מבחן לדוגמה: מודל ריבועי בהקשר - כיתה י"ב 3 יח"ל

בגן שעשועים בנו על קרקע מישורית מסלול של רכבת הרים לילדים בצורת פרבולה.

המסלול מתחיל בנקודה $A$ ומסתיים בנקודה $B$, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

בנו למסלול עמוד תמיכה אנכי. עמוד התמיכה מתחיל בקרקע בנקודה $O$ (ראשית הצירים) ומסתיים בנקודה $D$, שנמצאת על המסלול.

הפונקציה המתארת את המסלול היא $y=-0.5x^2+3x+8$.

ציר ה-$x$ מונח על הקרקע ומתאר את המרחק (במטרים) מעמוד התמיכה.

ציר ה-$y$ מתאר את גובה המסלול (במטרים).

בפארק מים מתכננים מגלשה שצורתה פרבולה שמשוואתה $y=0.5x^2+bx+c$ ($b$ ו-$c$ קבועים).

למגלשה עולים בסולם אנכי מהנקודה $O$ (ראשית הצירים) עד הנקודה $A$ שעל ציר ה-$y$. ציר ה-$x$ מונח על הקרקע ומתאר את המרחק (במטרים) מן הסולם, וציר ה-$y$ את הגובה (במטרים).

מ-$A$ המגלשה יורדת עד הנקודה הנמוכה ביותר $C$, שנמצאת מימין לסולם, ועולה עד הקצה $B$.

גובה הסולם הוא 12 מטרים, והנקודה $C$ נמצאת בגובה 4 מטרים מעל הקרקע.

סילון מים יוצא מצינור הקבוע בקיר. הפונקציה $y=-x^2+4x+12$ מתארת את הגובה של הסילון מעל הקרקע במטרים ($y$) כפונקציה של המרחק האופקי מהקיר במטרים ($x$), כמתואר בסרטוט.

שחקן בועט בכדור מן הקרקע. מסלול הכדור הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.05x^2+1.2x$, כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה ו-$y$ הוא גובה הכדור (במטרים).

מתכננים גשר מעל תעלה שרוחבה $16$ מטרים. קשת הגשר היא פרבולה שמשוואתה $y=ax^2+bx$, כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהגדה השמאלית ו-$y$ הוא הגובה (במטרים) מעל המים. רגלי הקשת נמצאות על פני המים, בשתי הגדות: ב-$x=0$ וב-$x=16$. הנקודה הגבוהה ביותר של הקשת נמצאת $8$ מטרים מעל המים (ראו סרטוט).

מהנדס מתכנן קשת לגשר מעל כביש. רגלי הקשת יעמדו על הקרקע בנקודות $x=0$ ו-$x=16$, והקשת תתואר על ידי $y=ax(x-16)$, כאשר $a$ מספר שלילי, $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהרגל השמאלית ו-$y$ הוא הגובה (במטרים) מעל הכביש. לפי הדרישה, משאית שרוחבה $4$ מטר, גובהה $6$ מטר וגגה שטוח, שנוסעת בדיוק באמצע שבין רגלי הקשת, צריכה לעבור מתחת לקשת: מעל כל אחת מדפנות המשאית גובה הקשת צריך להיות $6$ מטר לפחות.

במועדון כושר מחיר המנוי החודשי $150$ שקלים, ובמחיר זה רשומים $400$ מנויים. הנהלת המועדון מצאה שכל הוזלה של $5$ שקלים במחיר המנוי מצרפת $20$ מנויים חדשים. נסמן ב-$x$ את מספר ההוזלות של $5$ שקלים.

קבוצה של $16$ משתתפים נרשמה לסדנת צילום. כל משתתף היה צריך לשלם $120$ ₪.

המדריך הסכים שלכל משתתף נוסף שיצטרף לסדנה, הוא יוזיל את המחיר ב-$3$ ₪ לכל משתתף בסדנה.

(לדוגמה, אם יצטרפו $4$ משתתפים, כל אחד ישלם $4\cdot3=12$ ₪ פחות.)

סמנו ב-$x$ את מספר המשתתפים הנוספים (מעבר ל-$16$ המשתתפים) שישתתפו בסדנה.