שאלות פתוחות: ערך מוחלט של פונקציה |f(x)| - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את האסימפטוטה האנכית של $f(x)$, הראו ש-$f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים.

הראו כי $f'(x)=1+\frac4{x^2}$, והסיקו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)|-3$, המוגדרת עבור $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $s(x)=\int_1^xg(t)\,dt$, המוגדרת בתחום $x>1$.

היעזרו בסעיף ד ומצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של $s(x)$ ואת סוגה.

הביעו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטות מאונכות לצירים.

נתונות הפונקציות: $g(x)=-f(x+1)$, $h(x)=|f(x)|$.

נתון כי: $\int_{1}^{3}h(x)dx=\int_{0}^{k}g(x)dx$, $k>0$.

מצאו את $k$. הסבירו את התשובה.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטות מאונכות לצירים, וכי הגרף שלה אינו עובר ברביע השני.

מצאו את $a$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה.

נתונה הפונקציה $h(x)=|f(x)|$. קבעו, לפי ערכי $m$, כמה פתרונות יש למשוואה $h(x)=m$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-f(x+c)$, כאשר $c>0$ פרמטר.

הביעו באמצעות $c$ את הערך של $k$ שבעבורו $\int_{-1-c}^{k}g(x)dx=\int_{-1}^{1}h(x)dx$ (כאשר $k>-1-c$). הסבירו.

נתון השוויון: $2+6+12+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. הגרף חותך את ציר ה-$x$ בנקודות $(a,0)$ ו-$(b,0)$, והנקודה $(c,e)$ היא נקודת המקסימום שלו.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4$, ונתונות הפונקציות $g(x)=|f(x)+1|$ ו-$h(x)=|f(x)|+1$.

המרובע ABCD חסום במעגל, ו-AD הוא קוטר במעגל שאורכו 10. הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CB, כך ש-$FB\perp FA$, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$, אם יש צורך.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה גם הפונקציה: $g(x)=|f(x)|-b$, $b$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ היא: $(-2,-3.75)$.

מצאו את הערכים של $a$ ו-$b$.

נתונה גם הפונקציה: $s(x)=\int_{-2}^{x}g(t)\,dt$, המוגדרת בתחום: $x<-2$.

מהו סוג נקודת הקיצון של $s(x)$? נמקו את תשובתכם.

מצאו באמצעות $a$ את האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים, את נקודות החיתוך שלה עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

מצאו באמצעות $a$ את כל ערכי $b$ שעבורם למשוואה $g(x)=0$ יש בדיוק 6 פתרונות.

ידוע כי הנקודה $\left(3,\frac19\right)$ היא נקודת קיצון של $g(x)$.

מצאו את $a$ ואת $b$.

עבור הערכים שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה $s(x)=\int_{\sqrt3}^{x}g(t)\,dt$, המוגדרת בתחום $x>\sqrt3$.

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $s(x)$, ומה סוגן? נמקו.

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את $f(x)$. נמקו (היעזרו בנקודות שבהן אחד הגרפים מתאפס).

הראו כי $f'(x)=\frac{2\cos x}{(2+\sin x)^2}$, ומצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום, כולל נקודות הקצה, וקבעו את סוגן.

נתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)-0.2|$ בתחום $0\le x\le2\pi$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף $g(x)$ עם ציר ה-$x$.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של $g(x)$, וקבעו את סוגן.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$.

נתונות הפונקציות: $f(x)$, $f'(x)$ ו-$f''(x)$, המוגדרות לכל $x\neq0$. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. לגרף הפונקציה $f''(x)$ יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$, ושיעוריהן הם: $(a,0)$, $(b,0)$, $(d,0)$. הנקודה $(c,e)$ היא נקודת הקיצון של הפונקציה $f''(x)$. הישר $y=k$, כאשר $0<k<e$, הוא אסימפטוטה אופקית של $f''(x)$ כאשר $x\to\infty$ (מסומן בקו מקווקו).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, ועליו כתובים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$ ושיעורי נקודת המינימום שלה. הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

נתונות הפונקציות: $g(x)=|f(x)-m|$, $h(x)=|f(x)|-m$. $m$ הוא פרמטר, $0<m<3$.

המשולש ABC חסום במעגל. הקטע AD הוא קוטר במעגל, ו-AH הוא הגובה לצלע BC במשולש ABC, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

הראו שלגרף הפונקציה $f(x)$ אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=-\sin x\,(2\cos x+1)$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום (כולל קצות התחום) וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $h(x)=f(x)+|f(x)|$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$. מצאו את $h(x)$, ותארו את הגרף שלה.

מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$, וקבעו את סוגן.

מצאו בעבור אילו ערכים של $k$ הישר $y=k$ חותך את גרף $g(x)$ בארבע נקודות בדיוק.