שאלות פתוחות: משוואות ריבועיות: פתרון בנוסחה ובפירוק - כיתה י' 5 יח"ל

תרגול בשאלות פתוחות על משוואות ריבועיות לכיתה י' 5 יחידות: פתרון בנוסחת השורשים ובפירוק לגורמים. לצד תרגילי פתרון יש משוואה עם פרמטר, ובעיות מילוליות כמו שביל חצץ ברוחב אחיד סביב מדשאה, דף מלבני שגוזרים ממנו ריבוע, אריח שההיקף והאלכסון שלו ידועים, ומלבן שמשנים את מידותיו בלי לשנות את השטח. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. כך בונים מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

21 שאלותקלה: 6בינונית: 10קשה: 5

שאלה 1 · פתרון משוואה ריבועית בפירוק ובנוסחת השורשיםשאלה קצרה · קלה

פתרו את המשוואות. את משוואה א פתרו בפירוק לגורמים, ואת משוואה ב פתרו בנוסחת השורשים.

א.

x2+4x−21=0x^2+4x-21=0x2+4x−21=0

ב.

3x2−5x−2=03x^2-5x-2=03x2−5x−2=0

שאלה 2 · משוואות ריבועיות שצריך לסדר לפני הפתרוןשאלה קצרה · בינונית

פתרו את המשוואות. אם למשוואה אין פתרון, נמקו.

א.

(x+2)(x−3)=2x+4(x+2)(x-3)=2x+4(x+2)(x−3)=2x+4

ב.

2x2+3=4x2x^2+3=4x2x2+3=4x

שאלה 3 · משוואה ריבועית עם פרמטר: פתרונות באמצעות הפרמטרשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה x2−(2a+1)x+a2+a=0x^2-(2a+1)x+a^2+a=0x2−(2a+1)x+a2+a=0, כאשר aaa פרמטר ו-xxx הוא הנעלם.

פתרו את המשוואה: הביעו את שני פתרונותיה באמצעות aaa. אחר כך מצאו את כל ערכי aaa שבעבורם אחד הפתרונות של המשוואה גדול פי 222 מהפתרון האחר, ורשמו את הפתרונות בכל מקרה.

שאלה 4 · שביל ברוחב אחיד סביב מדשאה מלבניתשאלת ביניים · בינונית

בגן ציבורי יש מדשאה בצורת מלבן שאורכה 6 מטר ורוחבה 4 מטר.
מסביב למדשאה סללו שביל חצץ ברוחב אחיד xxx מטר, כך שהגבול החיצוני של השביל הוא מלבן שצלעותיו מקבילות לצלעות המדשאה (ראו סרטוט).
xxABCD

א.

הביעו באמצעות xxx את השטח של שביל החצץ (ללא שטח המדשאה).

ב.

שטח שביל החצץ הוא 56 מ"ר. מצאו את xxx.

ג.

לאורך הגבול החיצוני של השביל מותחים חבל. מה אורך החבל?

שאלה 5 · מלבן שגוזרים ממנו ריבוע ונשאר מלבן דומהשאלת ביניים · קשה

לדף מלבני ABCDABCDABCD יש צלע קצרה AD=10AD=10AD=10 ס"מ וצלע ארוכה AB=xAB=xAB=x ס"מ. גוזרים מהדף את הריבוע AEFDAEFDAEFD שצלעו 101010 ס"מ, ונשאר המלבן EBCFEBCFEBCF. שני מלבנים נקראים דומים אם היחס בין הצלע הארוכה לצלע הקצרה זהה בשניהם. ידוע שהמלבן EBCFEBCFEBCF שנשאר דומה למלבן ABCDABCDABCD, ושבמלבן EBCFEBCFEBCF הצלע הקצרה היא EBEBEB.
ABCDEF

א.

הביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות של המלבן EBCFEBCFEBCF, והראו כי xxx מקיים את המשוואה x2−10x−100=0x^2-10x-100=0x2−10x−100=0.

ב.

מצאו את xxx. תנו תשובה מדויקת ותשובה מקורבת (שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

ג.

פי כמה גדול השטח של המלבן ABCDABCDABCD מהשטח של המלבן EBCFEBCFEBCF? תנו תשובה מדויקת ותשובה מקורבת.

שאלה 6 · מלבן לפי היקף ואלכסוןשאלה קצרה · בינונית

אריח בצורת מלבן משמש לריצוף שביל. ההיקף של האריח הוא 102 ס"מ, והאורך של האלכסון שלו הוא 39 ס"מ.

א.

מצאו את אורכי הצלעות של האריח.

ב.

האם יש אריח בצורת מלבן שהיקפו 102 ס"מ ואורך האלכסון שלו 30 ס"מ? נמקו.

שאלה 7 · מלבן ששומר על שטחו כשמשנים את צלעותיושאלת ביניים · קשה

שטח של מלבן הוא 484848 סמ"ר. אם מאריכים את אורך המלבן ב-444 ס"מ ומקצרים את רוחבו ב-222 ס"מ, מתקבל מלבן חדש שגם שטחו 484848 סמ"ר. נסמן ב-xxx את אורך המלבן המקורי וב-yyy את רוחבו (בס"מ).

א.

כתבו מערכת של שתי משוואות ב-xxx וב-yyy, והראו שמהמערכת נובע x=2y−4x=2y-4x=2y−4.

ב.

מצאו את האורך ואת הרוחב של המלבן המקורי.

ג.

מאריכים כל אחת מהצלעות של המלבן המקורי באותו מספר סנטימטרים, ומתקבל מלבן ששטחו 120120120 סמ"ר. בכמה סנטימטרים הוארכה כל צלע?

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (14)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

בעיה מילולית: כרטיסי ברכה בכיתה (שאלת ביניים · קלה)
בסוף השנה כל תלמיד בכיתה כתב כרטיס ברכה אחד לכל אחד מהתלמידים האחרים בכיתה (ולא לעצמו). נסמן ב- $n$ את מספר…
קודם לאגף אחד, אחר כך מפרקים (שאלה קצרה · קלה)
פתרו כל משוואה בעזרת פירוק לגורמים. לפני הפירוק העבירו את כל האיברים לאגף אחד וכנסו. בדקו פתרון אחד בהצבה…
הפתרונות של המשוואה והמקדמים שלה (שאלה קצרה · קלה)
בשאלה זו עוסקים במשוואות מהצורה $x^2+bx+c=0$ (המקדם של $x^2$ הוא $1$ ).
חוט שמכופפים לשני ריבועים (שאלה מלאה · בינונית)
חוט ברזל באורך $40$ ס"מ חותכים לשני חלקים. מכל חלק מכופפים ריבוע, וכל החלק משמש להיקף של הריבוע. נסמן ב- $x$ את…
חקר: הדיסקרימיננטה והקדקוד (שאלה מלאה · בינונית)
בשאלה זו חוקרים את הקשר בין הדיסקרימיננטה לבין הקדקוד של פרבולה. פונקציה בהצגה $f(x)=a(x-p)^2+k$ (כאשר…
מתי אפשר לכתוב טרינום כמכפלה? (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים שלושה טרינומים: $P=x^2+3x-10$ , $Q=x^2+3x+3$ , $R=x^2+3x+1$ . אם $t$ ו- $r$ הם שני הפתרונות של משוואה…
ההפרש בין שני הפתרונות והדיסקרימיננטה (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו עוסקים במשוואות מהצורה $x^2+bx+c=0$ (המקדם של $x^2$ הוא $1$ ).
שתי משוואות עם אותו מספר $c$ (שאלת ביניים · קשה)
נתונות שתי משוואות, כאשר $c$ הוא מספר: (1) $x^2+4x+c=0$ (2) $x^2-4x-c=0$
מוצאים את הטעות במסקנה על מספר הפתרונות (שאלה קצרה · קלה)
בכל סעיף מופיעה מסקנה של תלמיד, והמסקנה שגויה.
מה משנה את מספר הפתרונות ומה לא (שאלה קצרה · בינונית)
בשאלה זו $a$ , $b$ , $c$ הם מספרים, ו- $a\neq0$ .
בוחרים מקדם כך שיהיה פתרון אחד (שאלה קצרה · קלה)
נתונה המשוואה $x^2+kx+36=0$ , כאשר $k$ הוא מספר.
כמה פתרונות לכל היותר, ומתי בטוח שיש שניים (שאלה קצרה · בינונית)
בשאלה זו $a$ , $b$ , $c$ הם מספרים, ו- $a\neq0$ .
פתרון אחד בלבד: מתי המשוואה ריבועית ומתי לא (שאלה קצרה · קשה)
בכל סעיף $k$ הוא מספר.
ניצבים לא שלמים, יתר שלם (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ACB=90^\circ$ ) הניצב $BC$ ארוך ב- $3$ ס"מ מהניצב $AC$ . שטח המשולש $10$ סמ"ר.…