מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 6 מעל רמת בגרות

גוזרים את משוואת הפרבולה גזירה סתומה (לפי $x$):

בנקודה $A(x_0,y_0)$ שיפוע המשיק הוא $\frac{25}{y_0}$, וצריך שיהיה $-\frac{5}{12}$:

(השיפוע שלילי, ולכן הנקודה בחלק התחתון של הפרבולה.)

מציבים במשוואת הפרבולה: $(-60)^2=50x_0$, כלומר $x_0=\frac{3600}{50}=72$.

לכן $A(72,-60)$.

טעות נפוצה: לכתוב $y'=\frac{50}{y}$ (לשכוח לחלק ב-2 את הגזירה של $y^2$), ולקבל $y_0=-120$ ו-$x_0=288$, כלומר $A(288,-120)$.

משיק למעגל ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה. המשיק לפרבולה משיק גם למעגל בנקודה $A$, ולכן $AM$ ניצב לו.

שיפוע המשיק $-\frac{5}{12}$, ולכן שיפוע $AM$ הוא $m$ שמקיים $-\frac{5}{12}\cdot m=-1$, כלומר $m=\frac{12}{5}=2.4$.

הישר עובר דרך $A(72,-60)$:

בצורה כללית (כופלים ב-5): $12x-5y-1164=0$.

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי בלי לשנות סימן ($-\frac{12}{5}$), ולקבל $y=-2.4x+112.8$ - ישר שאינו ניצב למשיק; מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$.

המרכז $M$ נמצא על הישר $AM$, ולכן $M(m,\,2.4m-232.8)$.

ציר ה-$y$ משיק למעגל, ולכן הרדיוס שווה למרחק של $M$ מציר ה-$y$: $R=|m|$. המעגל משיק לציר ה-$y$ ועובר דרך $A$ שמימין לציר, ולכן כולו מימין לציר: $m>0$ ו-$R=m$.

גם $A$ על המעגל, ולכן $MA=R$. על הישר $AM$ שיפועו $\frac{12}{5}$: כשה-$x$ משתנה ב-$d$, ה-$y$ משתנה ב-$\frac{12}{5}d$, והמרחק הוא $\sqrt{d^2+\frac{144}{25}d^2}=\frac{13}{5}|d|$:

נתון $m<72$, ולכן $|72-m|=72-m$:

$M(52,\,124.8-232.8)=M(52,-108)$ ו-$R=52$. בדיקה: $MA=\sqrt{20^2+48^2}=\sqrt{2704}=52$.

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי $x_M<x_A$ ולפתור $\frac{13}{5}(m-72)=m$ - מתקבל $m=117$, כלומר המעגל $(x-117)^2+(y-48)^2=13689$, שמרכזו מימין ל-$A$, ואינו המעגל המבוקש.

הרדיוס $MB$ ניצב למשיק בנקודה $B$, ולכן המשולש $MBP$ ישר-זווית ב-$B$.

לפי משפט פיתגורס:

כלומר $MP=65$ לכל מיקום של $B$ על המעגל (ולכל אחד משני הכיוונים על המשיק).

כל נקודה $P$ נמצאת במרחק קבוע 65 מ-$M$, ולכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $M(52,-108)$ ורדיוסו 65:

טעות נפוצה: לשים את הזווית הישרה ב-$P$ במקום ב-$B$ ולחשב $MP^2=MB^2-BP^2=2704-1521=1183$, כלומר $(x-52)^2+(y+108)^2=1183$. הזווית הישרה היא בנקודת ההשקה $B$, ולכן $MP$ הוא היתר.

המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 65, ולכן הקוטר שלו $2R=130$.

המרחק בין שתי נקודות על המעגל הוא אורך המיתר ביניהן, והוא יכול להיות כל אורך עד הקוטר. $120<130$, ולכן יש שתי נקודות כאלה.

דוגמה מפורשת: מחפשים מיתר אופקי באורך 120. חצי אורכו 60, ולכן קצותיו $(52\pm60,\ y)$, ועליהם להיות על המעגל:

הנקודות $(-8,-83)$ ו-$(112,-83)$ על המקום הגאומטרי, והמרחק ביניהן $112-(-8)=120$.

טעות נפוצה: להשוות את 120 לרדיוס (65) ולענות "לא" כי 120 גדול מהרדיוס. המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על מעגל הוא הקוטר, 130, ולא הרדיוס.

מעלים בריבוע את שני האגפים (שניהם אי-שליליים):

לכן $AE\perp EC$, כלומר $AE\perp BC$.

$E$ אמצע $BC$, ולכן $AE$ הוא גם תיכון וגם גובה במשולש $ABC$ - והמשולש שווה שוקיים, $AB=AC$.

(בדרך ישירה: $\underline{u}+\underline{v}=\overrightarrow{AC}$ ו-$\underline{u}-\underline{v}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}$, כך שהנתון הוא בדיוק $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}|$.)

טעות נפוצה: להסיק ש-$\underline{u}+\underline{v}=\underline{u}-\underline{v}$ ולכן $\underline{v}=\underline 0$, או להסיק שהמשולש ישר זווית - הזווית הישרה היא בין $AE$ ל-$BC$, לא בקודקוד של המשולש.

לפי סעיף א, $AC=AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$, ולכן $C(13,0,0)$.

הגובה $SE$ מאונך למישור הבסיס $z=0$, ולכן $S(9,6,12)$.

טעות נפוצה: לחשב את $AB$ כ-$5+12=17$ (סכום הרכיבים) במקום $\sqrt{5^2+12^2}$.

$\overrightarrow{SC}=(4,-6,-12)$, ולכן $F=S+t\overrightarrow{SC}=(9+4t,\ 6-6t,\ 12-12t)$.

הישר $FM$: $\underline{x}=(9+4t,\ 6-6t,\ 12-12t)+s(1,0,0)$.

המישור $ABS$: נורמל מאונך ל-$\overrightarrow{AB}=(5,12,0)$ ול-$\overrightarrow{AS}=(9,6,12)$. מ-$5a+12b=0$ ו-$9a+6b+12c=0$ עם $a=24$: $b=-10$, $c=-13$.

מציבים את נקודת הישר:

תובנה: $M=(1-t)S$, כלומר $M$ נמצאת על המקצוע $SA$ ו-$\overrightarrow{SM}=t\cdot\overrightarrow{SA}$. הסיבה: הישר דרך $F$ המקביל ל-$AC$ נמצא במישור $SAC$, והוא חותך את המישור $ABS$ על קו החיתוך של שני המישורים - הישר $SA$.

טעות נפוצה: להשתמש באותו פרמטר $t$ גם על הישר $FM$: $24(9+5t)-10(6-6t)-13(12-12t)=0$ נותן $336t=0$, ומתקבל $M=(9,6,12)$, כלומר $M=S$ לכל $t$. $t$ כבר תפוס (מיקום $F$), ולכן לישר צריך פרמטר נוסף.

נסמן ב-$V$ את נפח הפירמידה $SABC$.

$MABC$: אותו בסיס $ABC$, וגובה $z_M=12(1-t)$ במקום 12. לכן $V_{MABC}=(1-t)V$.

$SMFB$: נסתכל על $B$ כקודקוד ועל $SMF$ כבסיס. $SMF$ נמצא במישור $SAC$, ו-$MF\parallel AC$ - לכן המשולש $SMF$ דומה למשולש $SAC$ ביחס $\frac{SF}{SC}=t$, ושטחו $t^2S_{SAC}$.

הגובה מ-$B$ למישור $SAC$ זהה בשתי הפירמידות $SMFB$ ו-$SACB$, ולכן $V_{SMFB}=t^2V$.

$t=-\frac12$ נפסל ($0<t<1$), ולכן $t=\frac13$.

(בדיקה: $V=\frac13\cdot78\cdot12=312$; $V_{MABC}=208$, $V_{SMFB}=\frac{312}{9}$, והיחס 6.)

טעות נפוצה: לכתוב $V_{SMFB}=tV$ (יחס דמיון במקום יחס שטחים) - השטח של משולש דומה משתנה בריבוע יחס הדמיון, ואז מתקבל $t=\frac17$.

$z=x+iy$ ו-$\bar z=x-iy$, ולכן $z-\bar z=2iy$ ו-$\frac{z-\bar z}{2i}=y$.

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ - המרחק של הנקודה מהראשית.

המשוואה היא:

האגף השמאלי אי-שלילי, ולכן $y+4\ge0$. מעלים בריבוע:

(מ-$x^2=8y+16$ נובע $y\ge-2$, כך שהתנאי $y+4\ge0$ מתקיים תמיד.) זו פרבולה שקודקודה $(0,-2)$: $y=\frac18x^2-2$. בלשון גאומטרית: המרחק מהמוקד $(0,0)$ שווה למרחק מהמדריך $y=-4$.

טעות נפוצה: לפתוח את $(y+4)^2$ כ-$y^2+16$, בלי האיבר האמצעי $8y$. מתקבל $x^2=16$, כלומר שני ישרים $x=\pm4$ ולא פרבולה.

קודם כותבים את אגף ימין בהצגה קוטבית. לפי דה-מואבר $w^4=r^4\operatorname{cis}4\theta$, ו-$-1=\operatorname{cis}180^\circ$:

נכתוב $z=\rho\operatorname{cis}\varphi$, ואז $z^4=\rho^4\operatorname{cis}4\varphi$.

השוואת מודולים: $\rho^4=\frac1{r^4}$, ולכן $\rho=\frac1r$.

השוואת ארגומנטים (עד כדי כפולות של $360^\circ$): $4\varphi=180^\circ-4\theta+360^\circ k$, ולכן $\varphi=45^\circ-\theta+90^\circ k$, $k=0,1,2,3$:

(המצולע I הוא ריבוע שמרכזו בראשית, וקודקודיו במרחק $\frac1r$ ממנה.)

טעות נפוצה: להשמיט את הסימן מינוס ולפתור $z^4=\frac1{w^4}$. מתקבלים $\frac1r\operatorname{cis}(-\theta+90^\circ k)$ - ריבוע מסובב ב-$45^\circ$ ביחס לריבוע הנכון.

לפי דה-מואבר: $w^2=r^2\operatorname{cis}2\theta$.

כפל ב-$-1=\operatorname{cis}180^\circ$ מוסיף $180^\circ$ לארגומנט: $-w^2=r^2\operatorname{cis}(2\theta+180^\circ)$.

בחילוק מחלקים מודולים ומחסרים ארגומנטים:

טעות נפוצה: לבלבל בין הנגדי לצמוד ולכתוב $-w^2=r^2\operatorname{cis}(-2\theta)$ - הנגדי הוא סיבוב ב-$180^\circ$ סביב הראשית, לא שיקוף בציר הממשי.

$w^2$ ו-$-w^2$ סימטריים ביחס לראשית, וגם $\frac1w$ ו-$-\frac1w$. לכן האלכסונים של מצולע II (הקטע מ-$w^2$ ל-$-w^2$ והקטע מ-$\frac1w$ ל-$-\frac1w$) חוצים זה את זה בראשית, והמצולע הוא מקבילית.

מקבילית היא מעוין אם ורק אם האלכסונים שלה מאונכים.

האלכסון הראשון בכיוון $2\theta$, והשני בכיוון $-\theta$. הזווית ביניהם $2\theta-(-\theta)=3\theta$, והם מאונכים כש-$3\theta=90^\circ+180^\circ k$.

מ-$0^\circ<\theta<45^\circ$ נובע $0^\circ<3\theta<135^\circ$, ולכן $3\theta=90^\circ$ ו-$\theta=30^\circ$.

טעות נפוצה: לדרוש שהאלכסונים יהיו שווים ($2r^2=\frac2r$) ולקבל $r=1$, שאינו קובע את $\theta$. אלכסונים שווים במקבילית נותנים מלבן, לא מעוין.

מסעיף ד, $\theta=30^\circ$, ולכן $w=r\operatorname{cis}30^\circ=\frac{\sqrt3r}{2}+\frac r2i$.

הנקודה $\left(\frac{\sqrt3r}2,\frac r2\right)$ על $x^2=8y+16$:

$r=8$ או $r=-\frac83$; $r>0$, ולכן $r=8$.

שטח מצולע II (מעוין): האלכסונים $|w^2-(-w^2)|=2r^2$ ו-$\left|\frac1w-\left(-\frac1w\right)\right|=\frac2r$:

שטח מצולע I (ריבוע): הקודקודים במרחק $\frac1r$ מהמרכז, ולכן האלכסון $\frac2r$:

טעות נפוצה: לחשב את שטח המעוין כמכפלת האלכסונים בלי לחלק ב-2 ($S_{II}=4r=32$), ולקבל יחס 1024.

$u=e^x>0$: $u^2-6u+m=0$. לכל שורש חיובי $u$ מתאים $x=\ln u$ יחיד.

דרושים שני שורשים חיוביים שונים: דיסקרימיננטה $36-4m>0$ ($m<9$), מכפלה $m>0$ וסכום $6>0$.

לכן $0<m<9$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הדיסקרימיננטה ולענות $m<9$ - עבור $m\le0$ אחד השורשים $u\le0$ ואין לו $x$.

אנכיות - באפסים של $f$: $u=3\pm\sqrt{9-m}$ (שניהם חיוביים), $x=\ln\left(3\pm\sqrt{9-m}\right)$.

$x\to-\infty$: $f\to m\ne0$, ולכן $g\to\frac1m$: $y=\frac1m$.

$x\to\infty$: $f\to\infty$ ו-$g\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: להעתיק את הגבול של $f$ ולכתוב $y=m$ במקום $y=\frac1m$.

$f'(x)=2e^{2x}-6e^x=2e^x(e^x-3)$, ו-$g'(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$.

$g'=0$ רק ב-$x=\ln3$ - ללא תלות ב-$m$. הנקודה בתחום, כי $3-\sqrt{9-m}<3<3+\sqrt{9-m}$ (בין שתי האסימפטוטות).

משמאל ל-$\ln3$: $f'<0$ ולכן $g'>0$; מימין $g'<0$ - מקסימום.

$m=5$ בתחום $0<m<9$.

טעות נפוצה: לחשב $e^{2\ln3}=2\cdot3=6$ במקום $\left(e^{\ln3}\right)^2=9$, לקבל $f(\ln3)=6-18+m=m-12$, ואז $\frac1{m-12}=-\frac14$ ו-$m=8$.

עבור $m=5$: $f=(e^x-1)(e^x-5)$, אסימפטוטות $x=0$, $x=\ln5$, $y=\frac15$ (משמאל), $y=0$ (מימין).

ענף שמאלי ($x<0$): $0<f<5$ ו-$f$ יורדת, ולכן $g$ עולה מ-$\frac15$ (לא כולל) ל-$+\infty$ - כל $k>\frac15$ פעם אחת.

ענף אמצעי ($0<x<\ln5$): $f<0$; $g$ עולה מ-$-\infty$ עד $-\frac14$ ב-$\ln3$ ויורדת ל-$-\infty$ - כל $k<-\frac14$ פעמיים, $k=-\frac14$ פעם אחת.

ענף ימני ($x>\ln5$): $f$ עולה מ-0 לאינסוף, ולכן $g$ יורדת מ-$+\infty$ ל-0 - כל $k>0$ פעם אחת.

סיכום: $k>\frac15$ - שני פתרונות (שמאלי וימני); $0<k\le\frac15$ - אחד; $-\frac14<k\le0$ - אין; $k=-\frac14$ - אחד; $k<-\frac14$ - שניים.

תשובה: $k<-\frac14$ או $k>\frac15$.

טעות נפוצה: לכלול את $k=\frac15$ - הענף השמאלי רק מתקרב ל-$\frac15$ ולא מגיע אליו, ולכן ל-$g(x)=\frac15$ יש פתרון אחד בלבד (בענף הימני).