שאלות פתוחות: זיהוי עקום מהמשוואה הכללית Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על זיהוי עקום מהמשוואה הכללית Ax²+By²+Cx+Dy+E=0, לכיתה י"ב, 5 יחידות. התלמידים משלימים לריבוע ומחליטים אם המשוואה מתארת מעגל, פרבולה, אליפסה או היפרבולה, מוצאים פרמטר שעבורו העקום עובר דרך נקודה נתונה, ומוצאים את מקדמי המשוואה לפי שלוש נקודות שעל העקום. רוב השאלות ברמה בינונית, עם שאלה קלה וכמה קשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או לשאלה מסכמת במבחן, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

7 שאלותקלה: 1בינונית: 4קשה: 2

שאלה 1 · זיהוי פרבולה מהמשוואה הכללית: קודקוד, מוקד ומדריךשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה x2−4x−8y+20=0x^2-4x-8y+20=0x2−4x−8y+20=0.

זהו את העקום שהמשוואה מתארת, ומצאו את קודקודו, את מוקדו ואת משוואת המדריך שלו.

שאלה 2 · זיהוי עקום מהמשוואה הכללית Ax²+By²+Cx+Dy+E=0שאלה קצרה · בינונית

העקום x2+ky2−4x+2ky=0x^2+ky^2-4x+2ky=0x2+ky2−4x+2ky=0, כאשר kkk פרמטר, עובר דרך הנקודה (2,2)(2,2)(2,2).

א.

מצאו את kkk.

ב.

זהו את העקום, ומצאו את מרכזו ואת מוקדיו.

שאלה 3 · משוואה כללית עם פרמטר: אליפסה, נקודה אחת או אף נקודהשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה x2+4y2−2x+16y+k=0x^2+4y^2-2x+16y+k=0x2+4y2−2x+16y+k=0, כאשר kkk פרמטר.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם המשוואה מתארת אליפסה. מה מתארת המשוואה כאשר k=17k=17k=17, ומה כאשר k=20k=20k=20? נמקו.

שאלה 4 · זיהוי עקום מהמשוואה הכללית Ax²+By²+Cx+Dy+E=0שאלה קצרה · בינונית

העקום x2+By2+Cx+Dy=0x^2+By^2+Cx+Dy=0x2+By2+Cx+Dy=0 עובר דרך הנקודות (4,0)(4,0)(4,0), (0,2)(0,2)(0,2) ו-(2,3)(2,3)(2,3).

א.

מצאו את BBB, CCC ו-DDD.

ב.

זהו את העקום, ומצאו את מרכזו ואת אורכי ציריו.

שאלה 5 · היפרבולה מהמשוואה הכללית: הנקודות שמהן רואים את המוקדים בזווית ישרהשאלת ביניים · קשה

נתונה המשוואה 3x2−2y2−6x−8y−35=03x^2-2y^2-6x-8y-35=03x2−2y2−6x−8y−35=0.

א.

זהו את העקום שהמשוואה מתארת, ומצאו את מרכזו.

ב.

מצאו את מוקדי העקום F1F_1F1​ ו-F2F_2F2​ (F1F_1F1​ מימין ל-F2F_2F2​) ואת קודקודיו.

ג.

מצאו את כל הנקודות PPP על העקום שבעבורן ∠F1PF2=90∘\angle F_1PF_2=90^\circ∠F1​PF2​=90∘.

שאלה 6 · זיהוי עקום מהמשוואה הכללית Ax²+By²+Cx+Dy+E=0שאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה 4x2−9y2−16x+54y−101=04x^2-9y^2-16x+54y-101=04x2−9y2−16x+54y−101=0.

זהו את העקום שהמשוואה מתארת, ומצאו את מרכזו, את קודקודיו ואת משוואות האסימפטוטות שלו.

שאלה 7 · אליפסה שציריה מקבילים לצירים: זיהוי, מוקדים והיקף משולששאלת ביניים · בינונית

נתונה המשוואה 9x2+4y2−36x+8y+4=09x^2+4y^2-36x+8y+4=09x2+4y2−36x+8y+4=0.

א.

הראו כי המשוואה מתארת אליפסה, ומצאו את מרכזה ואת אורכי ציריה.

ב.

מצאו את מוקדי האליפסה F1F_1F1​ ו-F2F_2F2​ (F1F_1F1​ מעל F2F_2F2​) ואת קודקודיה.

ג.

BBB היא נקודה כלשהי על האליפסה שאינה על הישר x=2x=2x=2. הראו כי היקף המשולש F1BF2F_1BF_2F1​BF2​ אינו תלוי במיקום של BBB, ומצאו אותו.