מבחן לדוגמה: מקומות גאומטריים (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

היעזרו בזווית $BAC$, והוכיחו כי $BG=BC$ וכי הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$.

הוכיחו כי $\angle GDA=\angle GCB$, והסיקו כי $\Delta GBC\sim\Delta GAD$.

חשבו את אורך הקטע $GD$ ואת היחס $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}}$.

דרך הנקודה $C$ העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע $BA$ בנקודה $E$.

חשבו את אורך $AB$, את אורך $AE$, ופי כמה גדול שטח המשולש $CBE$ משטח המשולש $ABC$.

הוכיחו כי $AF$ הוא קוטר במעגל.

הקוטר $AF$ חותך את $BC$ בנקודה $E$.

הוכיחו כי המשולש $ABC$ הוא שווה שוקיים.

הוכיחו כי $AQ\cdot AP=AB\cdot AC$.

הוכיחו כי הישר $AC$ הוא האנך האמצעי לאלכסון $BD$: הוא מאונך ל-$BD$ ועובר באמצעו. (הטענה נכונה גם כאשר המרובע אינו קמור, וההוכחה צריכה לכסות גם מקרה זה.)

מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע AB.

מעגל M עובר בנקודות A ו-B, ומרכזו נמצא על ציר ה-$y$.

היעזרו בסעיף א, ומצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

נתון: $PD=5$, $AP=13$. מצאו את $PE$ ואת $AE$.

הנקודה $Q$ נמצאת בתוך הזווית $BAC$, במרחק $7$ מהשוק $AB$ ובמרחק $7$ מהשוק $AC$. האם $Q$ נמצאת על הקרן $AP$? נמקו.

מצאו את $\angle PBC$ ואת $\angle BPE$.

מצאו את משוואות כל המעגלים המקיימים זאת.

מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקיהן משני הישרים הנתונים שווים, ורשמו את משוואותיו.

מצאו את כל הנקודות שמרחקיהן משלושת הישרים $x=2$, $y=1$ וציר ה-$x$ שווים.

האם יש נקודה שמרחקיה מארבעת הישרים $x=2$, $y=1$, ציר ה-$x$ וציר ה-$y$ שווים? נמקו.