שאלות פתוחות: פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודים - כיתה י"ב 3 יח"ל

פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קודקודים, שאלות לכיתה י"ב 3 יחידות. התלמידים מוצאים את הפרמטר שבעבורו שתי תוכניות שונות נותנות אותו רווח, ומסבירים מה המשמעות - יש יותר מפתרון אופטימלי אחד. ההקשרים כוללים נגרייה לשידות וארונות, סדנת תכשיטים, מפעל ארונות ומדפים, מפעל דשנים עם זמני מכונה, ומגדלת עופות שקונה שני סוגי תערובת. רוב השאלות ברמה קשה, ויש גם בינונית וקלה. בחרו מכאן שאלות לבוחן מאתגר או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל סעיף.

27 שאלותקלה: 2בינונית: 9קשה: 16

שאלה 1 · תכנון ליניארי: שידות וארונות בנגרייהשאלה מלאה · קלה

נגרייה מייצרת שידות וארונות. במחסן של הנגרייה יש מקום ל-10 רהיטים לכל היותר.
לייצור שידה אחת דרושות 2 שעות עבודה, ולייצור ארון אחד דרושות 4 שעות עבודה. לרשות הנגרייה עומדות לכל היותר 32 שעות עבודה.
נסמן ב-xxx את מספר השידות וב-yyy את מספר הארונות שהנגרייה מייצרת.

א.

רשמו את מערכת האילוצים של הבעיה.

ב.

הרווח מכל שידה הוא 300 שקלים, והרווח מכל ארון הוא 500 שקלים.

רשמו את פונקציית המטרה. האם מחפשים לה ערך מקסימלי או מינימלי?

ג.

לפניכם סרטוט של התחום האפשרי.

מצאו את שיעורי ארבעת הקדקודים של התחום האפשרי.

ד.

כמה שידות וכמה ארונות צריכה הנגרייה לייצר כדי שהרווח יהיה מקסימלי? מהו הרווח המקסימלי?

ה.

הרווח מכל ארון עלה ל-600 שקלים (הרווח מכל שידה לא השתנה).

חשבו את הרווח החדש בכל אחד מקדקודי התחום. הראו כי גם ייצור של 2 שידות ו-7 ארונות נותן עכשיו רווח מקסימלי.

שאלה 2 · פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודיםשאלה קצרה · בינונית

בסדנת תכשיטים מכינים שרשראות וצמידים. נסמן ב-xxx את מספר השרשראות וב-yyy את מספר הצמידים שמכינים בשבוע. מערכת האילוצים היא x+2y≤16x+2y\le16x+2y≤16, x+y≤10x+y\le10x+y≤10, 2x+y≤182x+y\le182x+y≤18, x≥0x\ge0x≥0, y≥0y\ge0y≥0, וקדקודי התחום האפשרי הם O(0,0)O(0,0)O(0,0), A(0,8)A(0,8)A(0,8), B(4,6)B(4,6)B(4,6), C(8,2)C(8,2)C(8,2), D(9,0)D(9,0)D(9,0).
הרווח מצמיד הוא 404040 שקלים, והרווח משרשרת הוא kkk שקלים.

א.

מצאו את kkk שעבורו הרווח בנקודה AAA שווה לרווח בנקודה CCC.

ב.

עבור ה-kkk שמצאתם, מצאו כמה שרשראות וכמה צמידים צריך להכין בשבוע כדי לקבל רווח מקסימלי, ומהו הרווח המקסימלי.

שאלה 3 · תכנון ליניארי עם פרמטר במחירשאלה מלאה · קשה

תזונאית מרכיבה תפריט יומי לספורטאית משני מאכלים בלבד: מנות דג ומנות אורז.
בטבלה שלפניכם נתונים מספר הקלוריות וכמות החלבון בכל מנה.
סוג המנהמספר הקלוריותכמות החלבון (בגרם)
מנת דג25030
מנת אורז1006
בתפריט היומי צריכות להיות 2,000 קלוריות לכל היותר, ו-60 גרם חלבון לפחות.
סמנו ב-xxx את מספר מנות הדג וב-yyy את מספר מנות האורז.

סוג המנה	מספר הקלוריות	כמות החלבון (בגרם)
מנת דג	250	30
מנת אורז	100	6

א.

כתבו את מערכת האילוצים, סרטטו את התחום האפשרי ומצאו את קדקודיו.

ב.

המחיר של מנת אורז הוא 4 שקלים, והמחיר של מנת דג הוא ppp שקלים (p>0p>0p>0).

הביעו באמצעות ppp את המחיר של התפריט בכל אחד מקדקודי התחום.

ג.

לאילו ערכים של ppp התפריט הזול ביותר כולל דג בלבד, ולאילו ערכים של ppp הוא כולל אורז בלבד?

ד.

המחיר הנמוך ביותר של התפריט הוא 36 שקלים.

מצאו את ppp, וכתבו את התפריט הזול ביותר.

ה.

נתון p=20p=20p=20.

מצאו את כל התפריטים (במספרים שלמים של מנות) שמחירם הוא המחיר הנמוך ביותר.

שאלה 4 · פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודיםשאלה קצרה · קלה

מפעל מייצר שני מוצרים, א ו-ב. נסמן ב-xxx את מספר היחידות של מוצר א וב-yyy את מספר היחידות של מוצר ב.
מערכת האילוצים: x+y≤8x+y\le8x+y≤8, x+3y≤18x+3y\le18x+3y≤18, x≥0x\ge0x≥0, y≥0y\ge0y≥0. קדקודי התחום האפשרי הם (0,0)(0,0)(0,0), (8,0)(8,0)(8,0), (3,5)(3,5)(3,5), (0,6)(0,6)(0,6).
הרווח מיחידה של מוצר א הוא 200 שקלים, ומיחידה של מוצר ב 600 שקלים.

לפניכם 4 אפשרויות ייצור. בחרו את כל האפשרויות שבהן הרווח מקסימלי.
3 יחידות של א ו-5 יחידות של ב.
0 יחידות של א ו-6 יחידות של ב.
6 יחידות של א ו-4 יחידות של ב.
8 יחידות של א ו-0 יחידות של ב.

שאלה 5 · פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודיםשאלה קצרה · בינונית

מפעל מייצר ארונות ומדפים. נסמן ב-xxx את מספר הארונות וב-yyy את מספר המדפים שמייצרים במחזור ייצור. קדקודי התחום האפשרי הם O(0,0)O(0,0)O(0,0), A(0,8)A(0,8)A(0,8), B(5,6)B(5,6)B(5,6), C(8,0)C(8,0)C(8,0).
הרווח ממדף הוא 500500500 שקלים, והרווח מארון הוא kkk שקלים. הרווח המקסימלי מתקבל גם ב-BBB וגם ב-CCC.

א.

מצאו את kkk.

ב.

לאחר זמן עלה הרווח ממדף ל-600600600 שקלים, והרווח מארון לא השתנה. כמה ארונות וכמה מדפים צריך המפעל לייצר עכשיו כדי לקבל רווח מקסימלי, ומהו הרווח המקסימלי?

שאלה 6 · תכנון ליניארי עם פרמטר ברווחשאלה מלאה · קשה

במפעל מייצרים שני סוגי דשן: דשן לגינה ודשן לחקלאות. בטבלה מוצג הזמן הנדרש לכל מכונה כדי לייצר טונה אחת.
סוג הדשןזמן ערבוב במכונה א' (לטונה)זמן שקילה ואריזה במכונה ב' (לטונה)
דשן לגינה10 שעות4 שעות
דשן לחקלאות4 שעות8 שעות
במחזור ייצור אחד מכונה א' יכולה לפעול 50 שעות לכל היותר, ומכונה ב' 36 שעות לכל היותר.
נסמן ב-xxx את כמות הדשן לגינה וב-yyy את כמות הדשן לחקלאות (בטונות) במחזור ייצור אחד.
הרווח הוא 6,000 שקלים לכל טונה של דשן לגינה ו-ppp שקלים לכל טונה של דשן לחקלאות (p>0p>0p>0).

סוג הדשן	זמן ערבוב במכונה א' (לטונה)	זמן שקילה ואריזה במכונה ב' (לטונה)
דשן לגינה	10 שעות	4 שעות
דשן לחקלאות	4 שעות	8 שעות

א.

כתבו את מערכת האילוצים, סרטטו את התחום האפשרי ומצאו את קודקודיו.

ב.

עבור אילו ערכים של ppp הרווח המקסימלי מתקבל כשמייצרים 4 טונות דשן לגינה ו-2.5 טונות דשן לחקלאות?

ג.

ידוע שהרווח המקסימלי האפשרי במחזור ייצור הוא 49,000 שקלים. מצאו את ppp.

ד.

עבור אילו ערכים של ppp יש יותר מתוכנית ייצור אחת שנותנת את הרווח המקסימלי? תארו את התוכניות האלה.

שאלה 7 · פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודיםשאלה קצרה · בינונית

מגדלת עופות קונה שקי תערובת מסוג א ומסוג ב. בשק מסוג א יש 222 ק"ג חלבון, 111 ק"ג שומן ו-111 ק"ג סיבים, ובשק מסוג ב יש 111 ק"ג חלבון, 111 ק"ג שומן ו-333 ק"ג סיבים. בכל שבוע צריך לפחות 121212 ק"ג חלבון, לפחות 888 ק"ג שומן ולפחות 121212 ק"ג סיבים.
נסמן ב-xxx את מספר השקים מסוג א וב-yyy את מספר השקים מסוג ב שהיא קונה בשבוע. התחום האפשרי מתואר בסרטוט, וקדקודיו A(0,12)A(0,12)A(0,12), B(4,4)B(4,4)B(4,4), C(6,2)C(6,2)C(6,2), D(12,0)D(12,0)D(12,0).
השנה שני סוגי השקים עולים אותו מחיר: 303030 שקלים לשק.
ABCD

מצאו את ההוצאה השבועית המינימלית, ואת כל ההזמנות (מספר שלם של שקים מכל סוג) שבהן היא מתקבלת.

שאלה 8 · תכנון ליניארי עם פרמטר ברווחשאלה מלאה · קשה

סדנה מייצרת xxx צמידים ו-yyy שרשראות ביום. התחום האפור בסרטוט הוא התחום האפשרי.
משוואת הישר BC היא y=0.5x+3y=0.5x+3y=0.5x+3, ומשוואת הישר AC היא y=−x+15y=-x+15y=−x+15. הנקודות A ו-B נמצאות על ציר ה-yyy.
על כל שרשרת הסדנה מרוויחה 10 שקלים, ועל כל צמיד היא מרוויחה aaa שקלים (a>0a>0a>0).
ABC

א.

כתבו את מערכת האילוצים המתארת את התחום האפור.

ב.

לאילו ערכים של aaa הרווח המקסימלי מתקבל בנקודה C בלבד? מה קורה כאשר aaa שווה לערך הגבול?

ג.

נתון שהרווח המקסימלי של הסדנה הוא 310 שקלים ביום. מצאו את aaa.

ד.

עבור aaa שמצאתם, האם הסדנה יכולה להרוויח בדיוק 250 שקלים ביום כשהיא מייצרת 4 צמידים? נמקו.

שאלה 9 · פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודיםשאלה קצרה · בינונית

חוות דגים קונה שני סוגי מזון. בשק מסוג א יש 333 ק"ג חלבון ו-111 ק"ג שומן, ובשק מסוג ב יש 111 ק"ג חלבון ו-222 ק"ג שומן. בכל שבוע צריך לפחות 151515 ק"ג חלבון ולפחות 101010 ק"ג שומן. שק מסוג ב עולה 303030 שקלים, ושק מסוג א עולה kkk שקלים.
נסמן ב-xxx את מספר השקים מסוג א וב-yyy את מספר השקים מסוג ב שהחווה קונה בשבוע.

א.

מצאו את kkk שעבורו ההוצאה בקדקוד של התחום האפשרי שעל ציר ה-yyy שווה להוצאה בקדקוד שעל ציר ה-xxx.

ב.

עבור ה-kkk שמצאתם, מצאו כמה שקים מכל סוג צריך לקנות כדי שההוצאה תהיה מינימלית, ומהי ההוצאה המינימלית.

שאלה 10 · תכנון ליניארי עם פרמטר: גבינה צהובה וגבינה בולגריתשאלה מלאה · קשה

במחלבה מייצרים שני סוגי גבינה: גבינה צהובה וגבינה בולגרית.
בטבלה שלפניכם מוצג הזמן הנדרש בכל אחד משני שלבי הייצור - בישול ואריזה - לייצור 1 קילוגרם של כל סוג.
זמן הבישול (ל-1 קילוגרם)זמן האריזה (ל-1 קילוגרם)
גבינה צהובה4 דקות2 דקות
גבינה בולגרית2 דקות3 דקות
במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונת הבישול 52 דקות לכל היותר ואת מכונת האריזה 36 דקות לכל היותר.
נסמן ב-xxx את מספר הקילוגרמים של הגבינה הצהובה וב-yyy את מספר הקילוגרמים של הגבינה הבולגרית שמייצרים במחזור ייצור אחד.

	זמן הבישול (ל-1 קילוגרם)	זמן האריזה (ל-1 קילוגרם)
גבינה צהובה	4 דקות	2 דקות
גבינה בולגרית	2 דקות	3 דקות

א.

כתבו את מערכת האילוצים וסרטטו את התחום האפשרי.

ב.

מצאו את שיעורי הקדקודים של התחום האפשרי.

ג.

הרווח ממכירה של קילוגרם גבינה צהובה הוא 30 שקלים, והרווח ממכירה של קילוגרם גבינה בולגרית הוא ppp שקלים. ידוע שהרווח המקסימלי האפשרי במחזור ייצור אחד הוא 415 שקלים.

מצאו את ppp.

ד.

המחלבה שוקלת לשנות את מחיר הגבינה הבולגרית, ולכן ppp אינו ידוע (הרווח מקילוגרם גבינה צהובה נשאר 30 שקלים).

בעבור אילו ערכים של ppp הרווח המקסימלי מתקבל כאשר מייצרים גבינה בולגרית בלבד?

עוד 16 שאלות על פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציית מטרה שמקבלת ערך שווה בשני קדקודים (שאלה קצרה · בינונית)
בנגרייה מייצרים שולחנות וכיסאות בר. נסמן ב- $x$ את מספר השולחנות וב- $y$ את מספר הכיסאות שמייצרים בשבוע. מערכת האילוצים היא $y\le6$ ,…
תכנון ליניארי עם פרמטר ברווח: מתי הקודקוד הפנימי אופטימלי (שאלה מלאה · קשה)
מפעל מייצר שני סוגים של מטענים: מטען קטן ומטען גדול. כל מטען עובר בשתי מכונות, A ו-B. במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונה A במשך 20 שעות…
תכנון ליניארי: עגבניות ופלפלים בחממה (שאלה מלאה · בינונית)
שירה מגדלת עגבניות ופלפלים בחממות ששטחן הכולל 12 דונם לכל היותר. להשקיית דונם אחד של עגבניות דרושים 3,000 מ"ק מים בעונה. להשקיית דונם אחד של…
תכנון ליניארי: מאחוז השינוי לרווח המקסימלי ובחזרה (שאלה מלאה · קשה)
מפעל מייצר בכל יום שני סוגים של מנורות – מנורות שולחן ומנורות רצפה. נסמן ב- $x$ את מספר מנורות השולחן וב- $y$ את מספר מנורות הרצפה שהמפעל…
פרמטר שעבורו הרווח המקסימלי שווה בשני קדקודים (שאלה קצרה · בינונית)
חקלאי מגדל עגבניות וחצילים. לרשותו $1{,}000$ מ"ק מים ו- $360$ ימי עבודה. בטבלה נתונים הצרכים לדונם אחד: הרווח מדונם עגבניות הוא $3{,}000$ ₪,…
תכנון ליניארי: רווח לא ידוע ממגשי עוגיות (שאלה מלאה · קשה)
במאפייה אורזים מגשים של עוגיות שוקולד ועוגיות שקדים. המשקל של עוגיית שוקולד הוא 20 גרם, והמשקל של עוגיית שקדים הוא 30 גרם. המשקל של העוגיות…
הוצאה שווה בשני קדקודים שאינם סמוכים, ההוצאה המינימלית ומחיר שעבורו צלע שלמה מיטבית (שאלת ביניים · בינונית)
חוות דגים קונה שני סוגי מזון. בשק מסוג א יש $3$ ק"ג חלבון ו- $1$ ק"ג שומן, ובשק מסוג ב יש $1$ ק"ג חלבון ו- $2$ ק"ג שומן. בכל שבוע צריך לפחות…
תכנון ליניארי עם פרמטר ברווח: ספסלים ושולחנות (שאלה מלאה · קשה)
מפעל לרהיטי גן מייצר ספסלים ושולחנות. כל רהיט עובר צביעה והרכבה. בשבוע אפשר להקדיש לצביעה 42 שעות לכל היותר, ולהרכבה 40 שעות לכל היותר.…
עגבניות וחצילים: רווח לא ידוע ופתרון אופטימלי (שאלה מלאה · קשה)
חקלאי מגדל עגבניות וחצילים. לרשותו $1{,}000$ מ"ק מים ו- $360$ ימי עבודה. בטבלה נתונים הצרכים לדונם אחד: הרווח מדונם עגבניות הוא $3{,}000$ ₪,…
תכנון ליניארי: גידולים בחווה ורווח משתנה (שאלה מלאה · קשה)
חקלאי מגדל תפוחי אדמה ובצל. כל דונם של תפוחי אדמה דורש 3 ימי עבודה ו-100 מ"ק מים. כל דונם של בצל דורש 2 ימי עבודה ו-200 מ"ק מים. בעונה…
תכנון ליניארי: מחיר לא ידוע בפונקציית המטרה (שאלה מלאה · קשה)
חוות סוסים מזמינה כל שבוע שקי תערובת ושקי חציר. במחסן יש מקום ל-19 שקים לכל היותר. בהזמנה השבועית צריכות להיות לפחות 270 יחידות חלבון ולפחות…
תכנון ליניארי עם פרמטר ברווח: איפה המקסימום ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
מפעל לצבעים מייצר בכל שבוע $x$ טונות של צבע לבן ו- $y$ טונות של צבע צבעוני. התחום המסורטט הוא התחום האפשרי של המפעל. הצלע $AB$ מונחת על הישר…
תכנון ליניארי עם פרמטר: שכירת מכונות תפירה (שאלה מלאה · קשה)
מפעל טקסטיל שוכר מכונות תפירה משני סוגים: מכונות מסוג א ומכונות מסוג ב. נסמן ב- $x$ את מספר המכונות מסוג א וב- $y$ את מספר המכונות מסוג ב. -…
תכנון ליניארי עם פרמטר במחיר: מגשי אירוח (שאלה מלאה · קשה)
מאפייה מכינה מגשי אירוח משני סוגים: מגש מתוק ומגש מלוח. לרשות המאפייה 240 ק"ג בצק ו-180 שעות עבודה. מגש מתוק דורש 3 ק"ג בצק ו-3 שעות עבודה.…
ערכי הפרמטר שבהם יש יותר מתוכנית מיטבית אחת (שאלה קצרה · קשה)
במפעל מייצרים שני סוגי דשן: דשן לגינה ודשן לחקלאות. בטבלה מוצג הזמן הנדרש לכל מכונה כדי לייצר טונה אחת. במחזור ייצור אחד מכונה א' יכולה…
קדקוד שני שבו מתקבל הרווח המקסימלי ותוכנית על הצלע (שאלת ביניים · קשה)
סדנה מייצרת מנורות שולחן ומנורות תלייה. נסמן ב- $x$ את מספר מנורות השולחן וב- $y$ את מספר מנורות התלייה שהסדנה מייצרת בשבוע. לייצור מנורת…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

תכנון ליניארי: בצל וגזר בשדה · בגרות 372 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 2
נדב מגדל בצל וגזר בשדה ששטחו 11 דונם לכל היותר. כדי לגדל בצל בדונם אחד דרושים 2 ימי עבודה. כדי לגדל גזר בדונם אחד דרושים 7 ימי עבודה. לרשות נדב עומדים לכל היותר…