מבחן לדוגמה: הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות - כיתה י' 5 יח"ל

הנקודות $A$ ו-$C$ שבסרטוט הן נקודות קיצון של הפונקציה, והנקודות $B$ ו-$D$ הן נקודות חיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$ ($D$ בקצה הימני של התחום). מצאו את שיעורי ארבע הנקודות.

בדקו אם הנקודות $P\left(\frac{5\pi}{6},\frac12\right)$ ו-$Q\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\sqrt3}{2}\right)$ נמצאות על הגרף של $f(x)$.

הראו שלגרף הפונקציה $f(x)$ אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את תחום ההגדרה של $k(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-$x$.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של $k(x)$.

הגרף של הפונקציה $f(x)=A\sin x$ עובר דרך הנקודה $\left(\frac{5\pi}{4},\,2\sqrt2\right)$. מצאו את $A$, ואת המשרעת של $f(x)$.

הגרף של הפונקציה $g(x)=A\cos x$ עובר דרך הנקודה $\left(\frac{\pi}{6},\,3\right)$. מצאו את $A$ ואת הטווח של $g(x)$.

מצאו את המחזור של $f(x)$ ואת המחזור של $g(x)$.

מצאו את המספר החיובי הקטן ביותר שהוא כפולה שלמה גם של המחזור של $f(x)$ וגם של המחזור של $g(x)$.

הראו ש-$2\pi$ הוא מחזור של $h(x)$, ושהמספר $\pi$ אינו מחזור של $h(x)$ (היעזרו ב-$x=\frac{\pi}{6}$).

מצאו את $b$ ואת $B$, וכתבו ביטוי ל-$g(x)$.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף של $g$ עם ציר ה-$y$, ואת נקודת המינימום של $g$ בתחום $0\le x\le2\pi$.

הגרף של $g$ סימטרי ביחס לישר האנכי העובר בנקודת המקסימום $M$. היעזרו בכך ומצאו את ערך ה-$x$ בתחום $0<x<2\pi$ שבו $g(x)=g(0)$. נמקו שאין ערך נוסף כזה בתחום.

מצאו את $a$, $b$ ו-$d$.

מצאו את כל ערכי $x$ בתחום $0\le x\le2\pi$ שבהם הגרף של $f$ חותך את קו האמצע שלו, $y=d$.

מזיזים את הגרף של $f$ בכיוון אנכי כך שכל נקודות המקסימום שלו יהיו על ציר ה-$x$. כתבו את הפונקציה $g$ שמתקבלת, ומצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $g$ עם ציר ה-$x$ בתחום $0\le x\le2\pi$.