מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 8 מעל רמת בגרות

A על הפרבולה ו-$y_A=t$, ולכן $t^2=2px_A$, כלומר $A\left(\frac{t^2}{2p},t\right)$.

המשיק בנקודה $(x_0,y_0)$: $yy_0=p(x+x_0)$:

B היא עקב האנך מ-$F\left(\frac p2,0\right)$ ל-$\ell$ (רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק). שיפוע האנך $-\frac tp$:

חיתוך שני הישרים:

הסוגריים חיוביים, ולכן $x=0$ ו-$y=\frac t2$: $B\left(0,\frac t2\right)$ - על ציר ה-$y$ לכל $t$.

טעות נפוצה: לכתוב את המשיק כ-$yy_0=2p(x+x_0)$. אז $\ell$: $y=\frac{2p}{t}x+t$, החיתוך עם האנך יוצא בשיעור $x$ שלילי, ומסיקים בטעות ש-B אינה על ציר ה-$y$.

הרדיוס הוא $FB$, עם $F\left(\frac p2,0\right)$ ו-$B\left(0,\frac t2\right)$:

טעות נפוצה: לקחת את $FA$ כרדיוס. A היא נקודת ההשקה של $\ell$ עם הפרבולה, לא עם המעגל; כך מתקבל $\left(x-\frac p2\right)^2+y^2=\frac{(p^2+t^2)^2}{4p^2}$.

ב-B הזווית ישרה (רדיוס מאונך למשיק), ולכן $S=\frac12\cdot AB\cdot FB$.

עם $p=4$: $A\left(\frac{t^2}{8},t\right)$, $B\left(0,\frac t2\right)$, $F(2,0)$.

$t=8$ מקיים ($512+128=640$). מחלקים: $(t-8)(t^2+8t+80)=0$, ולגורם הריבועי אין פתרון ($64-320<0$).

$t=8$, $x_A=\frac{64}{8}=8$: $A(8,8)$.

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית הישרה היא ב-F ולחשב $\frac12\cdot FA\cdot FB=20$. מתקבל $(t^2+16)^{1.5}=640$, $t\approx7.63$ - נקודה שגויה.

עם $p=4$: $A\left(\frac{t^2}{8},t\right)$ ו-$B\left(0,\frac t2\right)$. אמצע הקטע:

מבטלים את $t$: $y=\frac{3t}{4}$, ולכן $t=\frac{4y}{3}$, ומציבים:

$t>0$, ולכן המקום הגאומטרי הוא החלק של הפרבולה $y^2=9x$ ברביע הראשון ($x>0$, $y>0$).

טעות נפוצה: להחליף את B בראשית הצירים ולקחת אמצע $\left(\frac{t^2}{16},\frac t2\right)$. כך מתקבל $y^2=4x$.

$\underline u=(m-3,3-m,-2)$, $\underline n=(3,m,m+4)$:

ל-$m^2-4m+17=0$ הדיסקרימיננטה $16-68<0$, ולכן המכפלה אינה 0 לאף $m$ - הישר אינו מקביל למישור.

טעות נפוצה: לחשב את הדיסקרימיננטה של $m^2-4m+17$ כ-$16+68$ (סימן שגוי ב-$-4ac$) ו"למצוא" ערכי $m$ שבעבורם הישר מקביל למישור.

מפרקים את וקטור הכיוון: $(m-3,3-m,-2)=(-3,3,-2)+m(1,-1,0)$.

כל הישרים עוברים דרך $P(5,-2,0)$, וכל וקטור כיוון הוא צירוף של שני הווקטורים הקבועים $(-3,3,-2)$ ו-$(1,-1,0)$. לכן כל הישרים נמצאים במישור $\sigma:\ \underline x=(5,-2,0)+s(-3,3,-2)+r(1,-1,0)$.

נורמל ל-$\sigma$: וקטור $(a,b,c)$ הניצב לשני הווקטורים: $a-b=0$ ו-$-3a+3b-2c=0$, ולכן $c=0$, $a=b$: $(1,1,0)$.

בדיקה: $(m-3)+(3-m)+0=0$ - וקטור הכיוון ניצב לנורמל לכל $m$, ו-$P$ על $\sigma$.

טעות נפוצה: לקחת שני ערכים של $m$ ולבנות מהם מישור בלי להראות שכל שאר הישרים נמצאים בו - צריך לנמק לכל $m$ (הפירוק לצירוף, או המכפלה הסקלרית שמתאפסת זהותית).

$\underline u\parallel\underline n$: $\frac{m-3}{3}=\frac{3-m}{m}$, כלומר $m^2-3m=9-3m$, $m^2=9$, $m=\pm3$.

$m=3$: $\underline u=(0,0,-2)$, $\underline n=(3,3,7)$ - לא מקבילים. נפסל.

$m=-3$: $\underline u=(-6,6,-2)$, $\underline n=(3,-3,1)$, $\underline u=-2\underline n$. מתאים.

$\pi:\ 3x-3y+z-2=0$. מציבים $(5-6t,\ -2+6t,\ -2t)$:

טעות נפוצה: מ-$m^2=9$ לקחת רק $m=3$, לפסול אותו ולהסיק שאין $m$ כזה - יש גם את הפתרון $m=-3$.

מסדרים את משוואת המישור לפי $m$:

כל נקודה שמקיימת $3x+4z-2=0$ וגם $y+z=0$ מקיימת את המשוואה לכל $m$. שני המישורים האלה אינם מקבילים (הנורמלים $(3,0,4)$ ו-$(0,1,1)$), ולכן הם נחתכים בישר $k$ - וכל המישורים $\pi$ מכילים אותו.

נקודות על $k$: $y=-z$, $x=\frac{2-4z}{3}$. עבור $z=-1$: $(2,1,-1)$; עבור $z=2$: $(-2,-2,2)$. וקטור כיוון: $(-4,-3,3)$.

נקודה משותפת לכל הישרים $\ell$: כל הישרים עוברים דרך $P(5,-2,0)$, ושני ישרים שונים נחתכים לכל היותר בנקודה אחת - לכן הנקודה היחידה המשותפת לכולם היא $P$.

האם $P$ על כל המישורים? $P$ על $k$ רק אם $3\cdot5+0-2=0$ - לא ($13\neq0$). הצבה ב-$\pi$: $15-2m-2=13-2m$, שמתאפס רק ב-$m=6.5$.

לכן אין נקודה המשותפת לכל הישרים ולכל המישורים.

טעות נפוצה: לענות "כן, $A$" - $A$ נמצאת על כל המישורים (היא על $k$), אבל רק על הישר של $m=-3$, לא על כל הישרים.

$|z|$ הוא המרחק מהראשית, ו-$|z-(-1+\sqrt3i)|$ המרחק מהנקודה $(-1,\sqrt3)$. לכן זה האנך האמצעי של הקטע שבין שתי הנקודות.

$z-(-1+\sqrt3i)=(x+1)+i(y-\sqrt3)$. מעלים בריבוע את שני הצדדים:

$y=\frac{x+2}{\sqrt3}$, או $x-\sqrt3y+2=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $|z-(-1+\sqrt3i)|^2=(x+1)^2+(y+\sqrt3)^2$ ולקבל $y=-\frac{x+2}{\sqrt3}$. החלק המדומה של $z-(-1+\sqrt3i)$ הוא $y-\sqrt3$.

פותרים בנוסחת השורשים, עם $a=1$, $b=1-\sqrt3i$, $c=-2-2\sqrt3i$:

מחפשים מספר שריבועו $\Delta$: $|\Delta|=\sqrt{36+108}=12$, והארגומנט של $\Delta$ הוא $60^\circ$ ($\tan\varphi=\sqrt3$, רביע ראשון). לכן אחד השורשים הריבועיים הוא $\sqrt{12}\operatorname{cis}30^\circ=2\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}2+\frac12i\right)=3+\sqrt3i$.

(בדיקה: $(3+\sqrt3i)^2=9+6\sqrt3i-3=6+6\sqrt3i$ ✓.)

$z=\frac{2+2\sqrt3i}2=1+\sqrt3i$ או $z=\frac{-4}2=-2$. הנקודות: $(1,\sqrt3)$ ו-$(-2,0)$.

הצבה ב-$x-\sqrt3y+2=0$: $1-\sqrt3\cdot\sqrt3+2=0$ ✓, $-2-0+2=0$ ✓.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס שלפני $b$ ולחשב $z=\frac{(1-\sqrt3i)\pm(3+\sqrt3i)}{2}$. מתקבלים $z=2$ ו-$z=-1-\sqrt3i$, ונראה כאילו הנקודות אינן על הישר ($2-0+2=4\neq0$).

$A=-2=2\operatorname{cis}180^\circ$ ו-$B=1+\sqrt3i=2\operatorname{cis}60^\circ$ - שתיהן על המעגל $|z|=2$, והזווית $AOB$ היא $120^\circ$.

משולש שווה צלעות החסום במעגל מחלק אותו לשלוש קשתות של $120^\circ$, ולכן $C=2\operatorname{cis}300^\circ=1-\sqrt3i$.

(בדיקה: $AB=|3+\sqrt3i|=\sqrt{12}$, $BC=|-2\sqrt3i|=\sqrt{12}$, $AC=|3-\sqrt3i|=\sqrt{12}$.)

סיבוב סביב הראשית בזווית $\alpha$ הוא כפל ב-$\operatorname{cis}\alpha$: הנקודות החדשות $2\operatorname{cis}(60^\circ+\alpha)$, $2\operatorname{cis}(180^\circ+\alpha)$, $2\operatorname{cis}(300^\circ+\alpha)$.

למשוואה $z^6=b$ יש בדיוק 6 פתרונות, והם קודקודי משושה משוכלל: ההפרש בין ארגומנטים סמוכים הוא $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$.

בתחום $0^\circ<\alpha<120^\circ$ הנקודות החדשות שונות מהישנות, ולכן שש הנקודות הן כל ששת הפתרונות, ו-$\alpha$ צריכה להשלים את הארגומנטים $60^\circ,180^\circ,300^\circ$ למרווחים של $60^\circ$: $\alpha=60^\circ$ (הארגומנטים החדשים $120^\circ,240^\circ,360^\circ$).

$b$ מתקבל מכל אחד מהפתרונות, למשל $z=-2$:

טעות נפוצה: לחשב $(-2)^6=-64$ - חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית (וגם $\left(2\operatorname{cis}60^\circ\right)^6=64\operatorname{cis}360^\circ=64$).

כל הנקודות על $|z|=2$, בארגומנטים $60^\circ,180^\circ,300^\circ$ ו-$100^\circ,220^\circ,340^\circ$.

לכל פתרון של $z^n=b$: $z^n=2^n\operatorname{cis}(n\theta)$. כדי שכולם ייתנו אותו $b$, צריך ש-$n\theta$ יהיה זהה (עד כפולה של $360^\circ$) לכל ארגומנט $\theta$, כלומר $n$ כפול כל הפרש בין שני ארגומנטים צריך להיות כפולה של $360^\circ$.

ההפרשים מ-$60^\circ$ הם $40^\circ,120^\circ,160^\circ,240^\circ,280^\circ$ - כולם כפולות של $40^\circ$, ו-$40^\circ$ עצמו הוא אחד מהם. לכן התנאי הוא ש-$40^\circ\cdot n$ יהיה כפולה של $360^\circ$: $n$ כפולה של 9.

עם $n=9$:

מספר ממשי, כנדרש. (באופן כללי $n=9t$ ו-$b=2^{9t}\operatorname{cis}(540^\circ t)=(-1)^t\cdot2^{9t}$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את המודול ולענות $b=2^9=512$ - הארגומנט $9\cdot60^\circ=540^\circ$ שקול ל-$180^\circ$, ולכן $b$ שלילי.

$x=0$: המכנה מתאפס והמונה $k\ne0$.

כש-$x\to-\infty$: $f(x)\to0-\frac k1=-k$. כש-$x\to\infty$: $f(x)\to\infty$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=k$ - המינוס לפני השבר נשאר בגבול.

$f'(x)=0$ כש-$(1-e^x)^2=k$, כלומר $e^x=1+\sqrt k$ או $e^x=1-\sqrt k$.

$e^x=1+\sqrt k>1$ - תמיד אפשרי: $x=\ln(1+\sqrt k)>0$.

$e^x=1-\sqrt k$ - אפשרי רק כש-$1-\sqrt k>0$, כלומר $0<k<1$: אז $x=\ln(1-\sqrt k)<0$ (על הענף השמאלי).

סימן $f'$: חיובי כש-$|1-e^x|>\sqrt k$, שלילי כש-$|1-e^x|<\sqrt k$. עבור $0<k<1$:

נסמן $x_1=\ln(1-\sqrt k)$ ו-$x_2=\ln(1+\sqrt k)$:

עם $t=e^x$, $f=t+\frac k{t-1}$:

עבור $k\ge1$ יש רק המינימום, והענף השמאלי יורד כולו.

טעות נפוצה: לפסול את $e^x=1-\sqrt k$ תמיד (כמו שקורה עבור $k\ge1$) - עבור $0<k<1$ זה מספר חיובי, ויש מקסימום על הענף השמאלי.

הענף הימני: המינימום $1+2\sqrt k>0$ - אין חיתוך.

הענף השמאלי מתחיל ב-$-k<0$ (אסימפטוטה) ונגמר ב-$-\infty$. הוא מגיע לציר ה-$x$ רק אם יש לו מקסימום לא-שלילי.

עבור $k\ge1$ אין מקסימום (הענף יורד, וכולו מתחת ל-$-k$) - אין חיתוך.

עבור $0<k<1$, ערך המקסימום $1-2\sqrt k$:

$1-2\sqrt k>0\iff k<\frac14$: הגרף עולה מעל הציר ויורד חזרה - שתי נקודות חיתוך.

$k=\frac14$: המקסימום על הציר, $\left(\ln\frac12,0\right)$ - נקודה אחת (השקה).

$\frac14<k<1$: המקסימום שלילי - אין חיתוך.

(בדיקה אלגברית: $f=0\iff t^2-t+k=0$, שיש לה פתרונות רק כש-$1-4k\ge0$, ושניהם בין 0 ל-1 כי סכומם 1 ומכפלתם $k>0$.)

טעות נפוצה: לענות שלכל $0<k<1$ יש חיתוך כי יש מקסימום על הענף השמאלי - צריך שערך המקסימום יהיה לא-שלילי, $1-2\sqrt k\ge0$.

עבור $k=2$ הענף הימני חיובי (מינימום $1+2\sqrt2$), ולכן השטח הוא האינטגרל.

$f(x)=e^x+\frac2{e^x-1}$. כדי למצוא קדומה ל-$\frac2{e^x-1}$ נוסיף ונחסר $e^x$ במונה:

$\frac{e^x}{e^x-1}$ הוא מהצורה $\frac{u'}{u}$, וקדומתו $\ln(e^x-1)$. לכן קדומה של $f$:

טעות נפוצה: לכתוב קדומה $2\ln(e^x-1)$ ל-$\frac2{e^x-1}$ - הנגזרת שלה $\frac{2e^x}{e^x-1}$, ולא $\frac2{e^x-1}$; מקבלים $1+2\ln2$.