מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 16 מעל רמת בגרות

מקרה ראשון: $4x+3y+8=5x+20$, כלומר $3y=x+12$:

מקרה שני: $4x+3y+8=-5x-20$, כלומר $3y=-9x-28$:

טעות נפוצה: לפתוח את הערך המוחלט רק בצד אחד ($4x+3y+8=\pm5x+20$) - הנגדי של $5(x+4)$ הוא $-5x-20$, ולא $-5x+20$.

המרכז במרחק 10 מ-$\ell_2$: $|x_M+4|=10$, כלומר $x_M=6$ או $x_M=-14$. ברביע הראשון $x_M=6$.

המרכז על אחד מחוצי הזווית מסעיף א. על $y=-3x-\frac{28}3$ מתקבל $y=-27\frac13$ - לא ברביע הראשון. על $y=\frac13x+4$:

בדיקה: המרחק מ-$M$ ל-$\ell_1$ הוא $\frac{|24+18+8|}5=10$.

נקודת ההשקה היא עקב האנך מ-$M$ ל-$\ell_1$. הנורמל של $\ell_1$ הוא $(4,3)$. ב-$M$ הביטוי $4x+3y+8$ חיובי ($50$), ולכן כדי להגיע לישר הולכים מ-$M$ 10 יחידות נגד כיוון הנורמל, בכיוון $-\frac15(4,3)$:

בדיקה: $4\cdot(-2)+0+8=0$.

טעות נפוצה: לבחור $x_M=-14$ או את החוצה השני בלי לבדוק רביע - שני החוצים מכילים מרכזים של מעגלים ברדיוס 10, אבל רק אחד ברביע הראשון.

מהמדריך $x=-4$: $\frac p2=4$, $p=8$, והפרבולה $y^2=16x$.

מציבים $y^2=16x$ במשוואת המעגל $(x-c)^2+y^2=R^2$:

לכל שורש חיובי $x_0$ מתאימות שתי נקודות $(x_0,\pm\sqrt{16x_0})$. השקה בשתי נקודות = שורש כפול חיובי. דיסקרימיננטה אפס:

השורש הכפול הוא $x_0=c-8$. כדי שיהיו שתי נקודות השקה צריך $x_0>0$, כלומר $c>8$ (ב-$c=8$ המעגל נוגע בפרבולה רק בקודקוד).

טעות נפוצה: לדרוש רק $R^2>0$ ולקבל $c>4$ - עבור $4<c<8$ השורש הכפול שלילי, ואין נקודה על הפרבולה שבה $x<0$.

המעגל משיק ל-$\ell_1$ כשהמרחק מהמרכז $(c,0)$ לישר שווה לרדיוס:

לפי סעיף ג צריך $c>8$: עבור $c=8$ המעגל $(x-8)^2+y^2=64$ נוגע בפרבולה רק בראשית, ולכן נפסל.

עבור $c=13$: $R^2=16\cdot13-64=144$, $R=12$, ונקודות ההשקה $\left(5,\pm4\sqrt5\right)$.

המעגל: $(x-13)^2+y^2=144$.

טעות נפוצה: להשאיר את שני המעגלים - $c=8$ פותר את המשוואה הריבועית, אבל המעגל הזה משיק לפרבולה בנקודה אחת בלבד.

$\overrightarrow{CA'}=-\underline u-\underline v+\underline w$, $\overrightarrow{DB}=\underline u-\underline v$, $\overrightarrow{DC'}=\underline u+\underline w$. נסמן $|\underline u|=|\underline v|=a$, $|\underline w|=ka$; כל המכפלות המעורבות 0.

(זה מתקיים לכל $k$.)

ניצבות למישור דורשת ניצבות גם ל-$DC'$: $k^2a^2=a^2$, ו-$k>0$, ולכן $k=1$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את $DB$, לקבל 0 ולהסיק שהניצבות מתקיימת לכל $k$.

E על $CA'$: $\overrightarrow{CE}=t\,\overrightarrow{CA'}=-t\underline u-t\underline v+t\underline w$.

E במישור $BC'D$: $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\alpha\overrightarrow{DB}+\beta\overrightarrow{DC'}=(-1+\alpha+\beta)\underline u-\alpha\underline v+\beta\underline w$.

$\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ אינם במישור אחד, ולכן ההצגה יחידה ומשווים מקדמים:

$\overrightarrow{CE}=\frac13(-\underline v+\underline w-\underline u)=\frac13(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD})$ - הממוצע של הווקטורים לשלושת הקודקודים, כלומר E מפגש התיכונים.

$CE=\frac13CA'$, ולכן $CE:EA'=1:2$. החישוב לא השתמש ב-$k$, ולכן זה נכון בכל תיבה כזאת.

טעות נפוצה: להניח ש-E היא אמצע האלכסון (כמו נקודת המפגש של אלכסוני התיבה), $t=\frac12$, ולקבל $CE:EA'=1:1$ - מרכז התיבה אינו במישור $BC'D$; משוואת המקדמים נותנת $t=\frac13$.

$\overrightarrow{DC}=(2,2,1)$, $|\overrightarrow{DC}|=3$. בקובייה $DA\perp DC$ ו-$|DA|=3$:

$n=-1$ (ואז $p=-2$) או $n=-2.2$ (ואז $p=0.4$, נפסל כי $p<0$).

$A(2,-1,-2)$.

טעות נפוצה: להניח שהבסיס במישור $z=0$ ולקבוע $p=0$ - כאן $C$ אינו במישור $z=0$.

$\overrightarrow{AA'}=(a,b,c)$ מאונך ל-$\overrightarrow{DC}=(2,2,1)$ ול-$\overrightarrow{DA}=(2,-1,-2)$, ואורכו 3:

$2a+2b+c=0$, $2a-b-2c=0$, ומכאן $b=-2a$, $c=2a$: $\overrightarrow{AA'}=a(1,-2,2)$, $|a|=1$.

$A'=(2,-1,-2)+a(1,-2,2)$; שיעור ה-$z$ הוא $-2+2a<0$, ולכן $a=-1$ ו-$A'(1,1,-4)$.

לפי סעיף ב: $E=C+\frac13\overrightarrow{CA'}$, ו-$\overrightarrow{CA'}=(1,1,-4)-(2,2,1)=(-1,-1,-5)$:

(בדיקה: $B=A+\overrightarrow{DC}=(4,1,-1)$, $C'=C+\overrightarrow{AA'}=(1,4,-1)$, וממוצע B, $C'$, D הוא $\left(\frac53,\frac53,-\frac23\right)$.)

טעות נפוצה: לבחור $a=1$ - אז $A'(3,-3,0)$ ושיעור ה-$z$ שלה 0, לא שלילי.

לפי סעיף א (בקובייה), $\overrightarrow{CA'}=(-1,-1,-5)$ מאונך למישור $BC'D$, ולכן הוא וקטור נורמל: $x+y+5z=d$.

D בראשית נמצאת במישור, ולכן $d=0$: $x+y+5z=0$.

בדיקה: $B(4,1,-1)$: $4+1-5=0$; $C'(1,4,-1)$: $1+4-5=0$.

טעות נפוצה: להציב את C במשוואה כדי למצוא את $d$ - C אינה במישור $BC'D$.

פתרונות המונה: $z^6=729\,cis270^\circ$, כלומר $z=3cis(45^\circ+60^\circ k)$: $45^\circ,105^\circ,165^\circ,225^\circ,285^\circ,345^\circ$.

פתרונות המשוואה עם השבר הם פתרונות המונה שאינם מאפסים את המכנה. כדי שיישארו ארבעה, בדיוק שניים מהם צריכים לפתור את $z^2=w$.

אם $z_0$ פותר את המונה, גם $-z_0$ פותר אותו ($(-z_0)^6=z_0^6$). שני הפתרונות של $z^2=w$ הם $\pm\sqrt w$. לכן אם אחד מהם הוא פתרון של המונה - גם השני, ונפסלים בדיוק שניים.

לכן $w=z_0^2$ עבור פתרון $z_0$ של המונה:

טעות נפוצה: לתת שישה ערכים של $w$ (ריבוע של כל פתרון בנפרד). $z_0$ ו-$-z_0$ נותנים אותו ריבוע, ולכן יש רק שלושה ערכים שונים.

ששת הפתרונות הם קודקודי משושה משוכלל ברדיוס 3. בכל מקרה מוציאים זוג נקודות נגדיות ($z_0$, $-z_0$).

הנקודות שנשארות הן שני זוגות נגדיים: האלכסונים קטרים - מלבן. בכל מקרה הזוויות המרכזיות בין קודקודים סמוכים הן $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

הצלעות: מיתר של $60^\circ$ הוא $3$, מיתר של $120^\circ$ הוא $3\sqrt3$.

שלושת המלבנים הם סיבובים זה של זה ב-$120^\circ$, ולכן חופפים.

טעות נפוצה: לחשב את השטח כמכפלת האלכסונים חלקי 2, $\frac{6\cdot6}2=18$, כמו במעוין. הנוסחה נכונה רק כשהאלכסונים מאונכים, וכאן הזווית ביניהם $60^\circ$.

מכפלת ששת הפתרונות של המונה:

הזוג שהוצא: $z_0\cdot(-z_0)=-z_0^2=-w$. לכן מכפלת ארבעת הנשארים:

$w=9i$: $-\frac{729i}{9i}=-81$.

$w=9cis210^\circ$: $\frac{729cis270^\circ}{9cis210^\circ}=81cis60^\circ$.

$w=9cis330^\circ$: $\frac{729cis270^\circ}{9cis330^\circ}=81cis(-60^\circ)=81cis300^\circ$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$w$ במקום ב-$-w$ (לשכוח ש-$z_0\cdot(-z_0)=-z_0^2$) ולקבל את הנגדי של כל תשובה, למשל $81$ במקום $-81$.

הסיבוב מכפיל כל קודקוד ב-$cis\alpha$, ולכן את המכפלה ב-$cis4\alpha$. המודול נשאר 81, וצריך ארגומנט $0^\circ+360^\circ k$.

$w=9i$: $180^\circ+4\alpha=360^\circ k$ $\Rightarrow$ $\alpha=45^\circ$ (בתחום).

$w=9cis210^\circ$: $60^\circ+4\alpha=360^\circ k$ $\Rightarrow$ $\alpha=75^\circ$.

$w=9cis330^\circ$: $300^\circ+4\alpha=360^\circ k$ $\Rightarrow$ $\alpha=15^\circ$.

בכל מקרה $4\alpha$ בין $0^\circ$ ל-$360^\circ$, ולכן יש ערך יחיד של $\alpha$.

טעות נפוצה: לפתור $\text{arg}+\alpha=360^\circ k$ (סיבוב אחד במקום ארבעה) ולקבל $\alpha=180^\circ$, $300^\circ$, $60^\circ$ - רובם מחוץ לתחום.

נסמן $D(x)=e^x-x+2$. $D'(x)=e^x-1$ מתאפסת ב-$x=0$, שלילית משמאל וחיובית מימין - מינימום $D(0)=3$. לכן $D(x)\geq3>0$ ו-$g$ מוגדרת לכל $x$.

כאשר $x\to\infty$: $g=\frac{e^{-x}-1}{1-xe^{-x}+2e^{-x}}\to-1$. כאשר $x\to-\infty$: המונה שואף ל-1 והמכנה לאינסוף, $g\to0$.

טעות נפוצה: להסיק ש-$D>0$ רק מכך ש-$e^x>0$ - $-x+2$ שלילי עבור $x>2$, ולכן צריך למצוא את המינימום של $D$.

המכנה חיובי, ולכן סימן $g'$ כסימן $h(x)=(x-4)e^x+1$.

חוקרים את $h$: $h'(x)=(x-3)e^x$, ולכן $h$ יורדת עבור $x<3$ ועולה עבור $x>3$, עם מינימום $h(3)=1-e^3<0$. כאשר $x\to-\infty$, $h\to1$; כאשר $x\to\infty$, $h\to\infty$.

לכן ל-$h$ בדיוק שני אפסים. $h(-2)=1-\frac6{e^2}\approx0.19>0$, $h(-1)=1-\frac5e\approx-0.84<0$; $h(3)<0$, $h(4)=1>0$.

$h$ חיובית, שלילית, חיובית - $g$ עולה, יורדת, עולה: מקסימום ב-$x_1\in(-2,-1)$ ומינימום ב-$x_2\in(3,4)$.

טעות נפוצה: לחפש את אפסי $h(x)=(x-4)e^x+1$ בפתרון $x=4$ (מהגורם $x-4$) - האיבר $+1$ מונע פירוק לגורמים, ואת האפסים ממקמים לפי סימני $h$.

בנקודת קיצון $h(x_0)=0$: $(x_0-4)e^{x_0}=-1$, כלומר $e^{x_0}=\frac{1}{4-x_0}$. מציבים ב-$g$ וכופלים מונה ומכנה ב-$4-x_0$:

במינימום $3<x_2<4$, ולכן $-1<3-x_2<0$ ו-$g(x_2)=\frac1{3-x_2}<-1$.

(באותו אופן ערך המקסימום $\frac1{3-x_1}$ עם $4<3-x_1<5$, כלומר בין $\frac15$ ל-$\frac14$.)

טעות נפוצה: לפתוח $(2-x_0)(4-x_0)=8-x_0^2$ - חסרים האיברים $-6x_0$, ובלי הם לא מתקבל ריבוע שלם.

נקודת החיתוך היחידה: $(3,-1)$. (זה מתיישב עם סעיף ג: הגרף יורד אל מתחת ל-$-1$ לפני $x_2$ וחוזר אל $-1$ מלמטה.)

$g(0)=0$, ובקטע $[0,3]$ הגרף מתחת לציר ה-$x$ (המונה $1-e^x\leq0$).

המונה הוא מינוס נגזרת המכנה ($D'=e^x-1$), ולכן קדומה של $g$ היא $-\ln D(x)$:

טעות נפוצה: לכתוב את השטח כ-$\int_0^3g(x)\,dx$ בלי סימן מינוס ולקבל $-\ln\frac{e^3-1}{3}\approx-1.85$ - בקטע $[0,3]$ הגרף מתחת לציר ה-$x$, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

אם $k>2$: $f'>0$ לכל $x$ - עולה.

אם $k=2$: $f'=(\ln x)^2\ge0$, מתאפסת רק ב-$x=1$ ולא מחליפה סימן - עולה.

אם $k<2$: $f'<0$ כאשר $(\ln x)^2<2-k$, כלומר ב-$e^{-\sqrt{2-k}}<x<e^{\sqrt{2-k}}$ - יש תחום ירידה.