2c=0$, $c=\frac a2$. עם $a=2$: $\vec n=(2,-2,1)$.

מהצבת A: $2+d=0$, $d=-2$:

טעות נפוצה: לקחת כנורמל את אחד מווקטורי הצלעות, למשל $(1,2,2)$ - הנורמל מאונך לצלעות, לא מקביל להן; המישור $x+2y+2z-1=0$ אינו עובר דרך B.

שטח הבסיס: ריבוע שצלעו 3, $S_{ABCD}=9$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ ולקבל $h=\frac43$.

גובה הפירמידה הוא מרחק S ממישור הבסיס. נקודה כללית על הישר: $S(t,1,4+t)$.

$|t|=4$, ולכן $t=4$: $S(4,1,8)$, או $t=-4$: $S(-4,1,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $t=4$ בלבד ולשכוח את הערך המוחלט - הקודקוד יכול להיות משני צדי המישור.

הזווית $\alpha$ בין ישר למישור מקיימת $\sin\alpha=\frac{|\vec d\cdot\vec n|}{|\vec d||\vec n|}$, כש-$\vec d=(1,0,1)$ וקטור הכיוון של SC:

טעות נפוצה: לשכוח את $|\vec d|=\sqrt2$ במכנה ולקבל $\sin\alpha=\frac33=1$, כלומר $90^\circ$ - ישר שמאונך לבסיס.

נוסחת השורשים עם $a=1$, $b=-2+2i$, $c=-4i$:

$8i=(2+2i)^2$ (בדיקה: $4+8i-4=8i$ ✓).

טעות נפוצה: לחשב $\Delta=b^2+4c$ במקום $b^2-4ac$. עם $c=-4i$ צריך $-4\cdot(-4i)=+16i$.

$|2|=2$ ו-$|-2i|=2$: שתי הנקודות על המעגל $|z|=2$.

הארגומנטים: $0^\circ$ ו-$270^\circ$ ($-90^\circ$) - ההפרש $90^\circ$. שתי נקודות על מעגל שמרכזו O, בזווית מרכזית של $90^\circ$, הן קודקודים סמוכים של ריבוע החסום במעגל.

שני הקודקודים האחרים - בארגומנטים $90^\circ$ ו-$180^\circ$: $2i$ ו-$-2$.

טעות נפוצה: להשלים מקבילית עם הראשית ולקבל קודקוד $2-2i$, כאילו O היא קודקוד של הריבוע. O היא מרכז הריבוע, ולכן כל הקודקודים על המעגל $|z|=2$.

$2^4=16$.

$(2i)^4=16\cdot i^4=16\cdot1=16$.

$(-2)^4=16$.

$(-2i)^4=16\cdot i^4=16$.

לכן כל ארבעת הקודקודים פותרים $z^4=16$ (ולמשוואה ממעלה 4 יש בדיוק 4 פתרונות - אלה כולם).

טעות נפוצה: לחשב $(2i)^4=16i$ (לחשב את החזקה רק על 2). $i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$.

סיבוב סביב הראשית בזווית $45^\circ$ נגד כיוון השעון = כפל ב-$cis45^\circ$: המודול נשאר 2, ולכל ארגומנט מוסיפים $45^\circ$:

עכשיו יש 8 נקודות על $|z|=2$ במרווחים של $45^\circ$ - קודקודי מתומן משוכלל.

לפי דה-מואבר, לכל נקודה $2cis\theta$: $\left(2cis\theta\right)^8=256\,cis(8\theta)$, ו-$8\theta$ הוא כפולה של $360^\circ$ לכל $\theta=0^\circ,45^\circ,\ldots,315^\circ$.

לכן $b=256$.

טעות נפוצה: לחשב את $b$ מהקודקוד $2cis45^\circ$ בלי להכפיל את הארגומנט: $\left(2cis45^\circ\right)^8=256\,cis45^\circ$, ולהסיק שאין $b$ ממשי. לפי דה-מואבר הארגומנט מוכפל ב-8: $8\cdot45^\circ=360^\circ$.

$f'=0$: $x=0$ או $x=\sqrt[3]{\frac23}\approx0.874$.

$x<0$: $f'<0$; $0<x<\sqrt[3]{\frac23}$: $f'>0$; $x>\sqrt[3]{\frac23}$: $f'<0$.

מינימום $(0,0)$; מקסימום ב-$x=\sqrt[3]{\frac23}$, $f=\left(\frac23\right)^{\frac23}e^{-\frac23}\approx0.39$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-3x^2$ ולכתוב $f'(x)=2xe^{-x^3}+x^2e^{-x^3}=x(2+x)e^{-x^3}$ - מתקבלים "קיצונים" ב-$x=0$ ו-$x=-2$, ולא הביטוי שבשאלה.

האפסים של $f'$ הם $x=0$ ו-$x=\sqrt[3]{\frac23}$ (סעיף א). משמאל ל-0 ומימין ל-$\sqrt[3]{\frac23}$ מתקיים $f'<0$ והגרף אינו חוזר לציר, ולכן השטח הכלוא היחיד הוא בין שני האפסים.

בתחום הזה $f'\ge0$, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו:

טעות נפוצה: לחשב $f'\left(\sqrt[3]{\frac23}\right)-f'(0)=0$ - הקדומה של $f'$ היא $f$, ולכן מציבים ב-$f$.

הנגזרת של $e^{-x^3}$ היא $-3x^2e^{-x^3}$, ולכן:

טעות נפוצה: להציב $g(0)=-\frac13e^0=0$ ולהסיק $C=0$ - $e^0=1$, ולכן $C=\frac13$.

$g''(x)=f'(x)$, ונקודות הפיתול של $g$ הן הנקודות שבהן $f'$ מחליפה סימן - נקודות הקיצון של $f$ מסעיף א: $x=0$ ו-$x=\sqrt[3]{\frac23}$.

טעות נפוצה: לחפש נקודות פיתול של $g$ מהמשוואה $f''(x)=0$ - זו הנגזרת השלישית של $g$; נקודות הפיתול של $g$ הן אפסי $g''=f'$.

$e^x-2\ne0$, כלומר $x\ne\ln2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne2$ - המכנה מתאפס כש-$e^x=2$.

אנכית: $x=\ln2$.

$x\to\infty$: $f=\frac1{1-2e^{-x}}\to1$. $x\to-\infty$: $f\to\frac0{-2}=0$.

אסימפטוטות אופקיות: $y=1$ ו-$y=0$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את $x\to\infty$ ולפספס את $y=0$.

יורדת בשני הענפים.

טעות נפוצה: להחליף את סדר החיסור בכלל המנה ולקבל $f'>0$.

ענף שמאלי: $f<0$, מ-$0^-$ דרך $f(0)=\frac1{1-2}=-1$ ל-$-\infty$ ליד $\ln2$.

ענף ימני: מ-$+\infty$ יורד ושואף ל-1 מלמעלה.

טעות נפוצה: לחשב $f(0)=\frac{0}{0-2}=0$ - $e^0=1$, ולא 0.

$x\to\infty$: $g\to1$ - אסימפטוטה $y=1$. $x\to-\infty$: $g\to-\infty$.

ב-$x=\ln2$: $g\to1-2\cdot\frac12=0$ - גבול סופי, ולכן אין שם אסימפטוטה (רק נקודה חסרה).

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{2}{e^x}=2e^x$ - חלוקה ב-$e^x$ היא כפל ב-$e^{-x}$.

$g'(x)=2e^{-x}>0$ - עולה. $g(0)=-1$. נקודה ריקה ב-$(\ln2,0)$.

הגרף עולה מ-$-\infty$ ושואף ל-1 מלמטה.

טעות נפוצה: לצייר אסימפטוטה אנכית ב-$x=\ln2$ - שם $g$ שואפת ל-0.

$1-g(x)=2e^{-x}>0$:

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה של $e^{-x}$ כ-$e^{-x}$ (בלי המינוס) ולקבל $-\frac14$.

$f=g=\frac1f$, ומכפילים ב-$f$ ($f\ne0$): $f^2=1$.

$f=1$: $e^x=e^x-2$ - אין פתרון.

$f=-1$: $e^x=2-e^x$, $e^x=1$, $x=0$. הנקודה $(0,-1)$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את $f=1$ ולהסיק שהגרפים לא נחתכים.

אם $F$ קדומה של $f-g$, אז $s(x)=F(\ln1.5)-F(x)$, ולכן $s'(x)=-\big(f(x)-g(x)\big)=g(x)-f(x)$.

$s'=0$ כש-$f=g$, כלומר ב-$x=0$ (סעיף ג; בתחום כי $0<\ln1.5$).

ב-$x=-\ln2$: $f=\frac{0.5}{0.5-2}=-\frac13$, $g=-3$, $s'=-3+\frac13<0$. ב-$x=\ln1.25$: $f=\frac{1.25}{-0.75}=-\frac53$, $g=-\frac35$, $s'=-\frac35+\frac53>0$.

יורדת ואחר כך עולה: מינימום ב-$x=0$.

טעות נפוצה: לגזור את $s$ כאילו $x$ הוא הגבול העליון ולכתוב $s'(x)=f(x)-g(x)$ - הסימנים מתהפכים, ומתקבל "מקסימום ב-$x=0$"; כש-$x$ בגבול התחתון הנגזרת היא $-(f-g)=g-f$.