שאלות פתוחות: מיתרים נחתכים - כיתה י' 5 יח"ל

תרגול בשאלות פתוחות על מיתרים נחתכים במעגל לכיתה י' 5 יחידות: מכפלת הקטעים של מיתר אחד שווה למכפלת הקטעים של השני, דרך דמיון משולשים. יש חישוב קטעים חסרים, הוכחת המשפט בדמיון, מעגל במערכת צירים שחותך את ציר y, מיתר שעובר דרך נקודה בתוך המעגל וקשר לרדיוס ולמרחק מהמרכז, וחוצה זווית במשולש חסום. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. את השאלות אפשר לסדר במבחן לפי סדר הקושי, ולהוריד את המבחן עם הפתרונות המלאים לקובץ Word.

6 שאלותקלה: 1בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · משפט המיתרים הנחתכים: חישוב קטעיםשאלה קצרה · קלה

במעגל המיתרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה EEE שבתוך המעגל.

א.

נתון: AE=8AE=8AE=8, EB=3EB=3EB=3, CE=4CE=4CE=4. מצאו את EDEDED ואת אורך המיתר CDCDCD.

ב.

(נתונים אחרים) נתון: EEE היא אמצע המיתר ABABAB, CE=2CE=2CE=2, ED=18ED=18ED=18. מצאו את אורך המיתר ABABAB.

שאלה 2 · מיתרים נחתכים: אורך מיתר מדמיון משולשיםשאלה קצרה · בינונית

המיתרים ACACAC ו-BDBDBD של מעגל נחתכים בנקודה EEE. נתון: AE=4AE=4AE=4 ס"מ, BE=6BE=6BE=6 ס"מ, CE=9CE=9CE=9 ס"מ, AB=5AB=5AB=5 ס"מ.

מצאו את אורך המיתר DCDCDC.

שאלה 3 · מיתרים נחתכים במעגל נתון במשוואה: יחס שטחיםשאלה קצרה · קשה

המעגל (x−3)2+(y−1)2=25(x-3)^2+(y-1)^2=25(x−3)2+(y−1)2=25 חותך את ציר ה-yyy בנקודות AAA ו-BBB (BBB מעל AAA). הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על המעגל מימין לציר ה-yyy, המיתר CDCDCD מקביל לציר ה-yyy, והמיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט. נתון: שטח המשולש ABEABEABE גדול פי 169\frac{16}{9}916​ משטח המשולש DCEDCEDCE.
ABCDE

מצאו את אורך המיתר CDCDCD.

שאלה 4 · מיתרים נחתכים: דמיון ויחס קטעיםשאלת ביניים · בינונית

במעגל שני מיתרים נחתכים בנקודה שבתוך המעגל.

א.

הנקודות B, C, D, E נמצאות על מעגל. המיתרים BD ו-CE נחתכים בנקודה A (ראו סרטוט). נתון: AE=34ACAE=\frac34ACAE=43​AC, AD=3ABAD=3ABAD=3AB.
ABCDE
הוכיחו: △AED∼△ABC\triangle AED\sim\triangle ABC△AED∼△ABC.

ב.

מצאו את היחס: ABAC\frac{AB}{AC}ACAB​.

שאלה 5 · מכפלת קטעי מיתר דרך נקודה פנימיתשאלת ביניים · קשה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR. PPP היא נקודה בתוך המעגל, שונה מ-OOO, ו-OP=dOP=dOP=d. המיתר ABABAB עובר דרך PPP.
OPAB

א.

הוכיחו: PA⋅PB=R2−d2PA\cdot PB=R^2-d^2PA⋅PB=R2−d2.

ב.

נתון: R=10R=10R=10, d=8d=8d=8, PA=4⋅PBPA=4\cdot PBPA=4⋅PB. מצאו את אורך המיתר ABABAB.

ג.

המיתר CDCDCD עובר גם הוא דרך PPP, והוא מאונך ל-OPOPOP (הנתונים של סעיף ב). מצאו את אורך המיתר CDCDCD.

שאלה 6 · חוצה זווית הנמשך עד המעגלשאלת ביניים · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית BACBACBAC חותך את הצלע BCBCBC בנקודה DDD ואת המעגל בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט. נתון: AB=15AB=15AB=15, AC=12AC=12AC=12.
ABCDE

א.

הוכיחו כי △ABE∼△ADC\triangle ABE\sim\triangle ADC△ABE∼△ADC.

ב.

נתון: AD=10AD=10AD=10. מצאו את AEAEAE ואת DEDEDE.

ג.

מצאו את BDBDBD, את DCDCDC ואת BCBCBC.