מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 15 מעל רמת בגרות

$K(1,2)$, $r_1=1$; $L(6,7)$, $r_2^2=31$. הרדיוס ניצב למשיק, ולכן לפי פיתגורס $MA^2=MK^2-1$ ו-$MB^2=ML^2-31$.

$x^2$ ו-$y^2$ מתבטלים:

המקום הגאומטרי הוא הישר $x+y=5$ (כל נקודותיו מחוץ לשני המעגלים, כפי שיתברר בסעיף ב: אורך המשיק המינימלי חיובי).

טעות נפוצה: להשוות $MK^2=ML^2$ (לשכוח את הרדיוסים) ולקבל את האנך האמצעי לקטע $KL$, הישר $x+y=8$. השוויון הוא בין אורכי המשיקים, ולכן מחסרים לכל מעגל את ריבוע הרדיוס שלו.

$MA^2=MK^2-1$, ולכן $MA$ קטן ביותר כאשר $MK$ קטן ביותר.

הנקודה על ישר שהכי קרובה ל-$K$ היא מרגל האנך מ-$K$ לישר.

הישר $x+y=5$ מאונך ל-$KL$ (שיפוע $KL$ הוא $\frac{7-2}{6-1}=1$, ושיפוע הישר $-1$), ולכן מרגל האנך מ-$K$ הוא נקודת החיתוך של הישר $KL$ ($y=x+1$) עם $x+y=5$:

הנקודה $M(2,3)$ ואורך המשיק המינימלי $1$ (ומאותה נקודה גם $MB=1$).

טעות נפוצה: לחפש את המינימום של $MK$ בנקודה שבה הישר חותך את המעגל או בנקודה הקרובה ביותר למעגל II. אורך המשיק תלוי רק במרחק מ-$K$, והמרחק הקצר ביותר מנקודה לישר הוא לאורך האנך.

$M(t,5-t)$. הזווית $KML$ ישרה כאשר $\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{ML}=0$ (או לפי פיתגורס $MK^2+ML^2=KL^2$).

$\overrightarrow{MK}=(1-t,\,t-3)$, $\overrightarrow{ML}=(6-t,\,t+2)$:

$M(0,5)$ או $M(4,1)$. שתיהן על הישר, ושתיהן מחוץ למעגלים ($MA^2=9$ בשתיהן).

טעות נפוצה: לחפש נקודה שבה $MK\perp KL$ (זווית ישרה ב-$K$) במקום ב-$M$. הזווית $KML$ היא הזווית שקודקודה $M$, בין הקטעים $MK$ ו-$ML$.

הנקודה $(0,5)$ אינה יכולה להיות על $y^2=2px$: ב-$x=0$ מתקבל $y^2=0$, כלומר רק הראשית. לכן הנקודה היא $(4,1)$.

משיק ל-$y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$: $yy_1=p(x+x_1)$:

טעות נפוצה: להציב את $(0,5)$ ולקבל $25=0$, ולהסיק "אין פתרון" לכל השאלה. צריך לבדוק את שתי הנקודות - רק אחת מהן נפסלת.

בריבוע ABCD הצלעות AB ו-BC מאונכות:

ניצבות לבדה מבטיחה רק זווית ישרה, ולכן בודקים שהצלעות שוות: עם $p=-3$, $\overrightarrow{AB}=(4,4,2)$ ו-$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+16+4}=6=|\overrightarrow{BC}|$. מתאים.

טעות נפוצה: לדרוש רק $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$: $16+(1-p)^2+4=36$ נותן $p=-3$ או $p=5$, ו-$p=5$ נותן צלעות שוות בלי זווית ישרה.

בריבוע $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$:

נורמל המאונך ל-$\overrightarrow{AB}=(4,4,2)$ ול-$\overrightarrow{BC}=(-4,2,4)$ (אחרי חלוקה: $(2,2,1)$ ו-$(-2,1,2)$):

מחברים: $3b+3c=0$, $c=-b$; אז $2a+b=0$. עם $b=-2$: $a=1$, $c=2$, $\vec n=(1,-2,2)$.

מהצבת B: $1-2+2+d=0$, $d=-1$:

טעות נפוצה: לחשב $D=A+\overrightarrow{CB}$ - כך מתקבלת נקודה מהצד השני של A, והמרובע אינו ריבוע.

שטח הבסיס $6^2=36$, ולכן $72=\frac13\cdot36\cdot h$, כלומר $h=6$.

$S(-3+t,3-3t,5+t)$, ומרחקה מהמישור:

$t=2$: $S(-1,-3,7)$; $t=-2$: $S(-5,9,3)$.

טעות נפוצה: להשתמש בנפח בלי $\frac13$ ולקבל $h=2$, כלומר $t=\pm\frac23$.

ההיטל H של S הוא נקודת החיתוך של הישר דרך S בכיוון הנורמל $(1,-2,2)$ עם המישור.

עבור $S(-1,-3,7)$: $H=(-1+k,-3-2k,7+2k)$, ומהצבה במישור:

$H=(-3,1,3)$. מציגים את $\overrightarrow{AH}$ בעזרת צלעות הריבוע ($\overrightarrow{AB}=(4,4,2)$, $\overrightarrow{AD}=(-4,2,4)$):

מהרכיב הראשון $\alpha=\beta$, ומהשני $6\alpha=4$: $\alpha=\beta=\frac23$ (גם הרכיב השלישי מתאים: $6\alpha=4$).

שני המקדמים בין 0 ל-1, ולכן H בתוך הריבוע.

עבור $S(-5,9,3)$ מתקבל באותה דרך $k=2$, $H=(-3,5,7)$, $\overrightarrow{AH}=(0,8,8)$, $\alpha=\beta=\frac43>1$ - מחוץ לריבוע.

התשובה: $S(-1,-3,7)$.

טעות נפוצה: לכתוב את ההיטל כ-$S+k\vec n$ עם $k$ בסימן הפוך (למשל $H=S+2\vec n=(1,-7,11)$) - הנקודה שמתקבלת אינה במישור. ההיטל חייב לקיים את משוואת המישור, ולכן בודקים בהצבה לפני שממשיכים.

$z^2=x^2-y^2+2xyi$, ולכן $z^2-ki=(x^2-y^2)+(2xy-k)i$ ו-$z^2+2i=(x^2-y^2)+(2xy+2)i$.

משווים את ריבועי הערכים המוחלטים; החלק הממשי מצטמצם:

$2xy-k=2xy+2$ אפשרי רק כש-$k=-2$, שאינו מותר. לכן $2xy-k=-(2xy+2)$:

טעות נפוצה: לכתוב את התוצאה כ-$y=\frac{k-2}{4x}$ בלי לשים לב שכאשר $k=2$ המקום הוא $xy=0$ - שני הצירים, ולא היפרבולה.

$-64=64\,\text{cis}180^\circ$. עבור $z=r\,\text{cis}\theta$: $r^6=64$, $r=2$; $6\theta=180^\circ+360^\circ m$:

הפתרונות: $2\text{cis}30^\circ$, $2\text{cis}90^\circ$, $2\text{cis}150^\circ$, $2\text{cis}210^\circ$, $2\text{cis}270^\circ$, $2\text{cis}330^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $-64=64\,\text{cis}0^\circ$ (להתעלם מהסימן) ולקבל את $2\text{cis}(60^\circ m)$ - אלה פתרונות של $z^6=64$.

המעגל החוסם: $x^2+y^2=4$. ברביע הרביעי $x>0$, $y<0$, ולכן צריך $xy<0$, כלומר $k<2$.

לכל נקודה על המעגל: $(x+y)^2\ge0$, ולכן $2xy\ge-(x^2+y^2)=-4$, כלומר $xy\ge-2$ (שוויון כש-$y=-x$).

לכן צריך $\frac{k-2}4\ge-2$, כלומר $k\ge-6$.

להפך: לכל $-2\le c<0$ יש פתרון ברביע הרביעי. מ-$x^2+y^2=4$, $xy=c$ מקבלים $(x-y)^2=4-2c>0$ ו-$(x+y)^2=4+2c\ge0$, ועם $x-y>0$ מתקבלת נקודה עם $x>0>y$.

התשובה: $-6\le k<2$ (ו-$k\neq-2$ לפי הנתון).

טעות נפוצה: לדרוש רק $xy<0$ ולענות $k<2$ - על מעגל ברדיוס 2 המכפלה $xy$ אינה קטנה מ-$-2$, ולכן עבור $k<-6$ אין חיתוך.

קודקודי מצולע I ברביע הרביעי: רק $2\text{cis}330^\circ=(\sqrt3,-1)$ ($2\text{cis}270^\circ=-2i$ על הציר).

הנקודה על המקום הגאומטרי: $xy=\sqrt3\cdot(-1)=-\sqrt3$:

(בתחום מסעיף ג: $2-4\sqrt3\approx-4.93$.)

ההיפרבולה $xy=c$ סימטרית לישר $y=-x$, ולכן נקודת החיתוך השנייה ברביע הרביעי היא השיקוף של $(\sqrt3,-1)$ בישר הזה: $(1,-\sqrt3)=2\text{cis}300^\circ$.

$300^\circ$ אינו מהצורה $30^\circ+60^\circ m$, ולכן הנקודה השנייה אינה קודקוד.

טעות נפוצה: לבחור את הקודקוד $2\text{cis}270^\circ$ ולקבל $xy=0$ - הנקודה $-2i$ נמצאת על ציר, לא ברביע הרביעי.

קודקודי II: מ-$2\text{cis}300^\circ$ מוסיפים $60^\circ$: $2\text{cis}(60^\circ m)$ - $0^\circ, 60^\circ,\dots,300^\circ$.

הכפל ב-$w=r\,\text{cis}\alpha$ שומר על המעגל רק אם $r=1$.

הקודקוד $2\text{cis}30^\circ$ צריך לעבור לקודקוד של II: $30^\circ+\alpha=60^\circ m$, כלומר $\alpha=-30^\circ+60^\circ m$, או (בתחום $0^\circ$-$360^\circ$) $\alpha=30^\circ+60^\circ m$.

כל סיבוב כזה מעביר את כל קודקודי I (שההפרש ביניהם $60^\circ$) על כל קודקודי II, ולכן כל שש האפשרויות מתאימות:

טעות נפוצה: לתת רק $w=\text{cis}30^\circ$ - המשושה סימטרי לסיבוב ב-$60^\circ$, ולכן כל הוספה של $60^\circ$ לזווית נותנת עוד פתרון.

כאשר $x\to-\infty$: $f\to(-1)^n-a$; כאשר $x\to\infty$: $f\to\infty$.

$f'(x)=n(e^x-1)^{n-1}e^x$, מתאפסת רק ב-$x=0$.

$n$ זוגי: החלפת סימן מ-$-$ ל-$+$: $\min(0,-a)$, והאסימפטוטה $y=1-a$.

$n$ אי-זוגי: $(e^x-1)^{n-1}\ge0$ - אין קיצון; האסימפטוטה $y=-1-a$.

טעות נפוצה: לכתוב את המינימום $(0,1-a)$ - ב-$x=0$ הביטוי $e^x-1$ מתאפס, ולכן $f(0)=-a$.

ה-$a$ מתבטל: שתי הפונקציות מוזזות באותו $-a$, וההפרש ביניהן אינו תלוי בו.

$t=e^x$: $t^2-4t+3=0$, $t=1,3$, כלומר $x=0$ ו-$x=\ln3$. ביניהן $g>f$.

טעות נפוצה: לכתוב $\int e^{2x}dx=e^{2x}$ (בלי לחלק ב-2) - מתקבל $\left[-e^{2x}+4e^x-3x\right]_0^{\ln3}=-3\ln3$, ואחרי ערך מוחלט "שטח" $3\ln3\approx3.30$; הקדומה של $e^{2x}$ היא $\frac{e^{2x}}2$.

עבור $n=2$: $f\to1-a<0$ משמאל, יורדת למינימום $(0,-a)$, ומתאפסת ב-$x=\ln(1+\sqrt a)$.

$h$: משמאל אסימפטוטה $y=a-1$, עולה למקסימום $(0,a)$, יורדת ל-0 ב-$\ln(1+\sqrt a)$ ועולה ל-$\infty$.

הענף השמאלי מקבל את הערכים $a-1<k<a$; הירידה - $0<k<a$; העלייה הימנית - כל $k>0$.

לכן: $0<k\le a-1$ - 2 פתרונות; $a-1<k<a$ - 3; $k=a$ - 2 (המקסימום והענף הימני); $k>a$ - 1.

טעות נפוצה: לכלול את $k=a-1$ בתחום של שלושה פתרונות ($a-1\le k<a$) - הענף השמאלי רק מתקרב לאסימפטוטה $y=a-1$ ולא מגיע אליה, ולכן ל-$k=a-1$ יש שני פתרונות בלבד.

לפי סעיף ג, יש 3 נקודות בדיוק כאשר $a-1<k<a$. עם $k=3$:

טעות נפוצה: לכלול את $a=4$ - אז הישר $y=3$ הוא האסימפטוטה $y=a-1$, שהגרף אינו מגיע אליה, ויש רק 2 נקודות חיתוך.

$5-e^x>0\iff e^x<5\iff x<\ln5$.

טעות נפוצה: לכתוב $x<5$ - האי-שוויון הוא על $e^x$, ולכן מוציאים $\ln$.

$x\to\ln5^-$: $\ln(5-e^x)\to-\infty$ ו-$b>0$, ולכן $f\to-\infty$: $x=\ln5$.

$x\to-\infty$: $5e^x\to0$, $b\ln(5-e^x)\to b\ln5$, $-x\to\infty$: $f\to\infty$, אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לטעון ש-$f\to b\ln5$ כאשר $x\to-\infty$ (כי $5e^x\to0$ ו-$\ln(5-e^x)\to\ln5$) ולכתוב אסימפטוטה אופקית $y=b\ln5$. שוכחים את המחובר $-x\to\infty$.

נסמן $t=e^x$, $0<t<5$. המכנה חיובי, ולכן סימן $f'$ כסימן $N(t)=-5t^2+(26-b)t-5$.

משיק אופקי: $N(t)=0$. בלי החלפת סימן: השורש כפול (בשורש פשוט הטרינום מחליף סימן). לכן הדיסקרימיננטה אפס:

השורש הכפול הוא $t=\frac{26-b}{10}$: עבור $b=16$, $t=1$ (מתאים, $x=0$); עבור $b=36$, $t=-1$ - אין $x$ כזה, ואז $N(t)<0$ תמיד ואין משיק אופקי.

לכן $b=16$, ו-$f'(x)=\frac{-5(e^x-1)^2}{5-e^x}$.

טעות נפוצה: להשאיר את $b=36$ - השורש הכפול שלו $e^x=-1$ אינו אפשרי.

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, $f'\to\frac{-5}{5}=-1$: $y=-1$.

$x\to\ln5^-$: המונה שואף ל-$-5\cdot16=-80$ והמכנה ל-$0^+$: $f'\to-\infty$, ולכן $x=\ln5$.

טעות נפוצה: לחשב את הגבול משמאל כ-$\frac{-5}{5-0}\cdot0$ - $(e^x-1)^2\to1$, לא 0.