בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2026 מועד א'

גוזרים את משוואת הפרבולה גזירה סתומה (לפי $x$):

בנקודה $A(x_0,y_0)$ שיפוע המשיק הוא $\frac{27}{y_0}$, וצריך שיהיה $\frac34$:

מציבים במשוואת הפרבולה: $36^2=54x_0$, כלומר $x_0=\frac{1296}{54}=24$.

לכן $A(24,36)$.

טעות נפוצה: לכתוב $y'=\frac{54}{y}$ (לשכוח לחלק ב-2 את הגזירה של $y^2$), ולקבל $y_0=72$ ו-$x_0=96$.

משיק למעגל ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה. הישר המשיק לפרבולה משיק גם למעגל בנקודה $A$, ולכן $AM$ ניצב לו.

שיפוע המשיק $\frac34$, ולכן שיפוע $AM$ הוא $m$ שמקיים $\frac34\cdot m=-1$, כלומר $m=-\frac43$.

הישר עובר דרך $A(24,36)$:

טעות נפוצה: לקחת את השיפוע ההפוך בלי שינוי סימן ($\frac43$) - זה לא ישר ניצב; מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$.

המרכז $M$ נמצא על הישר $AM$, ולכן $M\left(m,\,-\frac43m+68\right)$.

ציר ה-$y$ משיק למעגל, ולכן הרדיוס שווה למרחק של $M$ מציר ה-$y$: $R=|m|$. המעגל משיק לציר ה-$y$ ועובר דרך $A$ שמימין לציר, ולכן כולו מימין לציר: $m>0$ ו-$R=m$.

גם $A$ על המעגל, ולכן $MA=R$. על הישר $AM$ שיפועו $-\frac43$: כשה-$x$ משתנה ב-$d$, ה-$y$ משתנה ב-$\frac43d$, והמרחק הוא $\sqrt{d^2+\frac{16}9d^2}=\frac53|d|$:

נתון $m<24$, ולכן $|24-m|=24-m$:

$M(15,\,-20+68)=M(15,48)$ ו-$R=15$. בדיקה: $MA=\sqrt{9^2+12^2}=15$.

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי $x_M<x_A$ ולפתור $\frac53(m-24)=m$ - מתקבל $m=60$, מעגל שמרכזו מימין ל-$A$, שאינו המעגל המבוקש.

הרדיוס $MB$ ניצב למשיק בנקודה $B$, ולכן המשולש $MBP$ ישר-זווית ב-$B$.

לפי משפט פיתגורס:

כלומר $MP=39$ לכל מיקום של $B$ על המעגל (ולכל אחד משני הכיוונים על המשיק).

כל נקודה $P$ נמצאת במרחק קבוע 39 מ-$M$, ולכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $M(15,48)$ ורדיוסו 39:

טעות נפוצה: לחבר אורכים ($MP=15+36=51$) כאילו $M$, $B$, $P$ על ישר אחד - $BP$ ניצב לרדיוס, ולכן משתמשים בפיתגורס.

המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 39.

המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על מעגל הוא אורך הקוטר (מאי-שוויון המשולש: $PQ\le PM+MQ=2R$).

לכן אין על המקום הגאומטרי שתי נקודות שהמרחק ביניהן 80.

טעות נפוצה: להשוות את 80 להיקף המעגל ($2\pi\cdot39\approx245>80$) ולענות "כן". המרחק בין שתי נקודות נמדד בקו ישר, והגדול ביותר הוא הקוטר, $78$.

$E$ אמצע $BB'$, ולכן $\overrightarrow{EB}=\frac12\vec{B'B}=-\frac12\underline w$ (המקצוע $BB'$ מקביל ושווה ל-$AA'$).

מ-$E$ יורדים ל-$B$ ומשם הולכים לאורך מקצוע הבסיס:

($\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline u$ כי $ABCD$ מלבן.)

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{EB}=+\frac12\underline w$ - הווקטור מ-$E$ אל $B$ יורד, בכיוון ההפוך ל-$\vec{AA'}$.

הולכים מ-$E$ ל-$B$ ומשם ל-$M$:

טעות נפוצה: לחבר $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BM}$ (לשכוח להפוך את הכיוון של הקטע הראשון) - מקבלים $+\frac7{12}\underline w$.

מציבים את הביטויים מסעיף א:

$\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ אינם במישור אחד, ולכן ההצגה באמצעותם יחידה. משווים מקדמים לביטוי מסעיף ב:

מקדם $\underline u$: $b=\frac16$.

מקדם $\underline v$: $-a=-\frac23$, כלומר $a=\frac23$.

מקדם $\underline w$ (בדיקה): $-\frac{a+b}2=-\frac{\frac23+\frac16}2=-\frac5{12}$ - מתאים.

טעות נפוצה: להחליף בין $a$ ל-$b$ ולקבל $a=\frac16$, $b=\frac23$. $a$ הוא המקדם של $\overrightarrow{EA}$, שבו מופיע $\underline v$, ולכן $a$ נקבע ממקדם $\underline v$.

$\overrightarrow{EA}$ ו-$\overrightarrow{EC}$ הם שני וקטורים לא מקבילים במישור $AEC$, שיוצאים מהנקודה $E$ שבמישור.

לפי ג(1), $\overrightarrow{EM}=\frac23\overrightarrow{EA}+\frac16\overrightarrow{EC}$ - צירוף לינארי שלהם. לכן $M$ נמצאת במישור $AEC$ (זו בדיוק ההצגה הפרמטרית של המישור).

טעות נפוצה: לנמק "כן" רק כי $a$ ו-$b$ חיוביים, או לחשוב שצריך $a+b=1$ - התנאי למישור הוא שהצירוף קיים; $a+b=1$ הוא התנאי לישר $AC$.

וקטור מאונך למישור מאונך לכל וקטור במישור, ובפרט ל-$\overrightarrow{EA}$ ול-$\overrightarrow{EC}$.

מקצועות התיבה ניצבים זה לזה, ולכן $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$, ו-$\underline u\cdot\underline u=|\underline u|^2$ וכן הלאה.

$|\underline w|=4$: $\frac23|\underline v|^2=\frac{16}{24}$, ולכן $|\underline v|^2=1$ ו-$|\underline v|=1$.

$\frac16|\underline u|^2=\frac23$, ולכן $|\underline u|^2=4$ ו-$|\underline u|=2$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן במכפלה $\left(-\frac23\underline v\right)\cdot\left(-\underline v\right)=+\frac23|\underline v|^2$ ולקבל משוואה בלי פתרון ($|\underline v|^2$ שלילי).

$M$ נמצאת במישור (ג(2)) ו-$BM$ מאונך למישור (נתון), ולכן $M$ היא עקב האנך מ-$B$ והמרחק הוא $|\overrightarrow{BM}|$.

(המכפלות המעורבות מתאפסות.)

טעות נפוצה: לחבר את המקדמים בריבוע בלי לכפול בריבועי האורכים ($\frac1{36}+\frac49+\frac1{144}$) - $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ אינם וקטורי יחידה.

כותבים את אגף ימין בהצגה קוטבית: $-64$ נמצא על החלק השלילי של הציר הממשי, ולכן $-64=64\operatorname{cis}180^\circ$.

לפי נוסחת השורשים, לפתרונות מודול $\sqrt[3]{64}=4$ וארגומנט $\frac{180^\circ+360^\circ k}3$:

טעות נפוצה: לכתוב רק את הפתרון הממשי $z=-4$ - למשוואה ממעלה שלישית יש שלושה פתרונות מרוכבים.

שתי נקודות $P$, $Q$ (שונות מ-$O$) נמצאות על ישר אחד שעובר דרך $O$ אם ורק אם הקרניים $OP$ ו-$OQ$ מתלכדות או הפוכות, כלומר הפרש הארגומנטים הוא כפולה של $180^\circ$.

הארגומנטים של $w_1$ ו-$w_2$ הם $\alpha$ ו-$4\alpha$ (המודולים $r$, $2r$ חיוביים):

בתחום $50^\circ<\alpha<130^\circ$: $k=1$ נותן $\alpha=60^\circ$ ו-$k=2$ נותן $\alpha=120^\circ$.

(ב-$\alpha=60^\circ$ הנקודות בצדדים מנוגדים של $O$; ב-$\alpha=120^\circ$ על אותה קרן.)

טעות נפוצה: לדרוש ארגומנטים שווים בלבד ($3\alpha=360^\circ k$) ולקבל רק $\alpha=120^\circ$ - נקודות משני צדי $O$ גם הן על ישר דרך $O$.

$w_1=r\operatorname{cis}\alpha$ שווה לאחד הפתרונות $4\operatorname{cis}60^\circ$, $4\operatorname{cis}180^\circ$, $4\operatorname{cis}300^\circ$.

שני מרוכבים בהצגה קוטבית שווים כשהמודולים שווים והארגומנטים שווים (עד כדי $360^\circ$): $r=4$, ו-$\alpha$ הוא $60^\circ$, $180^\circ$ או $300^\circ$.

לפי סעיף ב, $\alpha$ הוא $60^\circ$ או $120^\circ$. הערך המשותף: $\alpha=60^\circ$.

טעות נפוצה: לבחור $\alpha=120^\circ$ כי הוא "גם בתחום" - $4\operatorname{cis}120^\circ$ אינו פתרון של המשוואה ($(4\operatorname{cis}120^\circ)^3=64$).

$A$: $w_1=4\operatorname{cis}60^\circ$. $C$: $w_2=8\operatorname{cis}240^\circ$ ($4\alpha=240^\circ$).

$B$: $w_3=4i=4\operatorname{cis}90^\circ$. $D$: $w_4=\frac8i=\frac{8\cdot(-i)}{i\cdot(-i)}=-8i=8\operatorname{cis}270^\circ$.

$A$ ו-$C$ על קרניים הפוכות מ-$O$ ($240^\circ-60^\circ=180^\circ$), ולכן $O$ על האלכסון $AC$ ו-$AC=4+8=12$.

$B$ ו-$D$ על הציר המדומה משני צדי $O$, ולכן $O$ על האלכסון $BD$ ו-$BD=4+8=12$.

האלכסונים נחתכים ב-$O$, והזווית ביניהם היא הזווית בין הקרניים $OA$ ($60^\circ$) ו-$OB$ ($90^\circ$): $30^\circ$.

שטח מרובע קמור לפי האלכסונים והזווית ביניהם:

טעות נפוצה: לחשב $\frac8i=8i$ - כפל במונה ובמכנה ב-$-i$ נותן $-8i$, ולכן $D$ נמצאת מתחת לציר הממשי.

$OA$ בזווית $60^\circ$ ו-$OB$ בזווית $90^\circ$, ולכן חוצה הזווית $BOA$ ברביע הראשון הוא הקרן בזווית $75^\circ$: $u=\rho\operatorname{cis}75^\circ$, $\rho=|u|>1$.

הצמוד: $\bar u=\rho\operatorname{cis}(-75^\circ)=\rho\operatorname{cis}285^\circ$. ההופכי: $\frac1u=\frac1\rho\operatorname{cis}(-75^\circ)=\frac1\rho\operatorname{cis}285^\circ$.

לשניהם אותו ארגומנט, ולכן המודולים מתחברים:

$\rho=5$ או $\rho=0.2$; נתון $|u|>1$, ולכן $\rho=5$ ו-$u=5\operatorname{cis}75^\circ$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $\rho=0.2$ ולקבל $u=0.2\operatorname{cis}75^\circ$, בלי לבדוק את התנאי $|u|>1$.

$f(x)=0$ כשאחד הגורמים מתאפס. בתחום $x>0$ מתקיים $x^n>0$, ולכן:

נקודת החיתוך: $(e^3,0)$.

טעות נפוצה: להוסיף את $x=0$ (מ-$x^n=0$) - הוא לא בתחום ההגדרה $x>0$.

לפי כלל המכפלה, עם $(\ln x)'=\frac1x$:

בנקודה $x=1$: $\ln1=0$ ו-$1^{n-1}=1$, ולכן $f'(1)=3n-1$.

טעות נפוצה: לגזור רק את $x^n$ ולהשאיר את הסוגריים ($f'=nx^{n-1}(3-\ln x)$) - מקבלים $3n=2$, שאין לו פתרון טבעי.

$f(x)=x(3-\ln x)$, ולפי סעיף ב עם $n=1$:

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ \ln x=2\ \Rightarrow\ x=e^2$.

סימן הנגזרת: עבור $0<x<e^2$, $\ln x<2$ ולכן $f'>0$ (עולה); עבור $x>e^2$, $f'<0$ (יורדת). לכן מקסימום.

$f(e^2)=e^2(3-2)=e^2$. נקודת המקסימום: $(e^2,e^2)$.

טעות נפוצה: לחשב $f(e^2)=e^2\cdot3-2$ (להציב $\ln x=2$ רק בחלק מהביטוי) - צריך $e^2\cdot(3-\ln e^2)=e^2\cdot1$.

קצה התחום: כאשר $x\to0^+$, $f(x)=3x-x\ln x\to0$ (המכפלה $x\ln x$ שואפת ל-0: החזקה "מנצחת" את הלוגריתם). הגרף מתקרב לראשית, שאינה שייכת לו.

כאשר $x\to\infty$: $3-\ln x\to-\infty$ ו-$x\to\infty$, ולכן $f(x)\to-\infty$.

מסכמים: עולה ב-$0<x<e^2$ עד המקסימום $(e^2,e^2)\approx(7.39,7.39)$, יורדת אחר כך, חותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=e^3\approx20.1$ (חיובית לפני, שלילית אחרי) ויורדת ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לצייר אסימפטוטה אנכית ב-$x=0$ או לצייר את הגרף יוצא מ-$-\infty$ - כאן $f\to0$ כאשר $x\to0^+$, כי $x\ln x\to0$.

$g=\frac1f$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ושונה מ-0.

$f$ מוגדרת עבור $x>0$ ומתאפסת רק ב-$x=e^3$ (סעיף א).

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\ne e^3$.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום גם את $x=e^2$ (נקודת הקיצון) - שם $f=e^2\ne0$, ו-$g$ מוגדרת.