מבחן לדוגמה: מבט מאחד על חתכי החרוט - כיתה י"ב 5 יח"ל

זהו את העקום שהמשוואה מתארת, ומצאו את קודקודו, את מוקדו ואת משוואת המדריך שלו.

מצאו את $B$, $C$ ו-$D$.

זהו את העקום, ומצאו את מרכזו ואת אורכי ציריו.

מצאו את כל ערכי $k$ שבעבורם המשוואה מתארת אליפסה. מה מתארת המשוואה כאשר $k=17$, ומה כאשר $k=20$? נמקו.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

הראו כי הישר $y=4$ משיק למעגל I, ומצאו את נקודת ההשקה.

הזיזו את מעגל I ימינה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים. A היא נקודה כלשהי על מעגל II שאינה על ציר ה-$x$. מהנקודה A מורידים אנך AD לציר ה-$x$ (D על ציר ה-$x$). P היא אמצע הקטע AD.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P נמצא על האליפסה $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

K ו-F הם מוקדי האליפסה $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. C היא נקודה על האליפסה שאינה על ציר ה-$x$.

מצאו את שיעורי המוקדים, וחשבו את היקף המשולש CKF.

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש CKF? באילו נקודות C הוא מתקבל?

מזיזים את המעגל הנתון ימינה ב-3 יחידות. אחר כך מכפילים את שיעור ה-$y$ של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל שהתקבל במספר $k$, $0<k<1$, ומתקבלת אליפסה. ידוע כי המוקדים של האליפסה שהתקבלה הם הקודקודים של האליפסה הנתונה שעל ציר ה-$x$. מצאו את $k$ ואת משוואת האליפסה שהתקבלה.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם המוקדים של האליפסה שמצאתם בסעיף א, והקודקוד השלישי P נמצא על האליפסה הזאת (ולא על ציר ה-$x$). הוכיחו כי היקף המשולש אינו תלוי במיקום של P, ומצאו אותו.

מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש מסעיף ב.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת האליפסה.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בשתי נקודות, $A$ ו-$B$. הנקודה $A$ נמצאת מעל לנקודה $B$.

מצאו את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$.

ישר המאונך לציר ה-$x$ עובר בנקודה $(2t,0)$ וחותך את הפרבולה בשתי נקודות, $C$ ו-$D$.

הנקודה $C$ נמצאת מעל לנקודה $D$.

מצאו את שיעורי הנקודות $C$ ו-$D$.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בנקודות $A$ ו-$B$. הנקודה $A$ נמצאת מעל לנקודה $B$.

מצאו את משוואת המדריך של הפרבולה ואת שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$.

הראו כי המרובע $ABDC$ הוא טרפז שווה-שוקיים, והסבירו מדוע יש מעגל שעובר דרך ארבעת הקודקודים שלו.

הסבירו מדוע מרכז המעגל נמצא על ציר ה-$x$, ומצאו את שיעורי המרכז ואת רדיוס המעגל.

הביעו את $a$ באמצעות $c$.