מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 9 בדרך לבגרות

מציבים $y=2x$ במשוואת הפרבולה:

$x=0$ הוא הראשית, ולכן $x=2$, $y=4$: $A(2,4)$.

טעות נפוצה: לכתוב $(2x)^2=2x^2$, לקבל $x=4$ ו-$A(4,8)$ - נקודה שאינה על הפרבולה ($64\ne32$).

$y^2=8x$ היא מהצורה $y^2=2px$ עם $2p=8$, כלומר $p=4$.

משיק בנקודה $(x_0,y_0)$ שעל הפרבולה: $yy_0=p(x+x_0)$. מציבים $A(2,4)$:

טעות נפוצה: להציב $2p$ במקום $p$ בנוסחת המשיק: $4y=8(x+2)$, כלומר $y=2x+4$ - ישר שאינו עובר כלל דרך A ($2\cdot2+4\ne4$).

$p=4$, ולכן המוקד $F\left(\frac p2,0\right)=(2,0)$.

$\ell$ בצורה כללית: $x-y+2=0$. המרחק של F מ-$\ell$:

$R^2=8$, ולכן מעגל I: $(x-2)^2+y^2=8$.

טעות נפוצה: לקחת את המוקד ב-$(4,0)$ (לחשוב שהמוקד הוא $(p,0)$). אז $R=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2$ ומתקבל $(x-4)^2+y^2=18$.

שיפוע $\ell$ הוא 1, ולכן שיפוע האנך הוא $-1$. האנך עובר דרך $F(2,0)$:

חיתוך עם $\ell$:

$B(0,2)$, ושיעור ה-$x$ שלה 0 - היא על ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לקחת את המוקד ב-$(4,0)$ (לבלבל בין $p$ ל-$\frac p2$). האנך $y=-x+4$ פוגש את $\ell$ ב-$(1,3)$, שאינה על ציר ה-$y$. המוקד של $y^2=8x$ הוא $(2,0)$.

רדיוס מעגל I הוא $2\sqrt2$, ורדיוס המעגלים הקטנים $\sqrt2$.

כל מרכז נמצא במרחק $\sqrt2$ מ-$F(2,0)$, ולכן המרכזים יוצרים מעגל שמרכזו F ורדיוסו $\sqrt2$:

טעות נפוצה: לחבר את הרדיוסים ($d=3\sqrt2$) ולקבל $(x-2)^2+y^2=18$ - זה המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים מבחוץ.

מ-$A$ ל-$C$ ומשם ל-$D$: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\underline v+\underline w$.

$E$ אמצע $AD$: $\overrightarrow{ED}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\underline v+\frac12\underline w$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DB}=\underline u+\underline v+\underline w$ - בדרך מ-$D$ ל-$B$ עוברים את $\overrightarrow{DA}$, שהוא הנגדי של $\overrightarrow{AD}$.

$\overrightarrow{DC}=-\underline w$, ולכן:

טעות נפוצה: לחבר $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}$ - כדי להגיע מ-$E$ ל-$F$ דרך $D$ צריך $\overrightarrow{ED}$ (מ-$E$ אל $D$).

$\underline u$ ו-$\underline v$ נמצאים במישור $ABC$, ו-$\underline w$ מאונך לו. וקטור המקביל למישור הוא צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$ בלבד.

לכל וקטור יש הצגה יחידה כצירוף של $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ (שלושה וקטורים שאינם באותו מישור), ולכן מקדם $\underline w$ חייב להיות 0:

טעות נפוצה: לאפס את מקדם $\underline u$ ולקבל $k=0$ - אז $F=D$, ו-$\overrightarrow{ED}$ בכלל אינו מקביל למישור.

$A$, $B$, $C$ במישור $z=0$, ו-$DC$ מאונך לו, ולכן $D$ בדיוק מעל $C$, בגובה 6: $D(0,4,6)$.

שטח הבסיס: $AC$ על ציר ה-$y$ באורך 4, והמרחק של $B$ מציר ה-$y$ הוא 4:

טעות נפוצה: לחשב את גובה המשולש לבסיס $AC$ כשיעור ה-$y$ של $B$ (2) - הבסיס $AC$ על ציר ה-$y$, והגובה אליו נמדד בכיוון $x$.

$E$ אמצע $AD$: $E=\left(0,\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(0,2,3)$.

$\overrightarrow{DB}=(4,-2,-6)$, $\overrightarrow{DC}=(0,0,-6)$:

$\overrightarrow{EF}=(1,1.5,0)$, $\overrightarrow{AB}=(4,2,0)$. $\frac14\ne\frac{1.5}{2}$, ולכן הישרים אינם מקבילים.

בכל נקודות הישר $EF$ שיעור ה-$z$ הוא 3, ובכל נקודות $AB$ הוא 0 - אין נקודה משותפת.

הישרים לא מקבילים ולא נחתכים, ולכן מצטלבים.

טעות נפוצה: לפתור מערכת רק עם רכיבי $x$ ו-$y$, למצוא פתרון ולהסיק "נחתכים" - צריך לבדוק גם את רכיב ה-$z$, ושם $3\ne0$.

הצמוד הוא שיקוף ביחס לציר הממשי: אותו מודול וארגומנט נגדי, $\bar z=R(\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha))$.

בחילוק בהצגה קוטבית מחלקים מודולים ומחסרים ארגומנטים:

טעות נפוצה: לחסר $\alpha-\alpha=0$ ולקבל $\frac{z}{\bar z}=1$ - הארגומנט של $\bar z$ הוא $-\alpha$, לא $\alpha$.

$-i=\cos270^\circ+i\sin270^\circ$. לפי סעיף א:

$\alpha=135^\circ$ (רביע שני) או $\alpha=315^\circ$ (רביע רביעי). $z$ ברביע השני, ולכן $\alpha=135^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את הארגומנט של $-i$ כ-$90^\circ$ - $-i$ נמצא על החלק השלילי של הציר המדומה, בזווית $270^\circ$.

$|2iz|=2R$ ו-$|\bar z|=R$:

טעות נפוצה: לחשב $|2i|=1$ (כמו $|i|$) ולקבל $2R=6\sqrt2$, כלומר $R=3\sqrt2$ ו-$z=-3+3i$ - $|2i|=2$, ולכן $|2iz|=2R$.

$B=-i$ ו-$C=\frac{\bar z}{z}=\overline{\left(\frac{z}{\bar z}\right)}=i$ - צמודים, ולכן סימטריים ביחס לציר הממשי, והאנך האמצעי ל-BC הוא הציר הממשי. במשולש שווה שוקיים קודקוד הראש על האנך האמצעי לבסיס, ולכן A על הציר הממשי.

$z+k=-2+2i+bi$ ממשי כש-$2+b=0$: $k=-2i$, $A=-2$.

הבסיס $BC=2$ (מ-$-i$ עד $i$) על הציר המדומה, והגובה הוא המרחק של A מהציר המדומה: 2.

טעות נפוצה: לבחור $k=2i$ - אז $z+k=-2+4i$, שאינו על הציר הממשי.

$e^x>0$, ולכן סימן $f'$ כסימן $x-1$: ירידה עבור $x<1$, עלייה עבור $x>1$.

$f(1)=e-2e+2=2-e\approx-0.72$: מינימום $(1,2-e)$.

טעות נפוצה: לחשב $f(1)=1\cdot e-2e+2=2+e$ - $e-2e=-e$.

$f(x)=(x-2)e^x+2$. כאשר $x\to-\infty$: $(x-2)e^x\to0$, ולכן $f\to2$: אסימפטוטה $y=2$. כאשר $x\to\infty$: $f\to\infty$.

$f(0)=0\cdot1-2\cdot1+2=0$.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה כ-$y=0$ (כי $e^x\to0$) - האיבר החופשי 2 נשאר.

בתחום $x<1$ הפונקציה יורדת, ולכן חותכת את ציר ה-$x$ לכל היותר פעם אחת - ב-$x=0$. מכיוון שהיא יורדת, $f>0$ עבור $x<0$ ו-$f<0$ עבור $0<x<1$.

בתחום $x>1$ היא עולה מ-$2-e<0$ לאינסוף, ולכן חותכת את הציר בדיוק פעם אחת, ב-$x_2$; $f(2)=2>0$, ולכן $1<x_2<2$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$f(0)=0$ ש-$x=0$ הוא נקודת המינימום - המינימום ב-$x=1$ שלילי, ולכן יש עוד חיתוך מימין לו.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $2-e^x=0$, $e^x=2$, $x=\ln2$. הנקודה $(\ln2,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $g(0)=\frac{2-1}{1-0}=1$. הנקודה $(0,1)$.

טעות נפוצה: לפתור $e^x=2$ כ-$x=\frac2e$ - הפעולה ההפוכה ל-$e^x$ היא $\ln$.

המכנה של $g'$ חיובי, ולכן סימן $g'$ כסימן $f$: חיובי עבור $x<0$, שלילי עבור $0<x<x_2$, חיובי עבור $x>x_2$.

לכן $g$ עולה עד $x=0$, יורדת עד $x_2$ ועולה אחר כך: מקסימום ב-$x=0$, $g(0)=1$ - הנקודה $(0,1)$; ונקודת מינימום אחת, ב-$x_2$.

טעות נפוצה: לחפש את הקיצון של $g$ ב-$x=1$, המינימום של $f$ - הקיצונים של $g$ הם באפסים של $f$.

וזה בדיוק מינוס המונה.

טעות נפוצה: לגזור $(2x)'=2x$ - הנגזרת של $2x$ היא 2.

בין $x=0$ ל-$x=\ln2$ הגרף מעל ציר ה-$x$ (המונה $2-e^x>0$ והמכנה חיובי).

לפי ד(1), קדומה של $g$ היא $-\ln(e^x-2x)$:

טעות נפוצה: להציב $e^{\ln2}=\ln2$ - $e^{\ln2}=2$.

$x^2>0$ לכל $x\neq0$, ולכן התחום $x\neq0$.

$f(-x)=\ln\left((-x)^2\right)=\ln(x^2)=f(x)$ - הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לכתוב $\ln(x^2)=2\ln x$ ולהסיק שהתחום $x>0$. הזהות נכונה רק ל-$x>0$; לכל $x\neq0$: $\ln(x^2)=2\ln|x|$.

$g=f(f-2)=0$: $f=0$ או $f=2$.

$\ln(x^2)=0$: $x^2=1$, $x=\pm1$.

$\ln(x^2)=2$: $x^2=e^2$, $x=\pm e$.

ארבע נקודות: $(-e,0)$, $(-1,0)$, $(1,0)$, $(e,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה $f^2=2f$ ב-$f$ ולאבד את הפתרון $f=0$, כלומר את הנקודות $(\pm1,0)$.

$f'(x)=\frac{2x}{x^2}=\frac2x$.

$g'=0$: $\ln(x^2)=1$, $x=\pm\sqrt e$. $g(\pm\sqrt e)=1-2=-1$.

סימן ב-$x>0$: ל-$x<\sqrt e$, $\ln(x^2)<1$ ו-$g'<0$; ל-$x>\sqrt e$, $g'>0$. לכן $(\sqrt e,-1)$ מינימום, ומהזוגיות גם $(-\sqrt e,-1)$.

טעות נפוצה: לקבוע את הסוג בצד שמאל לפי סימן $\ln(x^2)-1$ בלבד, בלי הגורם $\frac4x$ השלילי. כך יוצא ש-$(-\sqrt e,-1)$ מקסימום, בסתירה לזוגיות.

בתחום $x>e$: $\ln(x^2)>2$, ולכן $g=f(f-2)>0$ ו-$\ln(g(x))$ מוגדר.

לפי כלל השרשרת: $\left(\ln g(x)\right)'=\frac{g'(x)}{g(x)}=k(x)$.

בקטע $[e^2,e^3]$: $g'>0$ (כי $x>\sqrt e$), ולכן $k>0$ והשטח הוא האינטגרל:

$g(e^2)=4^2-2\cdot4=8$, $g(e^3)=6^2-2\cdot6=24$.