בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2026 מועד ב'

הנקודה A נמצאת על הישר $y=x$, ולכן מציבים $y=x$ במשוואת הפרבולה:

$x=0$ נותן את ראשית הצירים, שאינה ברביע הראשון. לכן $x=2p$, ומהישר $y=x=2p$.

$A(2p,2p)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x^2=2p$ (לשכוח את $x$ באגף ימין) ולקבל $A(\sqrt{2p},\sqrt{2p})$ - נקודה שאינה על הפרבולה.

משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$ שעליה: $yy_0=p(x+x_0)$. מציבים $A(2p,2p)$:

כלומר $\ell$: $x-2y+2p=0$.

המוקד של $y^2=2px$ הוא $F\left(\frac p2,0\right)$.

מעגל שמשיק לישר - הרדיוס שלו הוא המרחק של המרכז מהישר:

$R^2=\frac54p^2=1.25p^2$, ולכן משוואת מעגל I:

טעות נפוצה: לקחת את המוקד ב-$(p,0)$ (כמו ב-$y^2=4px$). אז $R=\frac{3p}{\sqrt5}$ ומתקבל $(x-p)^2+y^2=1.8p^2$.

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן B היא עקב האנך מ-F לישר $\ell$.

שיפוע $\ell$ הוא $\frac12$, ולכן שיפוע האנך הוא $-2$. האנך עובר דרך $F\left(\frac p2,0\right)$:

חיתוך עם $\ell$:

$y=p$, כלומר $B(0,p)$ - שיעור ה-$x$ שלה 0, ולכן היא על ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לקחת לאנך שיפוע $-\frac12$ (רק להחליף סימן). אז החיתוך עם $\ell$ יוצא $\left(-\frac34p,\frac58p\right)$ ונראה כאילו B אינה על ציר ה-$y$. שיפוע ניצב הוא ההופכי הנגדי: $-\frac{1}{1/2}=-2$.

$A(2p,2p)$ ו-$B(0,p)$. לפי נוסחת המרחק:

($p>0$, ולכן $\sqrt{p^2}=p$.)

טעות נפוצה: לחשב את ההפרש בשיעורי ה-$y$ כ-$2p+p=3p$. אז $AB=\sqrt{13}\,p$ ויוצא $p=\frac{4\sqrt5}{\sqrt{13}}\approx2.48$.

מציבים $p=4$: מעגל I הוא $(x-2)^2+y^2=1.25\cdot16=20$, כלומר מרכזו $F(2,0)$ ורדיוסו $R=\sqrt{20}=2\sqrt5$.

רדיוס המעגלים המבוקשים $r=2\sqrt5-3$, והוא קטן מ-$R$.

שני מעגלים משיקים מבפנים כאשר המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים:

כל המרכזים נמצאים במרחק קבוע 3 מהנקודה $F(2,0)$, ולכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו F ורדיוסו 3:

טעות נפוצה: להשתמש בסכום הרדיוסים (תנאי השקה מבחוץ): $d=4\sqrt5-3$, ולקבל $(x-2)^2+y^2=(4\sqrt5-3)^2\approx35.2$.

מבטאים כל נקודה בעזרת וקטור שיוצא מ-A, ואז מחסרים.

$\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AS}=\underline u-\underline w$, ולכן:

הבסיס ריבוע, ולכן $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline v+\underline u$, ו-$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AS}=\underline u+\underline v-\underline w$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SD}=\underline w-\underline u$ (סדר החיסור הפוך). אז $\overrightarrow{AE}=-\frac34\underline u+\frac74\underline w$ ומתקבל $\overrightarrow{EN}=\left(k+\frac34\right)\underline u+k\underline v-\left(k+\frac34\right)\underline w$.

נסמן $a=|\underline w|$. הבסיס ריבוע ו-AS שווה לצלע, ולכן $|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=a$.

$\underline u\perp\underline v$ (ריבוע), ו-$\underline w$ מאונך לבסיס ולכן ל-$\underline u$ ול-$\underline v$. כל המכפלות המעורבות מתאפסות, ונשארים רק הריבועים:

משווים ל-$\frac{6}{16}a^2=\frac38a^2$ ומחלקים ב-$a^2$:

טעות נפוצה: לפתוח $\left(k-\frac34\right)^2=k^2-\frac{9}{16}$ (בלי האיבר האמצעי). אז $3k^2=\frac32$ ויוצא $k=\frac{\sqrt2}{2}\approx0.71$.

צלע הריבוע $AB=12$, ו-$AS=12$: $D(12,0,0)$, $S(0,0,12)$, ו-$C=B+\overrightarrow{AD}=(12,12,0)$.

$k=\frac12$, ולכן N היא אמצע SC:

$E=S+\frac34\overrightarrow{SD}$, עם $\overrightarrow{SD}=(12,0,-12)$:

טעות נפוצה: למדוד את $\frac34$ מ-D: $D+\frac34\overrightarrow{DS}=(3,0,9)$ - זו הנקודה הקרובה ל-S, ולא E.

שני וקטורים במישור: $\overrightarrow{BE}=(9,-12,3)$, $\overrightarrow{BN}=(6,-6,6)$.

נורמל $(a,b,c)$ מאונך לשניהם (אפשר לצמצם: $(3,-4,1)$ ו-$(1,-1,1)$):

חיסור: $2a-3b=0$. בוחרים $a=3$, $b=2$, ואז $c=b-a=-1$. הנורמל $(3,2,-1)$.

$3x+2y-z+d=0$, ומציבים $B(0,12,0)$: $24+d=0$, $d=-24$.

בדיקה: $E$: $27+0-3-24=0$; $N$: $18+12-6-24=0$.

טעות נפוצה: טעות סימן בחילוץ $c$ ($c=a-b=1$), ומתקבל $3x+2y+z-24=0$ - מישור שאינו עובר דרך E ($27+3-24\ne0$). תמיד מציבים את שלוש הנקודות לבדיקה.

לשתי הפירמידות אותו בסיס - המשולש ENB. לפי $V=\frac13S_{\text{בסיס}}\cdot h$, היחס בין הנפחים שווה ליחס בין הגבהים, כלומר בין המרחקים של S ושל C מהמישור ENB.

המרחקים שווים, ולכן הנפחים שווים.

(אפשר גם בלי חישוב: N, שנמצאת במישור, היא אמצע SC, ולכן S ו-C נמצאות משני צדי המישור במרחקים שווים.)

טעות נפוצה: להשמיט את הערך המוחלט. מקבלים $-36$ עבור S ו-$36$ עבור C, ומסיקים בטעות שנפח SENB קטן יותר. הסימן רק מראה שהנקודות משני צדי המישור.

בכפל מכפילים את הגדלים ומחברים את הזוויות; בחילוק מחלקים את הגדלים ומחסרים את הזוויות:

$\cos(2\alpha+90^\circ)=-\sin2\alpha$ ו-$\sin(2\alpha+90^\circ)=\cos2\alpha$, ולכן:

שיעור ה-$x$ של A הוא החלק הממשי: $-\sin2\alpha=-1$, כלומר $\sin2\alpha=1$.

$0^\circ<2\alpha<180^\circ$, ולכן $2\alpha=90^\circ$ ו-$\alpha=45^\circ$.

טעות נפוצה: לפתור $\sin2\alpha=1$ כאילו כתוב $\sin\alpha=1$ ולקבל $\alpha=90^\circ$ - ערך שאינו בתחום. קודם מוצאים את $2\alpha$, ורק אז מחלקים ב-2.

שיעור ה-$y$ של A הוא החלק המדומה של $w$: $\cos2\alpha-r^2$.

עם $\alpha=45^\circ$: $\cos90^\circ-r^2=0-r^2=-r^2$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos90^\circ=1$. אז $1-r^2=-1$ ויוצא $r=\sqrt2$.

עם $\alpha=45^\circ$, $r=1$: $z_1=\operatorname{cis}45^\circ$ ו-$w=-1-i$.

$w$ ברביע השלישי, $|w|=\sqrt2$, ולכן $w=\sqrt2\operatorname{cis}225^\circ$.

לפי נוסחת השורשים: $|z|=\sqrt[4]{256}=4$, והזוויות $\frac{180^\circ+360^\circ k}{4}=45^\circ+90^\circ k$, $k=0,1,2,3$:

טעות נפוצה: לחלק את הגודל ב-4 במקום להוציא שורש רביעי, ולקבל $64\operatorname{cis}(45^\circ+90^\circ k)$.

$|z|=b$ הוא מעגל שמרכזו O ורדיוסו $b$; הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה-$y$ ב-$K(0,b)$.

$B=4\operatorname{cis}45^\circ=(2\sqrt2,2\sqrt2)$, $C=4\operatorname{cis}135^\circ=(-2\sqrt2,2\sqrt2)$.

האלכסון $OK$ מונח על ציר ה-$y$, והאלכסון $BC$ אופקי ($y=2\sqrt2$) - האלכסונים מאונכים, $OK=b$, $BC=4\sqrt2$.

שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא חצי מכפלת האלכסונים:

($3.5>2\sqrt2\approx2.83$, ולכן K מעל BC והמרובע קמור - דלתון.)

טעות נפוצה: לשכוח את החצי: $4\sqrt2\,b=7\sqrt2$, ולקבל $b=1.75$.

המכנים חייבים להיות שונים מ-0:

$e^x-1\neq0\ \Rightarrow\ e^x\neq1\ \Rightarrow\ x\neq0$.

$e^x-5\neq0\ \Rightarrow\ e^x\neq5\ \Rightarrow\ x\neq\ln5$.

תחום ההגדרה: כל $x$ פרט ל-$x=0$ ול-$x=\ln5$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $e^x=5$ ל-$x=5$ ולכתוב $x\neq1$, $x\neq5$.

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן מכנה מתאפס והמונה אינו 0 - $x=0$ ו-$x=\ln5$.

אסימפטוטות אופקיות - בודקים כל כיוון בנפרד, כי $e^x$ מתנהגת אחרת בכל צד:

כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן

כאשר $x\to\infty$: $e^x\to\infty$, שני השברים שואפים ל-0, ו-$f(x)\to a$.

אסימפטוטות: $x=0$, $x=\ln5$, $y=a-2$ (משמאל), $y=a$ (מימין).

טעות נפוצה: לבדוק רק את $x\to\infty$ ולמצוא אסימפטוטה אופקית אחת, $y=a$. בפונקציה מעריכית לכל צד יכולה להיות אסימפטוטה אחרת.

נגזרת של $\frac{c}{g(x)}$ היא $-\frac{c\cdot g'(x)}{g^2(x)}$, ו-$(e^x-1)'=(e^x-5)'=e^x$:

בכל איבר: $e^x>0$ והמכנה ריבוע חיובי (בתחום ההגדרה). לכן כל איבר שלילי, וסכום של שני שליליים שלילי.

$f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה.

טעות נפוצה: "לגזור" את $\frac{1}{e^x-1}$ כ-$\frac{1}{e^x}$ (נגזרת המכנה במכנה). אז $f'(x)=e^{-x}+5e^{-x}>0$, ומסיקים בטעות שהפונקציה עולה.

לפי א(2), האסימפטוטות האופקיות הן $y=a$ ו-$y=a-2$. הישר $y=2$ יכול להיות כל אחת מהן:

$a=2$, או $a-2=2$, כלומר $a=4$.

טעות נפוצה: להשוות רק את $y=a$ ל-2 ולמצוא ערך אחד, $a=2$.

מכנה משותף: $(e^x-1)(e^x-5)=e^{2x}-6e^x+5$ (כי $e^x\cdot e^x=e^{2x}$).

המונה: $6e^x-10+2e^{2x}-12e^x+10=2e^{2x}-6e^x$.

טעות נפוצה: להוסיף את 2 למונה בלי להכפיל אותו במכנה המשותף, ולקבל $\frac{6e^x-8}{e^{2x}-6e^x+5}$.

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס (והמכנה לא):

$e^x>0$ תמיד, ולכן $e^x=3$, $x=\ln3$ - בתחום ההגדרה.

הנקודה: $(\ln3,0)$.

טעות נפוצה: לפתור גם "$2e^x=0$" ולקבל $x=0$, כלומר להוסיף את $(0,0)$. $e^x$ אינה מתאפסת, ו-$x=0$ אף אינו בתחום.

מסכמים: אסימפטוטות $x=0$, $x=\ln5$, $y=0$ (משמאל, כי $a-2=0$) ו-$y=2$ (מימין); הפונקציה יורדת בכל קטע (סעיף ב); חיתוך יחיד עם ציר ה-$x$ ב-$(\ln3,0)$.

ענף שמאלי ($x<0$): יוצא מ-$y=0$ ויורד ל-$-\infty$ ליד $x=0$. הוא יורד מערך גבולי 0, ולכן כולו מתחת לציר ה-$x$.

ענף אמצעי ($0<x<\ln5$): יורד מ-$+\infty$ ל-$-\infty$ וחוצה את ציר ה-$x$ ב-$\ln3$.

ענף ימני ($x>\ln5$): יורד מ-$+\infty$ ומתקרב ל-$y=2$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$. הפונקציה יורדת מהערך הגבולי 0, ולכן שלילית בכל הענף.

הישר $x=\ln2$ נמצא בענף האמצעי, משמאל ל-$\ln3$. שם $f(x)>0$, והשטח הוא בין $x=\ln2$ ל-$x=\ln3$.

המונה הוא הנגזרת של המכנה: $\left(e^{2x}-6e^x+5\right)'=2e^{2x}-6e^x$. לכן:

(המכנה שלילי בקטע הזה - לכן הערך המוחלט חיוני.)

טעות נפוצה: לחשב $e^{2\ln3}=2\cdot3=6$ במקום $3^2=9$: $|6-18+5|=7$, ולקבל $S=\ln\frac73\approx0.847$. $e^{2\ln3}=\left(e^{\ln3}\right)^2=9$.