שאלות פתוחות: פונקציה הפוכה: הגדרה ותנאי הקיום - כיתה י' 5 יח"ל

לפניכם ארבע פונקציות המוגדרות לכל $x$: $f(x)=3x-5$, $g(x)=x^2-4$, $h(x)=x^3$, $k(x)=|x-2|$. קבעו לאילו מהן יש פונקציה הפוכה. לכל פונקציה שאין לה פונקציה הפוכה, תנו שני ערכי $x$ שונים שמתאים להם אותו ערך $y$.

הראו שאין ל-$f$ פונקציה הפוכה בכל תחום ההגדרה שלה.

מצמצמים את תחום ההגדרה של $f$ לאחד מהתחומים: (1) $x\ge0$; (2) $-6\le x\le0$; (3) $-4\le x\le0$; (4) $x\ge-4$. באילו מהתחומים יש לפונקציה המצומצמת פונקציה הפוכה? נמקו.

הוכיחו שלפונקציה $f$ יש פונקציה הפוכה, ומצאו את $f^{-1}(10)$ ואת $f^{-1}(-30)$.

נתונה הפונקציה $f(x)=(x-1)^2$, המוגדרת לכל $x$. מצאו שני ערכי $x$ שונים שעבורם $f(x)=4$, והסבירו בעזרתם מדוע אין ל-$f$ פונקציה הפוכה.

נתונה הפונקציה $g(x)=2x+3$. הראו שאם $g(a)=g(b)$ אז $a=b$, ומצאו את ערך ה-$x$ שעבורו $g(x)=11$, כלומר את $g^{-1}(11)$.

מצאו את קודקוד הפרבולה, והסבירו בעזרתו מדוע אין ל-$f$ פונקציה הפוכה כאשר היא מוגדרת לכל $x$.

מצמצמים את תחום ההגדרה של $f$ לתחום מהצורה $x\le k$. מצאו את הערך הגדול ביותר של $k$ שעבורו לפונקציה המצומצמת יש פונקציה הפוכה, ומצאו את תחום הערכים של הפונקציה המצומצמת.

עבור הפונקציה המצומצמת מסעיף ב', מצאו את $f^{-1}(4)$ ואת $f^{-1}(-5)$.

הראו שכל אחד משני החלקים של $f$ הוא חד-חד-ערכי בתחום שלו, ומצאו את קבוצת הערכים של כל חלק (בחלק השני - באמצעות $c$).

מצאו את הערך הקטן ביותר של $c$ שעבורו לפונקציה $f$ (בכל תחום ההגדרה שלה) יש פונקציה הפוכה.

עבור $c=4$, מצאו את $f^{-1}(2)$ ואת $f^{-1}(12)$.

נתונה הפונקציה $f(x)=|x-3|+1$, המוגדרת לכל $x$. מצמצמים את תחום ההגדרה של $f$ לתחום מהצורה $x\ge k$. מצאו את הערך הקטן ביותר של $k$ שעבורו לפונקציה המצומצמת יש פונקציה הפוכה, ומצאו עבור תחום זה את $f^{-1}(6)$.

נתונה הפונקציה $h(x)=\frac{1}{x^2}$, המוגדרת עבור $x\ne0$. הראו שאין ל-$h$ פונקציה הפוכה. אחר כך מצמצמים את תחום ההגדרה של $h$ לתחום $x<0$. הסבירו מדוע לפונקציה המצומצמת יש פונקציה הפוכה, ומצאו את $h^{-1}(4)$.