מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 7 מעל רמת בגרות

פרבולה: $\frac p2=t$, ולכן $y^2=4tx$. אליפסה: $c=t$, $b^2=a^2-t^2$: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-t^2}=1$.

המדריך $x=-t$. מציבים באליפסה:

($a>t$, ולכן $\frac{a^2-t^2}{a}>0$.) $A\left(-t,\frac{a^2-t^2}{a}\right)$, $B\left(-t,-\frac{a^2-t^2}{a}\right)$.

הישר $x=t$ חותך את הפרבולה ב-$y^2=4t^2$: $C(t,2t)$, $D(t,-2t)$.

טעות נפוצה: לכתוב $b^2=a^2+t^2$, ולקבל $y^2=\frac{a^4-t^4}{a^2}$, כלומר $A\left(-t,\frac{\sqrt{a^4-t^4}}{a}\right)$.

$AB$ ו-$CD$ אנכיים ולכן מקבילים, וציר ה-$x$ ציר הסימטריה של שניהם: $ABDC$ טרפז שווה-שוקיים (או מלבן), ולכן בר-חסימה.

המרכז $M(x_0,0)$ על ציר ה-$x$. נסמן $k=\frac{a^2-t^2}{a}$. $MA=MC$:

טעות נפוצה: לקחת את המרכז באמצע בין הישרים $x=-t$ ו-$x=t$, כלומר $x_0=0$ לכל $a$ - זה נכון רק כאשר $AB=CD$.

$x_0>0 \iff 4t^2>k^2 \iff 2t>k$ (שני הצדדים חיוביים).

שורשי $a^2-2ta-t^2=0$: $a=t(1\pm\sqrt2)$. הביטוי שלילי בין השורשים: $(1-\sqrt2)t<a<(1+\sqrt2)t$.

עם התנאי $a>t$ (כדי שתהיה אליפסה שמוקדה $F$): $t<a<(1+\sqrt2)t$.

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $a>t$ ולענות $(1-\sqrt2)t<a<(1+\sqrt2)t$ - עבור $a\le t$ אין אליפסה שמוקדה $(t,0)$.

$AB\parallel CD$ והמרובע שווה-שוקיים, ולכן הוא מלבן בדיוק כאשר $AB=CD$:

(השורש $(1-\sqrt2)t$ שלילי ונפסל.) במקרה הזה גם $x_0=0$ - המרכז בראשית, כפי שמתאים למלבן.

ריבוע דורש בנוסף $AB=AC$. במלבן $AB=CD=4t$, אבל $AC$ הוא המרחק בין הישרים $x=-t$ ו-$x=t$, כלומר $2t$. $4t\ne2t$, ולכן אין $a$ שבעבורו המרובע ריבוע.

טעות נפוצה: להסיק "ריבוע עבור $a=(1+\sqrt2)t$" מכך ש-$AB=CD$ - זה נותן רק מלבן, שצלעותיו $4t$ ו-$2t$.

$\underline u^2=\underline v^2=4$, $\underline u\cdot\underline v=4\cos\alpha$, $\underline w^2=6$, $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$ (מנסרה ישרה).

$DF$ מאונך ל-$\vec{D'A}=\underline u-\underline w$ ול-$\vec{D'C}=\underline v-\underline w$:

מחסרים: $4(t-s)(1-\cos\alpha)=0$. $\alpha<180^\circ$ ו-$\alpha>0^\circ$, ולכן $\cos\alpha\neq1$ ו-$t=s$.

מציבים $s=t$ במשוואה הראשונה: $4t(1+\cos\alpha)=6(1-2t)$, כלומר $t(16+4\cos\alpha)=6$:

טעות נפוצה: להניח $\underline u\cdot\underline v=0$ (כאילו הבסיס ריבוע) ולקבל $t=s=\frac38$, ערך שאינו תלוי ב-$\alpha$.

נקודת מפגש התיכונים $G$ של המשולש $ACD'$ מקיימת $\vec{D'G}=\frac13\left(\vec{D'A}+\vec{D'C}+\vec{D'D'}\right)=\frac13\vec{D'A}+\frac13\vec{D'C}$.

לפי יחידות ההצגה (שני וקטורים לא מקבילים במישור), $F=G$ כאשר $t=s=\frac13$:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\vec{D'G}=\frac12\left(\vec{D'A}+\vec{D'C}\right)$ (זה הווקטור לאמצע $AC$), ואז $8+2\cos\alpha=6$, $\cos\alpha=-1$, ולהסיק בטעות שאין זווית כזו.

שטח הבסיס: $2\cdot2\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3$, ולכן $V=2\sqrt3\cdot\sqrt6=2\sqrt{18}=6\sqrt2$.

$DF$ מאונך למישור ו-$F$ במישור, ולכן המרחק הוא $|\overrightarrow{DF}|$, עם $\overrightarrow{DF}=\frac13(\underline u+\underline v+\underline w)$ ו-$\underline u\cdot\underline v=4\cos60^\circ=2$:

המרחק: $|\overrightarrow{DF}|=\sqrt2$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $2\underline u\cdot\underline v$ בפתיחת הריבוע ולקבל $|\overrightarrow{DF}|^2=\frac{14}{9}$, כלומר מרחק $\frac{\sqrt{14}}{3}$.

$t=\frac{3}{8+2\cos\alpha}$. כאשר $0^\circ<\alpha<180^\circ$, $\cos\alpha$ מקבל את כל הערכים $-1<\cos\alpha<1$ (ולא את הקצוות).

לכן $6<8+2\cos\alpha<10$, ו-$t$ (מספר חיובי חלקי מכנה חיובי, שקטן כשהמכנה גדל) מקיים:

(בפרט $t+s=2t<1$ ו-$t,s>0$, ולכן $F$ תמיד בתוך המשולש $ACD'$.)

טעות נפוצה: לכלול את הקצוות ולענות $\frac{3}{10}\le t\le\frac12$ - הם מתקבלים רק ב-$\alpha=0^\circ$ או $\alpha=180^\circ$, שבהם המעוין מתנוון לקטע.

I: $|z|^6=|w|^6=r^6$, ולכן $|z|=r$.

II: $w\bar w=|w|^2=r^2$, ולכן $|z|^6=r^6$ ו-$|z|=r$.

כל הקודקודים על המעגל $|z|=r$.

טעות נפוצה: לקבוע שלפתרונות של II מודול $r^2$ (כי $w\bar w=r^2$) - שוכחים להוציא שורש שישי מ-$(r^2)^3$.

I: $z=r\,cis(\theta+60^\circ k)$, $k=0,\dots,5$ - שישה ארגומנטים במרווחים של $60^\circ$ שמתחילים ב-$\theta$.

II: $z^6=r^6$, ולכן $z=r\,cis(60^\circ k)$ - כל הכפולות של $60^\circ$.

אם $\theta$ כפולה של $60^\circ$, גם כל $\theta+60^\circ k$ הן כפולות של $60^\circ$ - שתי הקבוצות זהות, ויש רק 6 קודקודים (משושה).

אם $\theta$ אינה כפולה של $60^\circ$, אף $\theta+60^\circ k$ אינה כפולה של $60^\circ$ - אין פתרון משותף, ויש 12 קודקודים.

בתחום $0^\circ<\theta<180^\circ$ הכפולות של $60^\circ$ הן $60^\circ$ ו-$120^\circ$.

טעות נפוצה: לבדוק רק אם $w$ עצמו פותר את II (כלומר $\theta=0^\circ$) - אם פתרון אחד משותף, כל השישה משותפים, ולהפך.

הקודקודים על מעגל אחד, ולכן המצולע משוכלל בדיוק כשהמרווחים בין הארגומנטים הסמוכים שווים - $30^\circ$ כל אחד.

הארגומנטים של II הם $0^\circ,60^\circ,\dots$; כדי שהמרווחים יהיו $30^\circ$, הארגומנטים של I צריכים ליפול בדיוק באמצע: $30^\circ+60^\circ m$.

כלומר $\theta=30^\circ+60^\circ m$, ובתחום: $\theta=30^\circ,\ 90^\circ,\ 150^\circ$.

לכל ערך אחר (שאינו כפולה של $60^\circ$) המרווחים מתחלפים בין $\alpha$ ל-$60^\circ-\alpha$ עם $\alpha\ne30^\circ$, והמצולע אינו משוכלל.

טעות נפוצה: לענות רק $\theta=30^\circ$ - גם $\theta=90^\circ$ ו-$\theta=150^\circ$ נותנים את אותה קבוצת ארגומנטים.

מצולע משוכלל בן 12 צלעות החסום במעגל ברדיוס $r$:

מסעיף ג, $\theta\in\{30^\circ,90^\circ,150^\circ\}$, ולכן:

טעות נפוצה: לעצור ב-$r=5$ ולענות $w=5$ - המודול לבדו אינו קובע את המספר; צריך לצרף את כל הארגומנטים האפשריים מסעיף ג.

$e^{f(x)}>0$ לכל $x$ - חזקה של $e$ תמיד חיובית. לכן הסימן של $g$ הוא הסימן של $f'$.

בתחום $x<0$ הפונקציה $f$ יורדת ו-$f'\ne0$, ולכן $f'(x)<0$ ו-$g(x)<0$.

בתחום $x>0$ הפונקציה $f$ עולה ו-$f'\ne0$, ולכן $f'(x)>0$ ו-$g(x)>0$.

תחום חיוביות: $x>0$. תחום שליליות: $x<0$.

טעות נפוצה: לחשוב שהסימן של $g$ תלוי גם בסימן של $f$ ('$f$ שלילית, ולכן גם $e^{f}$ שלילית') ולקבל ש-$g<0$ בתחום $x>0$. $e^{f}$ חיובית גם כש-$f$ שלילית.

$f'(x)=\frac{12}{x^3}$, ולכן:

$x\to0$ (משני הצדדים): $-\frac6{x^2}\to-\infty$. נסמן $u=\frac1x$ ($u\to\pm\infty$): $g=12u^3e^{-6u^2}\to0$, כי $e^{-6u^2}$ שואף לאפס מהר יותר מש-$u^3$ גדל. לכן אין אסימפטוטה אנכית: הגרף מתקרב לראשית משני הצדדים, והראשית אינה בתחום.

$x\to\pm\infty$: $e^{-\frac6{x^2}}\to e^0=1$ ו-$\frac{12}{x^3}\to0$, ולכן $g(x)\to0$: $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$x=0$ אסימפטוטה אנכית כי $\frac{12}{x^3}\to\pm\infty$ - שוכחים שהגורם $e^{-\frac6{x^2}}$ שואף לאפס מהר יותר, והמכפלה שואפת ל-0.

$g(x)=12x^{-3}\cdot e^{-6x^{-2}}$. לפי כלל השרשרת $\left(e^{-6x^{-2}}\right)'=e^{-6x^{-2}}\cdot12x^{-3}$. כלל המכפלה:

$e^{-\frac6{x^2}}>0$ ו-$x^6>0$, ולכן סימן $g'$ הוא סימן $4-x^2$. $g'(x)=0$ ב-$x=\pm2$.

נקודות הקיצון: $\max\left(2,\frac3{2e\sqrt e}\right)$, $\min\left(-2,-\frac3{2e\sqrt e}\right)$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{-\frac6{x^2}}$ כ-$e^{-\frac6{x^2}}$ בלי כלל השרשרת. אז $g'=\frac{12e^{-6/x^2}(x-3)}{x^4}$, ומתקבלת נקודה שגויה $\left(3,\frac{4}{9e^{2/3}}\right)$.

מסכמים: $g<0$ עבור $x<0$ ו-$g>0$ עבור $x>0$ (סעיף א); אין אסימפטוטה אנכית - ליד $x=0$ הגרף מתקרב לראשית משני הצדדים; $y=0$ אסימפטוטה אופקית; מינימום $\approx(-2,-0.33)$ ומקסימום $\approx(2,0.33)$.

מהנוסחה: $g(-x)=\frac{12e^{-6/x^2}}{-x^3}=-g(x)$, כלומר $g$ אי-זוגית והגרף סימטרי ביחס לראשית.

ענף שמאלי: מתחיל קרוב לציר ה-$x$ מלמטה, יורד עד המינימום ועולה אל הראשית - שם מסמנים עיגול ריק.

ענף ימני: יוצא מהראשית (עיגול ריק), עולה עד המקסימום ויורד לאט לכיוון ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחבר את שני הענפים דרך הראשית בקו רציף, כאילו $g(0)=0$ - $x=0$ אינו בתחום, ובראשית מסמנים עיגול ריק.

$\left(e^{f(x)}\right)'=e^{f(x)}\cdot f'(x)=g(x)$, ולכן $G(x)=e^{f(x)}=e^{-\frac6{x^2}}$ היא פונקציה קדומה של $g$.

$a>1$, ולכן $\ln(4a)>\ln a>0$ ושני השורשים מוגדרים. $\frac6{\ln a}>\frac6{\ln(4a)}$, ולכן $-\sqrt{\frac6{\ln a}}<-\sqrt{\frac6{\ln(4a)}}<0$: שני הישרים בתחום $x<0$, שבו $g<0$.

בגבולות: כש-$x^2=\frac6{\ln a}$ מתקיים $-\frac6{x^2}=-\ln a$, ולכן $G=e^{-\ln a}=\frac1a$. באותו אופן ב-$x=-\sqrt{\frac6{\ln(4a)}}$: $G=e^{-\ln(4a)}=\frac1{4a}$.

$g<0$ בקטע, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל, $\frac3{4a}$:

טעות נפוצה: לחשב $e^{-\ln a}=a$ (לשכוח את המינוס במעריך). אז הקדומה נותנת $4a$ ו-$a$, השטח יוצא $3a=\frac18$ ומתקבל $a=\frac1{24}$, שסותר את $a>1$.