שאלות פתוחות: אי-שוויון פולינומי בשיטת התחומים - כיתה י' 5 יח"ל

אוסף שאלות פתוחות על אי-שוויון פולינומי בשיטת התחומים לכיתה י' 5 יחידות. יש פתרון של אי-שוויון שכבר מפורק לגורמים, פירוק פולינום ממעלה שלישית בעזרת שורש ידוע, פולינום עם פרמטר, ביטוי דו-ריבועי, ותחום הגדרה של פונקציות שורש שבהן צריך לפתור אי-שוויון פולינומי. רוב השאלות ברמה בינונית וקשה. מכאן אפשר לבנות מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

8 שאלותקלה: 1בינונית: 3קשה: 4

שאלה 1 · אי-שוויון של מכפלת שלושה גורמים ממעלה ראשונהשאלה קצרה · קלה

פתרו את אי-השוויון (x−1)(x+2)(x−4)>0(x-1)(x+2)(x-4)>0(x−1)(x+2)(x−4)>0.

מצאו את כל ערכי xxx המקיימים את אי-השוויון.

שאלה 2 · פתרון אי-שוויונות פולינומיים בשיטת התחומיםשאלה קצרה · בינונית

פתרו את אי-השוויונות הבאים.

א.

x3−4x2−5x≤0x^3-4x^2-5x\le0x3−4x2−5x≤0

ב.

(3−x)(x+1)(x+4)>0(3-x)(x+1)(x+4)>0(3−x)(x+1)(x+4)>0

שאלה 3 · נקודה על גרף של פולינום ממעלה שלישית ברביע השנישאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+16x2+16xf(x)=3x^3+16x^2+16xf(x)=3x3+16x2+16x. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה, ו-ttt הוא שיעור ה-xxx שלה.

מצאו את תחום הערכים של ttt שבעבורם B נמצאת ברביע השני.

שאלה 4 · פירוק פולינום בהוצאת גורם משותף ושיטת התחומיםשאלת ביניים · בינונית

נתון הפולינום p(x)=x3−3x2−4x+12p(x)=x^3-3x^2-4x+12p(x)=x3−3x2−4x+12.

א.

פרקו את p(x)p(x)p(x) למכפלה של שלושה גורמים ממעלה ראשונה.

ב.

פתרו את אי-השוויון p(x)≤0p(x)\le0p(x)≤0.

ג.

מצאו את כל ערכי xxx שעבורם x⋅p(x)>0x\cdot p(x)>0x⋅p(x)>0.

שאלה 5 · שורש כפול בשיטת התחומיםשאלת ביניים · קשה

נתון הפולינום p(x)=x3+ax+2p(x)=x^3+ax+2p(x)=x3+ax+2, כאשר aaa פרמטר. ידוע ש-x=1x=1x=1 הוא שורש של p(x)p(x)p(x).

א.

מצאו את aaa.

ב.

פרקו את p(x)p(x)p(x) לגורמים, והראו ש-p(x)=(x−1)2(x+2)p(x)=(x-1)^2(x+2)p(x)=(x−1)2(x+2).

ג.

פתרו את אי-השוויון p(x)≤0p(x)\le0p(x)≤0 ואת אי-השוויון p(x)>0p(x)>0p(x)>0.

שאלה 6 · פירוק ביטוי דו-ריבועי ושימוש בטבלת סימניםשאלת ביניים · קשה

נתון הביטוי f(x)=x4−29x2+100f(x)=x^4-29x^2+100f(x)=x4−29x2+100.

א.

פרקו את f(x)f(x)f(x) למכפלה של ארבעה גורמים ממעלה ראשונה.

ב.

פתרו את אי-השוויון f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0.

ג.

היעזרו בסעיף ב ופתרו את אי-השוויון (x+3)⋅f(x)<0(x+3)\cdot f(x)<0(x+3)⋅f(x)<0.

שאלה 7 · תחומי הגדרה של שלוש פונקציות שורש והתאמה לגרפיםשאלת ביניים · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=x2(x2−4)f(x)=\sqrt{x^2(x^2-4)}f(x)=x2(x2−4)​, h(x)=x(x2−4)h(x)=\sqrt{x(x^2-4)}h(x)=x(x2−4)​, k(x)=xx2−4k(x)=x\sqrt{x^2-4}k(x)=xx2−4​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות.

ב.

לפניכם שלושה גרפים I-III.
גרף I
גרף II
גרף III
קבעו איזה מן הגרפים מתאר כל אחת מן הפונקציות. נמקו.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פולינום ממעלה שלישית: פירוק, סימן ותחום הגדרה של שורש (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-x^2-4x+4$ .