מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 9 מעל רמת בגרות

נסמן $C(x,y)$ ונפתח את התנאי:

השלמה לריבוע:

המרכז $(5,-10)$ לא תלוי ב-$K$. מעגל המשיק לציר ה-$x$ - רדיוסו שווה למרחק המרכז מציר ה-$x$, כלומר $r=|-10|=10$:

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס כמרחק המרכז מציר ה-$y$ ($r=5$) - מעגל המשיק לציר ה-$x$ מתרחק ממנו אנכית, כלומר לפי שיעור ה-$y$ של המרכז.

אחרי ההזזה: $x^2+y^2=100$, ולכן $E(0,10)$, $G(0,-10)$.

$EF_1$: $\frac xc+\frac y{10}=1$, כלומר $10x+cy-10c=0$. $GF_2$: $\frac x{-c}+\frac y{-10}=1$, כלומר $10x+cy+10c=0$.

הישרים מקבילים (אותם מקדמים של $x$ ו-$y$), והמרחק ביניהם:

טעות נפוצה: לחשב את המרחק מ-$E$ לישר $GF_2$ בלי לנרמל, או לחשב את המרחק $EG=20$ - הקטע $EG$ אינו מאונך לישרים, ולכן הוא ארוך מהמרחק ביניהם.

מחלקים מונה ומכנה ב-$c$ ($c>0$):

כש-$c$ גדל, $\frac{100}{c^2}$ קטן, ולכן $d$ גדל: $d$ פונקציה עולה ורציפה של $c$.

כש-$c\to0^+$: $d\to0$. כש-$c\to\infty$: $d\to20$, אבל $d$ לא מגיע ל-20 (המכנה תמיד גדול מ-1).

לכן $d$ מקבל כל ערך בתחום $0<d<20$, ורק אותם.

פירוש גאומטרי: הקטע $EG$, שאורכו 20, מחבר את שני הישרים המקבילים. המרחק בין הישרים קטן מכל קטע כזה, חוץ מהאנך המשותף, ו-$EG$ (על ציר ה-$y$) מאונך לישרים רק אם הם אופקיים - וזה לא קורה, כי הם עוברים דרך $(\pm c,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $0<d\le20$ - הערך 20 היה מתקבל רק אם $EG$ מאונך לישרים, כלומר רק "ב-$c$ אינסופי".

$b=10$ ($E$, $G$ קודקודי הציר הקטן), ו-$a^2=b^2+c^2=100+56.25=156.25$:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע רק את אחד האגפים, למשל $25c^2=9(100+c)$ - השורש מכסה את כל הביטוי $100+c^2$.

$EF_1$ עם $c=7.5$: $10x+7.5y-75=0$, ואחרי הכפלה ב-0.4: $4x+3y-30=0$.

מעגל המשיק לשני הצירים: מרכז $(\pm r,\pm r)$. ההשקה לישר: $\frac{|4x_0+3y_0-30|}{5}=r$. בודקים כל רביע:

רביע ראשון $(r,r)$: $|7r-30|=5r$, ולכן $r=15$ או $r=2.5$ - שני מעגלים.

רביע שני $(-r,r)$: $|-r-30|=r+30=5r$, ולכן $r=7.5$.

רביע רביעי $(r,-r)$: $|r-30|=5r$. $r-30=5r$ נותן $r<0$; $30-r=5r$ נותן $r=5$.

רביע שלישי $(-r,-r)$: $|-7r-30|=7r+30=5r$ - אין פתרון.

הסבר: מעגל ברביע השלישי שמשיק לשני הצירים נמצא כולו ברביע השלישי. הישר $4x+3y=30$ לא נכנס לרביע השלישי (שם $4x+3y<0<30$), ולכן אין לו נקודה משותפת עם המעגל.

סך הכל ארבעה מעגלים:

טעות נפוצה: לפתור ברביע הראשון רק $7r-30=5r$ ולקבל מעגל אחד - הישר חותך את הרביע הראשון, ויש בו מעגל חסום במשולש ($r=2.5$) ומעגל מחוץ לו ($r=15$).

נסמן $|\underline{u}|=|\underline{v}|=b$, ואז $|\underline{w}|=mb$. המכפלות בין וקטורים שונים הן 0 (זוויות ישרות).

$\overrightarrow{OH}$ מאונך ל-$\overrightarrow{AB}=\underline{v}-\underline{u}$ ול-$\overrightarrow{AC}=\underline{w}-\underline{u}$:

טעות נפוצה: לכתוב $|\underline{w}|^2=mb^2$ ולקבל $k=\frac tm$ - מעלים בריבוע גם את $m$.

לפי סעיף א, $\overrightarrow{OM}=t\underline{u}+t\underline{v}+\frac{t}{m^2}\underline{w}$ עבור $t$ מסוים.

M במישור ABC, ולכן $\overrightarrow{AM}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$, כלומר:

סכום המקדמים הוא 1. מיחידות ההצגה (שלושה וקטורים לא במישור אחד):

טעות נפוצה: לבחור $t=\frac13$ כמו בפירמידה שמקצועותיה שווים - שם $m=1$; באופן כללי סכום המקדמים הוא שקובע את $t$.

$\overrightarrow{OD}=\frac12(\underline{u}+\underline{v})$, ולכן $\frac{m^2}{2m^2+1}(\underline{u}+\underline{v})=\frac{2m^2}{2m^2+1}\overrightarrow{OD}$:

שני המקדמים חיוביים וסכומם 1, ולכן M על הקטע CD לכל $m$, ומתקיים:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ($CM:MD=1:2m^2$) - המקדם של $\overrightarrow{OD}$ הוא החלק של הקטע מ-C, כי ככל שהוא גדול M קרובה יותר ל-D.

נסמן $|\underline{u}|=b$: $\underline{u}=(b,0,0)$, $\underline{v}=(0,b,0)$, $\underline{w}=(0,0,\sqrt2b)$.

עבור $m=\sqrt2$: $\overrightarrow{OM}=\frac25\underline{u}+\frac25\underline{v}+\frac15\underline{w}=\left(\frac{2b}{5},\frac{2b}{5},\frac{\sqrt2b}{5}\right)$.

נפח: בסיס OAB (ישר זווית) וגובה OC:

טעות נפוצה: לקחת את אורך הגובה כ-$\sqrt{b^2+b^2+2b^2}$ (אורך $\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$) - הגובה הוא $|\overrightarrow{OM}|$, עם המקדמים מסעיף ב.

טעות נפוצה: לחסר את הזוויות בסדר הפוך בחילוק ($(\alpha-90^\circ)-\alpha=-90^\circ$). אז $\frac{z_1}{z_2}=-r^2i$ ומתקבל $w=\sin2\alpha-i\left(r^2+\cos2\alpha\right)$.

A על $y=x$: החלק המדומה שווה לחלק הממשי, $r^2-\cos2\alpha=\sin2\alpha$.

לכן $w=\sin2\alpha+i\sin2\alpha$, ו-:

$0^\circ<2\alpha<180^\circ$, ולכן $\sin2\alpha>0$: $\sin2\alpha=1$, $2\alpha=90^\circ$, $\alpha=45^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $|w|^2=\sqrt2$ במקום 2. אז $\sin^22\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin2\alpha\approx0.84$, ויוצאים ערכים שגויים כמו $\alpha\approx28.6^\circ$.

$z_1=\operatorname{cis}45^\circ$, $w=1+i=\sqrt2\operatorname{cis}45^\circ$, ולכן $z_1w=\sqrt2\operatorname{cis}90^\circ$.

לפי דה-מואבר:

המספר ממשי חיובי כאשר הזווית היא כפולה של $360^\circ$: $90^\circ n=360^\circ m$, כלומר $n$ מתחלק ב-4. הקטן ביותר: $n=4$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$n=2$ כי $(z_1w)^2=-2$ ממשי - אבל הוא שלילי.

$(z_1w)^2=2\operatorname{cis}180^\circ=-2$, ולכן $z^4=-16=16\operatorname{cis}180^\circ$.

$|z|=\sqrt[4]{16}=2$, הזוויות $45^\circ+90^\circ k$:

טעות נפוצה: להוציא שורש ריבועי לגודל ($\sqrt{16}=4$) ולקבל $4\operatorname{cis}(45^\circ+90^\circ k)$.

$B=2\operatorname{cis}45^\circ=(\sqrt2,\sqrt2)$, $C=2\operatorname{cis}135^\circ=(-\sqrt2,\sqrt2)$: הקטע BC מונח על הישר $y=\sqrt2$, בין $x=-\sqrt2$ ל-$x=\sqrt2$.

$|z|=b$ הוא מעגל שמרכזו O ורדיוסו $b$. חיתוך עם הישר $y=\sqrt2$:

יש חיתוך עם הישר רק כאשר $b\ge\sqrt2$ (המרחק של O מהישר). הנקודות על הקטע כאשר $\sqrt{b^2-2}\le\sqrt2$, כלומר $b\le2=|OB|$.

$b=\sqrt2$: נקודה אחת, $(0,\sqrt2)$ - המעגל משיק לקטע באמצעו.

$\sqrt2<b\le2$: שתי נקודות, סימטריות ביחס לציר ה-$y$ (ב-$b=2$ אלה B ו-C עצמן).

טעות נפוצה: לענות $0<b\le2$ ("כל מעגל שאינו גדול מ-$|OB|$"). מעגל שרדיוסו קטן מ-$\sqrt2$ אינו מגיע לישר $y=\sqrt2$ כלל.

תחום: $x>0$, $x\neq e^a$.

$f'=0$ כאשר $x=e^{a+1}$; משמאל (בתחום) $f'<0$, מימין $f'>0$ - מינימום.

$f\left(e^{a+1}\right)=\frac{e^{a+1}}{(a+1)-a}=e^{a+1}$.

טעות נפוצה: לכתוב את מונה נגזרת המנה בסדר הפוך ($1-(\ln x-a)$) ולקבוע מקסימום ב-$\left(e^{a+1},e^{a+1}\right)$.

לפי סעיף א, נקודת הקיצון היא $\left(e^{a+1},e^{a+1}\right)$: שיעור ה-$y$ שווה לשיעור ה-$x$, לכל $a$.

לכן כל נקודות הקיצון נמצאות על הישר $y=x$ (ולהפך: כל נקודה $(t,t)$ עם $t>0$ מתקבלת עבור $a=\ln t-1$).

טעות נפוצה: לחשב את המכנה $\ln\left(e^{a+1}\right)-a$ כ-$a+1$ (לשכוח את $-a$), לקבל $y=\frac{e^{a+1}}{a+1}$, ולהסיק בטעות שהנקודות לא על ישר.

מהלך הגרף:

ענף שמאלי ($0<x<e^a$): $f<0$, יורדת; $x\to0^+$: $f\to0^-$ (המכנה $\to-\infty$), ו-$x\to e^{a-}$: $f\to-\infty$. מקבלת כל ערך שלילי פעם אחת, ולא מקבלת את 0.

ענף ימני ($x>e^a$): יורדת מ-$+\infty$ עד המינימום $e^{a+1}$, ואז עולה ל-$\infty$. כל ערך $m>e^{a+1}$ מתקבל פעמיים, $m=e^{a+1}$ פעם אחת, וערכים קטנים מ-$e^{a+1}$ לא מתקבלים.

לכן: $m<0$ - פתרון אחד; $0\le m<e^{a+1}$ - אין; $m=e^{a+1}$ - אחד; $m>e^{a+1}$ - שניים.

טעות נפוצה: לספור את $m=0$ כפתרון של הענף השמאלי ("הגרף מתחיל ב-0") ולענות פתרון אחד עבור $m\le0$ - הנקודה $(0,0)$ ריקה, ו-$f$ לא מתאפסת.

$g(x)=\frac{\ln x-a}{x}$, ובקטע $x\ge e^{a+1}$ היא חיובית. פונקציה קדומה: $G(x)=\frac{(\ln x-a)^2}{2}$.

$(\ln k-a)^2=5$, ולכן $\ln k-a=\sqrt5$ או $\ln k-a=-\sqrt5$.

$k>e^{a+1}$ פירושו $\ln k-a>1$, ולכן נפסל $-\sqrt5$: $\ln k=a+\sqrt5$, $k=e^{a+\sqrt5}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגבול התחתון ($\left(\ln e^{a+1}-a\right)^2=1$) ולפתור $\frac{(\ln k-a)^2}{2}=2$, ומקבלים $k=e^{a+2}$.

הישרים $y=kx$ עוברים כולם דרך הראשית. המקרה הגבולי הוא הישר מהראשית שמשיק לגרף $\ln x$.

משיק בנקודה $(t,\ln t)$: שיפוע $\frac1t$, משוואה $y=\frac1t(x-t)+\ln t$. הוא עובר בראשית אם $0=-1+\ln t$, כלומר $t=e$, והשיפוע $\frac1e$.

עבור $k=\frac1e$ הישר משיק ב-$(e,1)$. עבור $0<k<\frac1e$ הישר פחות תלול ונכנס מתחת לגרף - שתי נקודות חיתוך. עבור $k>\frac1e$ הישר מעל הגרף לכל $x>0$.

(בדרך אלגברית: $\ln x=kx \iff k=\frac{\ln x}{x}$; הפונקציה $\frac{\ln x}{x}$ מקבלת מקסימום $\frac1e$ ב-$x=e$, ולכן אין פתרון בדיוק כאשר $k>\frac1e$.)