מבחן לדוגמה: פעולות על פונקציות והרכבה (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

סרטטו את הגרף של הפונקציה $\frac{1}{f(x)}$ בתחום $-6<x<6$ ורשמו את שיעורי נקודות הקיצון של $\frac{1}{f(x)}$ בתחום זה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים (אם הן קיימות).

סרטטו את הגרף השלם של הפונקציה $g'(x)$. פרטו בקצרה את שיקוליכם.

היעזרו בנתונים שבסרטוט, רשמו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $g(x)$ וקבעו את סוגן. נמקו בקצרה.

היעזרו בנתונים שבסרטוט ורשמו את תחומי הקעירות כלפי מעלה של $g(x)$. נמקו בקצרה.

סרטטו גרף עבור $g''(x)$ (הנגזרת השנייה של $g(x)$). נמקו בקצרה.

מהו גודל השטח הכלוא בין הגרף של $g''(x)$ לבין ציר ה-$x$ ברביע הרביעי (בתחום $-6<x<6$)? נמקו.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $\frac{1}{p(x)}$.

בכמה נקודות נפגשים הגרף של $p(x)$ והגרף של $\frac{1}{p(x)}$? נמקו את תשובתכם.

מצאו את האסימפטוטות של $h(x)$ המאונכות לצירים.

מצאו את נקודת הקיצון של $h(x)$ וקבעו את סוגה.

מצאו עבור אילו ערכים של $k$ יש לגרפים של $f(x)$ ו-$\frac1{f(x)}$ נקודות חיתוך, וכמה נקודות חיתוך יש להם אז.

הציבו $k=\frac34$, ומצאו את נקודות החיתוך של הגרפים.

האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

הראו שלגרף הפונקציה $f(x)$ אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=-\sin x\,(2\cos x+1)$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום (כולל קצות התחום) וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $h(x)=f(x)+|f(x)|$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$. מצאו את $h(x)$, ותארו את הגרף שלה.

מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$, וקבעו את סוגן.

מצאו בעבור אילו ערכים של $k$ הישר $y=k$ חותך את גרף $g(x)$ בארבע נקודות בדיוק.

מצאו באמצעות $a$ את האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים, את נקודות החיתוך שלה עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

מצאו באמצעות $a$ את כל ערכי $b$ שעבורם למשוואה $g(x)=0$ יש בדיוק 6 פתרונות.

ידוע כי הנקודה $\left(3,\frac19\right)$ היא נקודת קיצון של $g(x)$.

מצאו את $a$ ואת $b$.

עבור הערכים שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה $s(x)=\int_{\sqrt3}^{x}g(t)\,dt$, המוגדרת בתחום $x>\sqrt3$.

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $s(x)$, ומה סוגן? נמקו.