שאלות פתוחות: מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה - כיתה י"ב 3 יח"ל

מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה לכיתה י"ב, 3 יחידות: גובה מרבי ונקודת נחיתה. השאלות כוללות סילון מים מצינור בקיר, מזרקה שזרמה חוצה בריכה, אבן שנזרקה מראש צוק לים, כדור שנזרק ממרפסת או אנכית מגובה 1.5 מטרים, וכדור שנבעט במעלה גבעה משופעת שמתוארת בישר. התלמידים מוצאים את הקדקוד, את המקום שבו הגוף פוגע בקרקע או במים ואת הזמן שזה לוקח. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבנות מכאן מבחן או דף עבודה עם פתרון מלא לכל סעיף.

47 שאלותקלה: 9בינונית: 32קשה: 6

שאלה 1 · מודל ריבועי: סילון מיםשאלה מלאה · קלה

סילון מים יוצא מצינור הקבוע בקיר. הפונקציה y=−x2+4x+12y=-x^2+4x+12y=−x2+4x+12 מתארת את הגובה של הסילון מעל הקרקע במטרים (yyy) כפונקציה של המרחק האופקי מהקיר במטרים (xxx), כמתואר בסרטוט.

א.

באיזה גובה נמצא הצינור (הסילון ב-x=0x=0x=0)?

ב.

מהו הגובה המקסימלי של הסילון, ובאיזה מרחק מהקיר הוא מתקבל?

ג.

באילו מרחקים מהקיר הסילון נמצא בגובה 15 מטרים?

ד.

באיזה מרחק מהקיר פוגע הסילון בקרקע?

שאלה 2 · מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתהשאלה קצרה · בינונית

בבריכה יש מזרקה. זרם המים יוצא מצד אחד של הבריכה, זורם בצורת פרבולה מעל הבריכה ונופל לצד הנגדי שלה. מסלול הזרם הוא החלק של הפרבולה y=−0.5x2+4x−6y=-0.5x^2+4x-6y=−0.5x2+4x−6 שנמצא מעל ציר ה-xxx (ראו סרטוט). ציר ה-xxx מונח על פני המים בבריכה ומייצג את המרחק האופקי (במטרים) מקיר המכונה של המזרקה, וציר ה-yyy מייצג את הגובה (במטרים).

א.

מצאו באיזה תחום של xxx זרם המים נמצא מעל פני המים.

ב.

מצאו את הגובה המרבי של זרם המים מעל פני המים.

שאלה 3 · מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתהשאלה קצרה · קשה

כדור נבעט מרגלי גבעה משופעת. נמדוד מרחק אופקי xxx (במטרים) מנקודת הבעיטה. פני הגבעה מתוארים על ידי הישר y=0.5xy=0.5xy=0.5x, ומסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה y=2x−0.05x2y=2x-0.05x^2y=2x−0.05x2, עבור 0≤x≤300\le x\le300≤x≤30 (ב-x=30x=30x=30 הכדור פוגע בגבעה), כמתואר בסרטוט.
מסלול הכדורהגבעה

מצאו את הגובה המרבי של הכדור מעל פני הגבעה, כשהגובה נמדד אנכית.

שאלה 4 · מודל ריבועי: בעיטה בכדורשאלה מלאה · קלה

דני בעט בכדור מהקרקע. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y=−0.2x2+2xy=-0.2x^2+2xy=−0.2x2+2x, כמתואר בסרטוט.
ציר ה-xxx מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הבעיטה, וציר ה-yyy מייצג את גובה הכדור (במטרים).
‫המרחק האופקי‬‫גובה הכדור‬

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-xxx. מה המרחק האופקי שעבר הכדור עד שנחת?

ב.

מצאו את שיעור ה-xxx של קדקוד הפרבולה בעזרת הנוסחה x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​, ואת הגובה המקסימלי של הכדור.

ג.

חשבו את גובה הכדור כאשר המרחק האופקי שלו מנקודת הבעיטה הוא 2 מטרים.

ד.

הפרבולה סימטרית סביב הישר האנכי שעובר דרך הקדקוד. מצאו מרחק אופקי נוסף שבו הכדור היה בגובה 3.2 מטרים.

שאלה 5 · מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתהשאלה קצרה · בינונית

אבן נזרקה כלפי מעלה מראש צוק שמעל הים, ונפלה לים. הגובה של האבן מעל פני הים (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה h(t)=−5t2+10t+15h(t)=-5t^2+10t+15h(t)=−5t2+10t+15, כאשר ttt הוא הזמן (בשניות) מרגע הזריקה. בסרטוט גרף הפונקציה.
h(t)

א.

כמה זמן הייתה האבן מעל פני הים?

ב.

במשך כמה זמן הייתה האבן גבוהה יותר מראש הצוק?

שאלה 6 · מודל ריבועי עם פרמטר: מהירות הזריקה מתוך הגובה המרבישאלה מלאה · קשה

כדור נזרק אנכית כלפי מעלה מגובה 1.5 מטרים. הגובה שלו במטרים כעבור xxx שניות מתואר על ידי הפונקציה y=−5x2+20x+1.5y=-5x^2+20x+1.5y=−5x2+20x+1.5.

א.

כעבור כמה שניות מגיע הכדור לגובה המקסימלי? מהו הגובה המקסימלי?

ב.

כעבור כמה שניות מרגע הזריקה פוגע הכדור בקרקע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ג.

כמה זמן נמצא הכדור בגובה של יותר מ-16.5 מטרים?

ד.

מצאו לאילו גבהים hhh הכדור נמצא בגובה hhh פעמיים בדיוק במהלך התנועה (מרגע הזריקה ועד הפגיעה בקרקע), ולאילו גבהים פעם אחת בלבד.

שאלה 7 · מודל ריבועי: כדור שנזרק ממרפסתשאלה מלאה · קלה

כדור נזרק ממרפסת. מסלול הכדור הוא חלק מפרבולה שמשוואתה y=−x2+4x+5y=-x^2+4x+5y=−x2+4x+5 (ראו סרטוט),
כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מקיר הבניין ו-yyy הוא הגובה (במטרים) מעל הקרקע. הכדור נזרק מהנקודה שבה x=0x=0x=0.

א.

מה היה הגובה של הכדור כאשר המרחק האופקי שלו מהקיר היה 1 מטר?

ב.

מצאו את הגובה המקסימלי של הכדור, ובאיזה מרחק אופקי מהקיר הוא התקבל.

ג.

הראו שהכדור פוגע בקרקע במרחק 5 מטרים מהקיר.

ד.

בעבור אילו ערכים של xxx הכדור עלה?

שאלה 8 · מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתהשאלה קצרה · בינונית

רון זרק כדור. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה y=1.5+2x−x24y=1.5+2x-\frac{x^2}{4}y=1.5+2x−4x2​ (ראו סרטוט). ציר ה-xxx מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הזריקה, וציר ה-yyy את גובה הכדור (במטרים) מעל הקרקע.

א.

באיזה מרחק אופקי מנקודת הזריקה פגע הכדור בקרקע? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

ב.

מצאו את הגובה המרבי של הכדור.

שאלה 9 · מודל ריבועי: מסלול של רחפן ומספר הנקודות בגובה נתוןשאלה מלאה · קשה

רחפן צעצוע יוצא לדרך מראש מגדל (הנקודה AAA) ונוחת על הקרקע בנקודה BBB.
מסלול הטיסה מתואר על ידי הפונקציה f(x)=−0.25x2+2x+5f(x)=-0.25x^2+2x+5f(x)=−0.25x2+2x+5, כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) מהמגדל ו-f(x)f(x)f(x) הוא הגובה (במטרים) מעל הקרקע.
AB

א.

מצאו את גובה הנקודה AAA, את המרחק האופקי של נקודת הנחיתה BBB מהמגדל, ואת הגובה המקסימלי של הרחפן.

ב.

בחלק של המסלול שבו הרחפן יורד, הוא חולף בדיוק מעל ראש של עמוד שגובהו 8.75 מטרים. מצאו את המרחק האופקי בין העמוד למגדל.

ג.

בעבור אילו גבהים hhh יש במסלול נקודה אחת בלבד שבה הרחפן נמצא בגובה hhh?

שאלה 10 · מודל ריבועי: כדור שנזרק מגגשאלה מלאה · קלה

נועם זרק כדור מגג של בניין. גובה הכדור מעל הקרקע (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה y=−0.5x2+3x+8y=-0.5x^2+3x+8y=−0.5x2+3x+8,
כאשר xxx הוא המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מקיר הבניין. הקרקע ליד הבניין מישורית.

א.

מאיזה גובה נזרק הכדור?

ב.

שיעור ה-xxx של קדקוד הפרבולה הוא x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​. מצאו את הגובה המקסימלי של הכדור.

ג.

מצאו את גובה הכדור כאשר המרחק האופקי שלו מהקיר הוא 5 מטרים.

ד.

באיזה מרחק מקיר הבניין פגע הכדור בקרקע?

עוד 27 שאלות על מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
כדור נבעט אנכית כלפי מעלה מגובה הקרקע. גובהו (במטרים) כעבור $t$ שניות נתון בנוסחה $h=bt-5t^2$ , כאשר $b$ מספר קבוע. הכדור הגיע לגובה המרבי…
מודל ריבועי: מסלול מזחלת עם מקדם לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
מזחלת שלג נוסעת בעמק על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.2x^2+bx$ ( $b$ פרמטר). המסלול מתחיל בראשית הצירים $O$ ומסתיים בנקודה $A$ שעל ציר…
מודל ריבועי: סילון מים של מזרקה (שאלה מלאה · קלה)
סילון המים של מזרקה נע במסלול בצורת פרבולה. הגובה של המים (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה $h(x)=-0.5x^2+4x+2$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
במזרקה המים יוצאים מפתח שבגובה פני המים ונעים בצורת פרבולה שמשוואתה $y=-0.5x^2+bx$ , כאשר $b$ מספר קבוע, $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהפתח…
משך הזמן שבו כדור נמצא מעל גובה נתון (שאלה קצרה · קשה)
כדור נזרק אנכית כלפי מעלה מגובה 1.5 מטרים. הגובה שלו במטרים כעבור $x$ שניות מתואר על ידי הפונקציה $y=-5x^2+20x+1.5$ .
מודל ריבועי: ציפור צוללת אל מתחת לפני המים (שאלה מלאה · קלה)
ציפור ים צוללת אל מתחת לפני המים כדי לצוד דג. המסלול של הציפור מתחת לפני המים הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.5x^2-2x$ . הציפור נכנסת למים…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
דני ומיכל זורקים כדורים כלפי מעלה. גובה הכדור של דני (במטרים) כעבור $t$ שניות הוא $h=-5t^2+20t+1.5$ , וגובה הכדור של מיכל הוא…
מסלול רחפן: נקודת הנחיתה, הגובה המרבי ומעבר מעל עמוד (שאלת ביניים · קשה)
רחפן צעצוע יוצא לדרך מראש מגדל (הנקודה $A$ ) ונוחת על הקרקע בנקודה $B$ . מסלול הטיסה מתואר על ידי הפונקציה $f(x)=-0.25x^2+2x+5$ , כאשר $x$ הוא…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · קלה)
שחקן בועט בכדור מן הקרקע. מסלול הכדור הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.05x^2+1.2x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
חץ נורה אנכית כלפי מעלה מראש מגדל תצפית שגובהו $15$ מטרים. גובה החץ מעל הקרקע (במטרים) כעבור $t$ שניות נתון בנוסחה $h=-5t^2+30t+15$ .
מודל ריבועי: זריקת כדור (שאלה מלאה · בינונית)
מיכל זורקת כדור כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+14x+1$ מתארת במטרים את הגובה של הכדור מעל הקרקע (ציר ה- $y$ ) כפונקציה של הזמן בשניות…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
כדור נבעט מהקרקע. הגובה שלו במטרים כעבור $x$ שניות מתואר על ידי הפונקציה $y=-5x^2+18x$ .
מודל ריבועי: זריקה לחבר על מרפסת (שאלה מלאה · בינונית)
גל זרק כדור לחברו, שעומד על מרפסת. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.3x^2+1.8x+1.5$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
מראש צוק שגובהו 25 מטרים מעל פני הים זרקו אבן כלפי מעלה. הגובה של האבן מעל פני הים (במטרים) $t$ שניות אחרי הזריקה נתון על ידי…
מודל ריבועי: קפיצה של צפרדע (שאלה מלאה · בינונית)
צפרדע קפצה מאבן אל גדם של עץ. הצפרדע נעה במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.8x^2+1.6x+0.3$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק…
מודל ריבועי: סילון מים במזרקה (שאלה מלאה · בינונית)
במזרקה בגן ציבורי יוצא סילון מים מפיית המזרקה, ומסלולו הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+1.2x+3.2$ . הסילון יוצא מהפייה בנקודה $A$ שעל ציר…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
שחקן בעט בכדור מהקרקע. מסלול הכדור הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.05x^2+x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה ו- $y$ הוא הגובה…
מודל ריבועי: קפיצה של קנגורו (שאלה מלאה · בינונית)
קנגורו קפץ על קרקע מישורית. הקנגורו התנתק מהקרקע בנקודה $A$ ונחת בנקודה $B$ . מסלול הקפיצה הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+2.4x-5.4$ ,…
מודל ריבועי: כדור לכלב (שאלה מלאה · בינונית)
שירה משחקת עם הכלב שלה בכדור טניס בחצר שהקרקע שלה מישורית. שירה זרקה את הכדור לכלב. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+2.8x+1.2$ ,…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
סילון מים במזרקה נע בצורת פרבולה שמשוואתה $y=-0.6x^2+3.6x+1.5$ . $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מפתח הצינור, ו- $y$ הוא גובה המים (במטרים) מעל…
מודל ריבועי: הגשה בכדורעף (שאלה מלאה · בינונית)
מאיה הגישה כדור במשחק כדורעף. המגרש מישורי. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.05x^2+0.6x+2.25$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את…
מודל ריבועי: מגלשת מים בפארק (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק מים בנו מגלשה על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של המגלשה הוא בצורת פרבולה. קטע זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ (ראו…
מסלולי זריקה, קפיצה ומזרקה: גובה מרבי ונקודת נחיתה (שאלה קצרה · בינונית)
כדור נבעט מהקרקע. הגובה של הכדור (במטרים) מתואר על ידי הפונקציה $h(x)=-0.05x^2+x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת הבעיטה.
מודל ריבועי: שביל הליכה על גבעה (שאלה מלאה · בינונית)
בפארק טבע סללו שביל הליכה שעובר מעל גבעה. אחד מן הקטעים של השביל הוא בצורת פרבולה. קטע שביל זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה…
מודל ריבועי: רכבת הרים במנהרה (שאלה מלאה · בינונית)
קטע ממסלול של רכבת הרים עובר במנהרה מתחת לפני הקרקע. הקטע הוא בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.5x^2-4x+6$ . הקטע מתחיל בנקודה $P$ שעל ציר…
מודל ריבועי: שקע במסלול אופניים (שאלה מלאה · בינונית)
במסלול לאופני BMX חפרו בקרקע שקע. רוכבת נוסעת לאורך המסלול, נכנסת לשקע בנקודה $A$ ויוצאת ממנו בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. בין $A$ ל- $B$ …
קפיצת קנגורו: נקודות הניתוק והנחיתה, הגובה המרבי ותחום הירידה (שאלת ביניים · בינונית)
קנגורו קפץ על קרקע מישורית. הקנגורו התנתק מהקרקע בנקודה $A$ ונחת בנקודה $B$ . מסלול הקפיצה הוא חלק מפרבולה שמשוואתה $y=-0.2x^2+2.4x-5.4$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מודל ריבועי: זריקת אבן · בגרות 372 חורף 2024, שאלה 4
נדב זורק אבן כלפי מעלה. הפונקציה הריבועית $y=-5x^2+16x+2$ מתארת במטרים את הגובה של האבן מעל הקרקע (ציר ה- $y$ ) כפונקציה של הזמן בשניות (ציר ה- $x$ ), כמתואר בסרטוט…
מודל ריבועי: זריקה לסל · בגרות 372 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.5x^2+2x+2$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה.…
מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה · בגרות 372 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
מעל נהר בנו גשר בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=-0.1x^2+0.8x$ . הגשר מתחיל בנקודה $O$ ומסתיים בנקודה $B$ , כמתואר בסרטוט. ציר ה- $x$ מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן…
מודל ריבועי: מסירה בכדור · בגרות 372 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
תומר ויואב שיחקו במסירות בכדור קטן. הם שיחקו במגרש שהקרקע שלו מישורית. באחת המסירות זרק תומר את הכדור ליואב. הכדור נע בצורת פרבולה שמשוואתה היא…
מודל ריבועי: קטע של רכבת הרים · בגרות 372 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
בפארק שעשועים התקינו רכבת הרים על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של מסילת הרכבת הוא בצורת פרבולה. קטע מסילה זה מתחיל בנקודה $A$ על ציר ה- $y$ ומסתיים בנקודה $B$ …
מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד · בגרות 372 חורף 2026, שאלה 4
נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא $y=0.4x^2-1.2x$ . המסלול מתחיל בראשית הצירים $O$ ומסתיים בנקודה $A$ הנמצאת על ציר ה- $x$ , כמתואר בסרטוט.…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פרבולה בהקשר: מזרקה ומסלול המים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפרבולה: $f(x)=-x^2+3x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: קפיצה של דולפין (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפרבולה: $f(x)=-0.4x^2+2x$ . לפניכם ארבעה גרפים, 1-4: גרף 1: גרף 2: גרף 3: גרף 4:
פרבולה בהקשר: מעוף של כדור (שאלה מלאה · קלה)
כדור נבעט מהקרקע. מסלול הכדור מתואר על ידי הפרבולה $f(x)=-x^2+6x$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מנקודת…
שני סילונים במזרקה (שאלה מלאה · בינונית)
במזרקה יש שתי פיות, ומכל פייה יוצא סילון מים בצורת קשת. מסמנים ב- $x$ את המרחק האופקי (במטרים) מהפייה הראשונה,…