מבחן לדוגמה: תכנון ליניארי עם פרמטר - כיתה י"ב 3 יח"ל

חנות מלאכת יד מוכרת נרות וסבונים. נסמן ב-$x$ את מספר הנרות וב-$y$ את מספר הסבונים שהחנות מוכרת ביום. בסרטוט מתואר התחום האפשרי, וקדקודיו $O(0,0)$, $A(0,20)$, $B(20,10)$, $C(30,0)$.

הרווח מסבון הוא $20$ שקלים, והרווח מנר הוא $k$ שקלים. הרווח המקסימלי מתקבל בנקודה $B$, והוא $500$ שקלים.

מאפייה מכינה מגשי אירוח משני סוגים: מגש מתוק ומגש מלוח.

לרשות המאפייה 240 ק"ג בצק ו-180 שעות עבודה.

מגש מתוק דורש 3 ק"ג בצק ו-3 שעות עבודה. מגש מלוח דורש 4 ק"ג בצק ו-2 שעות עבודה.

מחיר מגש מלוח הוא 50 שקלים, ומחיר מגש מתוק הוא $a$ שקלים.

מפעל מייצר שני מוצרים, א ו-ב. נסמן ב-$x$ את מספר היחידות של מוצר א וב-$y$ את מספר היחידות של מוצר ב.

מערכת האילוצים: $x+y\le8$, $x+3y\le18$, $x\ge0$, $y\ge0$. קדקודי התחום האפשרי הם $(0,0)$, $(8,0)$, $(3,5)$, $(0,6)$.

הרווח מיחידה של מוצר א הוא 200 שקלים, ומיחידה של מוצר ב 600 שקלים.

מפעל מייצר שני סוגים של מטענים: מטען קטן ומטען גדול. כל מטען עובר בשתי מכונות, A ו-B.

במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונה A במשך 20 שעות לכל היותר ואת מכונה B במשך 30 שעות לכל היותר.

נסמן ב-$x$ את מספר המטענים הקטנים וב-$y$ את מספר המטענים הגדולים במחזור ייצור אחד.

הרווח מכל מטען קטן הוא 300 שקלים, והרווח מכל מטען גדול הוא $p$ שקלים ($p>0$).

סדנה מייצרת מנורות שולחן ומנורות תלייה. נסמן ב-$x$ את מספר מנורות השולחן וב-$y$ את מספר מנורות התלייה שהסדנה מייצרת בשבוע.

לייצור מנורת שולחן דרושות $2$ שעות הלחמה ושעת צביעה אחת, ולייצור מנורת תלייה דרושות שעת הלחמה אחת ו-$2$ שעות צביעה. בכל שבוע עומדות לרשות הסדנה לכל היותר $32$ שעות הלחמה ולכל היותר $28$ שעות צביעה, ואפשר למכור בשבוע לכל היותר $10$ מנורות תלייה.

הרווח ממנורת שולחן הוא $150$ שקלים, והרווח ממנורת תלייה הוא $k$ שקלים ($k>0$).

בסרטוט מתואר התחום האפשרי $OABCD$: $O$ בראשית, $A$ על ציר ה-$y$, $D$ על ציר ה-$x$.

בסדנת קרמיקה מכינים קערות ואגרטלים. להכנת קערה דרושים $2$ ק"ג חימר, ולהכנת אגרטל דרושים $k$ ק"ג חימר. בכל שבוע עומדים לרשות הסדנה לכל היותר $60$ ק"ג חימר. בכל שבוע אפשר לשרוף בתנור לכל היותר $25$ כלים.

נסמן ב-$x$ את מספר הקערות וב-$y$ את מספר האגרטלים שמכינים בשבוע.

מנהלת הסדנה רוצה להכין בשבוע אחד $12$ קערות ו-$9$ אגרטלים. היא יכולה לבחור את גודל האגרטלים, כלומר את $k$.

במפעל פועלות שלוש מכונות: $K_1$, $K_2$, $K_3$, והן משמשות לייצור שני מוצרים, $P$ ו-$Q$.

במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את $K_1$ $12$ שעות לכל היותר ואת $K_3$ $36$ שעות לכל היותר. את $K_2$ אפשר להפעיל $T$ שעות לכל היותר, ו-$T$ אינו ידוע.

הרווח מק"ג של $P$ הוא $500$ ₪ ומק"ג של $Q$ - $800$ ₪. מסמנים ב-$x$ וב-$y$ את מספר הק"ג של $P$ ושל $Q$ במחזור ייצור אחד.

חקלאית מגדלת עגבניות ופלפלים בחממות ששטחן הכולל לכל היותר $12$ דונם. לגידול דונם עגבניות דרושים $3$ ימי עבודה, ולגידול דונם פלפלים דרושים $8$ ימי עבודה. העונה עומדים לרשותה לכל היותר $k$ ימי עבודה.

הרווח מדונם עגבניות הוא $900$ שקלים, והרווח מדונם פלפלים הוא $1{,}500$ שקלים.

נסמן ב-$x$ את מספר דונמי העגבניות וב-$y$ את מספר דונמי הפלפלים.

הרווח המקסימלי העונה הוא $13{,}800$ שקלים, והוא מתקבל כשהחקלאית מנצלת את כל השטח ואת כל ימי העבודה.